1、第18章平行四边形 期末压轴题训练1已知，如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，ADBD以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作RtAED，EAD=300，AED=900（1）求AED的周长；（2）若AED以每秒2个长度单位的速度沿DC向右平行移动，得到A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动设移动时间为t秒，A0E0D0与BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图，在（2）中，当AED停止移动后得到BEC，将BEC绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线
2、CB交于点Q是否存在这样的，使BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由2已知，斜边，将绕点顺时针旋转，如图1，连接（1）填空：；（2）如图1，连接，作，垂足为，求的长度；（3）如图2，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为1.5单位秒，点的运动速度为1单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？3如图1，点为正方形的中心（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连接，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；（3）如图2，点是中点，是等腰直角三角形，是的
3、中点，绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值4定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：（1）理解：如图1，在四边形ABCD中，若_（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；（2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）（3）拓展：如图2，在RtABC中，ABC=90，AB=2，BC=1，将RtABC沿ABC的平分线BP方向平移得到DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长5在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P
4、，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点（1）若四边形OABC为矩形，如图1，求点B的坐标；若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OCAC，过点B1作B1F轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F若B1E： B1F=1：3，点B1的横坐标为，求点B1的纵坐标，并直接写出的取值范围6将矩形纸片放在平面直角坐标系中,为坐标原点,点在轴上，点在轴上，点的坐标是，点是边上的-一个动点，将沿折叠，使点落在点处如图当点恰好落在上时，求点的坐标；(2)如图，当点是中点时，直线交于点，求证：；求点的坐标7
5、如图，菱形纸片的边长为翻折使点两点重合在对角线上一点分别是折痕设（1）证明：； （2）当时，六边形周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当时，六边形的面积可能等于吗?如果能，求此时的值；如果不能，请说明理由8在平面直角坐标系中，矩形的对角线，边，把矩形沿直线对折，使点落在点处，直线与、的交点分别为、(1)求证：；(2)求折痕的长；(3)若点在轴上，平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由9如图，锐角，点是边上的一点，以为边作，使，（1）过点作交于点，连接（如图）请直接写出与的数量关系；试判断四边形的形状，并证明；（2）若，过点作交于点，
6、连接（如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由10如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，2），CA、CB分别交坐标轴于D、E，CAAB，且CAAB（1）求点B的坐标；（2）如图2，连接DE，求证：BDAEDE；（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PMPF交y轴于点M，在PM上截取PNPF，连接PO、BN，过P作OPG45交BN于点G，求证：点G是BN的中点11如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，OB=OC=2，AB=.(1)求点D的坐标，直线CD的函数表达式；(2)已知点P是直线CD
7、上一点，当点P满足SPAO=SABO时，求点P的坐标；(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F（不与A、B重合），使以A、 C、 F、 M为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.12如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FGDE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G（1）当E是AB中点时，求证：AGBF；（2）当E在边AB上移动时，试观察BF、AG、AE之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；（3）连接DF，如果正方形的边长为2，设AEx，DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出
8、函数的定义域13在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DEDB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF（1）填空：点B的坐标为 （2）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在请求出AD的长度；若不存在，请说明理由：（3）求证：；设ADx，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式并求出当点D运动到何处时，y有最小值？14如图1所示，已知点在上，和都是等腰直角三角形，点为的中点.（1）求证：为等腰直角三角形；（2）将绕点逆时针旋转，如图2所示，（1）中的
9、“为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；（3）将绕点逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.15已知在平行四边形中，将沿直线翻折，点落在点尽处，与相交于点，联结（1）如图1，求证：；（2）如图2，如果，求的面积；（3）如果，当是直角三角形时，求的长16在正方形ABCD中，边长为2点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，其中EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF(1)如图1，若时，求线段CF的长：当点E在线段BC上运动时，求证：(2)如图2，过点B作交EQ于点G，过点D作所在的直线于点H，求HG的最小值
10、17【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材12页给出直角三角形的斜边中线定理定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半上述定理的部分推理过程如下：已知：如图1，在中，CD为斜边AB上的中线求证：证明：如图2，延长CD至点E，使，连接AE，BE(1)【定理探索】请结合图2将证明过程补完整；(2)【问题解决】如图3，在中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，点F为垂足，若，则_度；(3)【应用探究】如图4，和均为直角三角形，连接CD交AB于点E，已知，请直接写出CD的长18（1）课本再现：如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：如图，在矩形中，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的
11、垂线，垂足分别为，求的值如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程（2）知识应用：如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，求平行四边形的周长（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、的垂线、垂足分别为点、若，请直接写出的面积参考答案1解：（1）在平行四边形ABCD中， BC=6，AD= BC=6在RtAED中，EAD=300，AED=900，DE=3，AE=AED的周长为（2）S与t之间的函数关系式为（3）存在分三种
12、情况讨论：若BP=BQ，如图，则PBQ=300，BQP=BPQ=750E1QC=BQP=750E1CQ=900750=150若PQ=BQ，如图，则PBQ=300，BQP=1200B1QC=BQP=1200B1CQ=18001200300=300 若PQ=BP，如图，则CBE =300，PBQ=300BQP=PBQ=300E1CQ=900300=600根据等腰三角形三线合一的性质，此时B、P、Q三点重合此时不存在这样的，使BPQ为等腰三角形综上所述，存在这样的，使BPQ为等腰三角形，或【详解】（1）根据平行四边形对边相等可得AD= BC=6，在RtAED中根据含30度角直角三角形的性质可得DE=
13、3，AE=，从而可求AED的周长（2）如图，当AED移动到点E0在BC边上时，易得CD0E0是等边三角形，故在D0C=3，AED移动的距离DD0=123=9，从而由速度为每秒2个长度单位，得AED移动的时间为当A0D0与BC重合时，AED移动的距离为DC=12，由速度为每秒2个长度单位，得AED移动的时间为当时，当时，如图，过点D0作在D0HBC于点H，过点N作NGAB于点G，则DD0=2t，D0C=A0B=BN=，当时，0，满足上式综上所述，S与t之间的函数关系式为（3）分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三种情况讨论即可2（1）60；（2）；（3）x时，y有最大值，最大值【分析】（1）只要
14、证明OBC是等边三角形即可；（2）求出AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交OC于点E当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动当4x4.8时，M、N都在BC上运动，作OGBC于G【详解】（1）由旋转性质可知：OBOC，BOC60，OBC是等边三角形，OBC60故答案为60（2）如图1中OB4，ABO30，OAOB2，ABOA2，SAOCOAAB22BOC是等边三角形，OBC60，ABCABO+OBC90，AC，OP（3）当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交
15、OC于点E则NEONsin60x，SOMNOMNE1.5xx，yx2，x时，y有最大值，最大值当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动作MHOB于H则BM81.5x，MHBMsin60（81.5x），yONMHx2+2x当x时，y取最大值，y，当4x4.8时，M、N都在BC上运动，作OGBC于GMN122.5x，OGAB2，yMNOG12x，当x4时，y有最大值，最大值2综上所述：y有最大值，最大值为【点睛】本题考查几何变换综合题、30度的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题3（1）图形见解析（2）证明见解析（3）【详解】（1）
16、根据题意画出图形即可；（2）延长EA交OF于点H，交BF于点G，利用正方形的性质和旋转的性质证明EOAFOB，得到AE=BF根据等边对等角得到OEA=OFB，由OEA+OHA=90，所以OFB+FHG=90，进而得到AEBF（3）BH的最大值为.解：（1）正确画出图形，如下图所示：（2）延长EA交OF于点，交于点为正方形的中心，90，绕点逆时针旋转90角得到，90，在和中， ，+，+=90，;（3）的最大值为.点睛：本题主要考查正方形和旋转的性质.根据图形灵活应用几何性质是解题的关键.4（1）ABBC（答案不唯一），如ABBC.（2）见解析;（3）BE=2或或或.【分析】（1）根据“准菱形”的
17、定义解答，答案不唯一；（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，矩形的邻边相等时即是正方形；（3）根据平移的性质和“准菱形”的定义，分四种情况画出图形，结合勾股定理求解.【详解】解：（1）答案不唯一，如ABBC.（2）已知：四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，对角线AC，BO交于点O，且AC=BD，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：OA=OC，OB=OD，四边形ABCD是平行四边形.AC=BD，平行四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是“准菱形”，AB=BC，四边形ABCD是正方形.（3）由平移得BE=AD，DE=AB2，EF=BC1，DF=AC.由“准菱形”的定
18、义有四种情况：如图1，当ADAB时，BEADAB2.如图2，当ADDF时，BEADDF.如图3，当BFDF时，延长FE交AB于点H，则FHAB.BE平分ABC，ABEABC45.BEHABE45.BEBH.设EHBHx，则FHx1，BEx.在RtBFH中，BH2FH2BF2，x2(x1)2()2，解得x11，x22(不合题意，舍去)，BEx.如图4，当BFAB2时，与同理得：BH2FH2BF2.设EHBHx，则x2(x1)222，解得x1，x2(不合题意，舍去)，BEx.综上所述，BE=2或或或.5B（4,2）；（3,0）；m1+或m3【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标；过点P作PDOA，垂
19、足为点D，点B关于PQ的对称点为，从而得出PDQA，即=2则A=1，得出O=3，即得出点的坐标；根据平行四边形的慈宁宫中得出OA=4，OC=2，OCAC，得出点不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上，然后分点在线段EF的延长线上和点在线段EF（除点E，F）上两种情况分别进行计算，根据题意得出点的横坐标为m，根据比值得出G=m，设OG=a，从而得出GF和OF的长度，然后根据线段之间的关系得出a的值，从而求出m的取值范围【详解】（1）OA=4，OC=2，点B的坐标为（4，2）；如图1，过点P作PDOA，垂足为点D BQ：BP=1：2 点B关于PQ的对称点为Q：P=1：2 PD=PQ=AQ=90
20、 PD=QA PDQA=2 A=1 O=3 即点（3,0）（2）四边形OABC为平行四边形 OA=4，OC=2，且OCAC OAC=30 E：F=1：3点不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上当点在线段EF的延长线上时，如图2，延长F与y轴交于点G，点的横坐标为m，Fx轴E：F=1：3 G=m 设OG=a 则GF=，OF=G=E+EF+FG=（2）+（4）+=m a=即的纵坐标为m的取值范围是m1+当点在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长F与y轴交于点G，点的横坐标为mFx轴，E：F=1：3 G=m 设OG=a 则 GF=，OF=CF=2FE=4F=EF=3aG=F+FG=（3）a+
21、a=m a=即点的纵坐标为M的取值范围是m3考点：分类讨论思想、线段长度的计算6(1)P(3，6)；(2) (a)见解析； (b) 【分析】（1）根据点B的坐标，可求得OB的长，再利用得出PB的长，从而得出点P的坐标；（2）（a）证即可得MB=MQ；（b）如下图，设在中，利用勾股定理可求得m的值，再利用可求得QN和QO的值，从而得到点Q的坐标【详解】（1）点的坐标是在中，根据题意，又（2）（a）连接 根据题意， 点是中点，（b）如图，过点作轴于点设则由知根据题意，知在中，即,解得四边形是矩形， 轴于点得【点睛】本题考查矩形的性质、求点的坐标和利用相似求线段长，解题关键是找出相似图形，得出线段长
22、度，进而得到点的坐标7（1）见解析；（2）不变，见解析；（3）能，或【分析】（1）由折叠的性质得到BE=EP，BF=PF，得到BE=BF，根据菱形的性质得到ABCDFG，BCEHAD，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BE=BF，AE=FC，推出ABC是等边三角形，求得B=D=60，得到B=D=60，于是得到结论；（3）记AC与BD交于点O，得到ABD=30，解直角三角形得到AO=1，BO=，求得S四边形ABCD=2，当六边形AEFCHG的面积等于时，得到SBEF+SDGH=，设GH与BD交于点M，求得GM=x，根据三角形的面积列方程即可得到结论【详解】解:折叠后落在上，平分，四边形为菱形，
23、同理四边形为菱形，四边形为平行四边形，. 不变.理由如下:由得四边形为菱形，为等边三角，为定值.记与交于点. 当六边形的面积为时，由得 记与交于点，同理即化简得解得，当或时，六边形的面积为.【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x表示出相关的线段，是一道基础题目8（1）见解析；（2）；（3）存在，的坐标是或或或【分析】(1)根据矩形的性质和折叠的性质得出两组角和一组边,即可判定全等;(2)连接CD,设OD为x,根据勾股定理算出OA,再由折叠得出CD,利用勾股定理列出方程解出x,最后由(1)中全等转换边长即可
24、求出答案;(3)构成菱形的四个顶点的顺序不定，需分情况讨论由于D、F是定点，可将线段DF分为两大类：DF为菱形的一边、DF为菱形的对角线然后分别讨论即可【详解】解:(1)四边形是矩形，,由折叠可得,在和中,(AAS)；(2)连接，设，在中，由勾股定理得，由折叠可得，在中，由勾股定理得，即解得，在中，由勾股定理得，；(3)如图1，2，3所示，点的坐标是或或或过点F作FHDC，垂足为H，SDFC=DFFC=DCFH，DF=，FC=5，DC=，FH=3FHDC，DF=，FH=3，DH=OH=OD+DH=4F（4，3）若DF为菱形的一边当DM为菱形的对角线时，如图1点N与点F关于x轴对称，则点N的坐标
25、为（4，-3）当DM为菱形的另一边时，如图2此时FNDM，FN=DF=F（4，3），点N的坐标为（4-，3）或（4+，3）即（，3）或（，3）若DF为菱形的对角线，如图3四边形DNFM为菱形，MNDF，DG=DFDFAC，DGM=DFC=90MNACDGMDFCDM=,DC=四边形DNFM为菱形，NFDM，NF=DM=点N的坐标为（4-，3）即（，3）综上所述：符合要求的点N的坐标可能为（，3）、（，3）、（，3）故答案为：（，3）、（，3）、（，3）【点睛】本题运用了矩形的性质、菱形的性质、三角形相似（包括全等）的性质及判定、勾股定理等知识，综合性强；另外，还考查了分类讨论的思想，注重对学生
26、知识和能力的考查.9（1）； 平行四边形，证明见解析；（2）成立，证明见解析【分析】（1）根据，两角有公共角，可证；连接EB，证明EABDAC，可得,再结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理可得EF=DC，由此可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形（2）根据，可证明AED和ABC为等边三角形，再根据EDFC结合等边三角形的性质，得出AFC=BDA，求证ABDCAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形【详解】解：（1），理由如下：，,，；证明：如下图，连接EB,在EAB和DAC中 EABDAC（SAS）,，,，,四边形为平行四边形；（2）成立；理由如下
27、：理由如下：，AE=AD，AB=AC，AED和ABC为等边三角形，B=60，ADE=60，AD=ED,EDFC，EDB=FCB，AFC=B+BCF=60+BCF，BDA=ADE+EDB=60+EDB，AFC=BDA，在ABD和CAF中，ABDCAF（AAS），AD=FC，AD=ED，ED=CF，又EDCF，四边形EDCF是平行四边形【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定定理，平行线的性质在做本题时可先以平行四边形的判定定理进行分析，在后两问中已知一组对边平行，所以只需证明这一组对边相等即可，一般证明线段相等就是证明相应的三角形全
28、等本题中是间接证明全等，在证明线段相等的过程中还应用到等腰三角形的判定定理（第（1）小题的第问）和等边三角形的性质（第（2）小题），难度较大10（1）B（0，4）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）作CMx轴于M，求出CMCN2，证BAOACM，推出AOCM2，OBAM4，即可得出答案；（2）在BD上截取BFAE，连AF，证BAFCAE，证AFDCED，即可得出答案（3）作EOOP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形就可以了【详解】解：（1）作CMx轴于M，C（2，2），CM2，OM2，ABAC，BACAOBCMA90，BAO+CAM90，CAM+
29、ACM90，BAOACM，在BAO和ACM中，BAOACM，AOCM2，OBAMAO+OM2+24，B（0，4）（2）证明：在BD上截取BFAE，连AF，BAOCAM，ABFCAE，在ABF和ACE中，ABFCAE（SAS），AFCE，ACEBAF45，BAC90，FAD45ECD，由（1）可知OAOM，ODCM，ADDC，（图1中），在AFD和CED中，AFDCED（SAS），DEDF，BDAEDE；（3）如图3，作EOOP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，EOP90，EPO45，OEPEPO45，EOPO，EOPBOF90，EOBPOF，在EOB和POF中，EOBPOF，EBPFP
30、N，1OFP，2+PMO180，MOFMPF90，OMP+OFP180，2OFP1，EBPN，EBPN，四边形ENPB是平行四边形，BGGN，即点G是BN中点【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及等角的余角相等，第三个问通过辅助线构造平行四边形是解决问题的关键11（1）D（4，3），；（2）P（3，）或（-3，）；（3）F（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）.【分析】（1）先求出A点坐标，然后根据菱形的性质得到D点的坐标，利用C，D两点的坐标求出解析式；（2）利用点P是直线CD上一点，AO为PAO的底边不变，并且SPAO=SABO，分两种情况讨论即可；（3）根
31、据菱形的性质，分AC、AF是邻边，AC、AF是邻边，AC是对角线，AF是对角线四种的情况分别进行求解计算【详解】解：OB=OC=2，AB=，AD=OB+OC=2+2=4，A点的坐标为：（0，3），D点的坐标为：（4，3），C点的坐标为：（2，0），设直线CD的函数表达式为：，将C，D点的坐标代入，得： ，解之得：，直线CD的函数表达式为：，（2）如图示：设P点坐标为（，）即：，则：，或，或即P点坐标为（，）或（-3，）；（3）由（1）得OB=OC=2，AB=，OA=3，AC=，当AC、AF是邻边时，如图示，AF=AC=，即点F与B重合，F的坐标为（-3，0），当AC、AF是邻边，如图示，M在直
32、线AD上，且FC垂直平分AM，C，F沿AD成轴对称，则F的坐标为：（2，6），AC是对角线时，如图示：作AC垂直平分线FE，AC经过A（0，3），C（2，0），AC解析式为：，并且E点的坐标为（1，），设FE的解析式为：，将E点坐标，代入化简得：FE的解析式为：又AB经过A（0，3），B（-2，0），AB解析式为：，点的坐标为方程组 的解，解之得： ,则F的坐标为：（，）,AF是对角线时，如图示：过C作AB垂线，垂足为N，则 ，设F点的横坐标为，根据F点在AB上，并AB解析式为：，F的坐标为：（，）,则根据勾股定理，有： ，F的坐标为：（，）综上所述，F点的坐标为：（-3，0）或（2，6）或（
33、，）或（，）【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，四边形的综合问题，全等三角形的性质和判定，待定系数法，菱形的性质，难点是分类讨论12（1）详见解析；（2）BF+AGAE；（3）y，定义域为0x2【分析】（1）利用“ASA”证AEGBEF即可得；（2）作FHDA，证四边形ABFH是矩形得FH=AB=DA，由DEFG知G=90-ADE=DEA，从而得DAE=FHG=90，证FHGADAE得GH=AE，即HA+AG=AE，结合BF=HA可得答案；（3）由FHGDAE知，从而得SDGF= ，据此可得解析式.【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，GAEB90，E是AB中点，AEBE，又AEGBE
34、F，AEGBEF（ASA），AGBF；（2）BF+AGAE过点F作FHDA，垂足为H，在正方形ABCD中，DAEB90，四边形ABFH是矩形，FHABDA，DEFG，G90ADEDEA，又DAEFHG90，FHGDAE（AAS），GHAE，即HA+AGAE，BFHA，BF+AGAE（3）FHGDAE，FGDE SDGFFGDE，y ，解析式为：y，定义域为0x2【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角形的面积公式等知识点.13(1) ;（2）存在；满足条件的AD的值为2或2;(3) 见解析，当点D运动到距A点的距离为3时，y有
35、最小值【分析】（1）求出AB、BC的长即可得出结果；（2）先推出ACO30，ACD60由DEC是等腰三角形，分两种情况：当E在线段CO上时，观察图象可知，只有EDEC，DCEEDC30，推出DBCBCD60，可得DBC是等边三角形，推出DCBC2，即可得出结果；当E在OC的延长线上时，只有CDCE，DBCDECCDE15，得出ABDADB75即可得出结果；（3）先表示出DN，BM，证出BMDDNE，即可得出结论；作DHAB于H，用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题【详解】解：（1）四边形AOCB是矩形，BCOA2，OCAB2，BCOBAO90，B（2 ，2）；故答案为（2，2）；（
36、2）存在；理由如下：OA2，OC2，tanACO ACO30，ACB60，分两种情况：当E在线段CO上时，DEC是等腰三角形，观察图像可知，只有EDEC，如图1所示：DCEEDC30，DBCBCD60，DBC是等边三角形，DCBC2，在RtAOC中，ACO30，OA2，AC2AO4，ADACCD422，当AD2时，DEC是等腰三角形；当E在OC的延长线上时，DCE是等腰三角形，只有CDCE，DBCDECCDE15，如图2所示：ABDADB75，ABAD2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2；（3）证明：过点D作MNAB交AB于M，交OC于N，如图3所示：A（0，2）和C（2，0），直线AC的
37、解析式为yx+2，设D（a，a+2），DNa+2，BM2 a，BDE90，BDM+NDE90，BDM+DBM90，DBMEDN，BMDDNE90，BMDDNE， ；作DHAB于H，如图4所示：在RtADH中，ADx，DAHACO30，DHADx， BH2x，在RtBDH中，BD矩形BDEF的面积为 0，x3时，y有最小值 ，即当点D运动到距A点的距离为3时，y有最小值【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数、分类讨论、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题14（1）详
38、见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，推出，推出，求出即可延长ED交AC于F，求出，根据ASA推出，推出即可过点C作，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出，求出，作于点N，证，推出，求出，即可得出答案【详解】证明：和都是等腰直角三角形，点M为EC的中点，同理， 是等腰直角三角形 解：如图2，是等腰直角三角形，理由是：延长ED交AC于F，和是等腰直角三角形，为EC中点，在和中 ，是等腰直角三角形是等腰直角三角形，理由是：过点C作，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得，作于点N，由已知，可证得，是等腰直角三角形，点M是DF的中点，则是
39、等腰直角三角形，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大15（1）见解析；（2）；（3）4或6【分析】（1）由折叠的性质得，由平行四边形的性质得，则，得，证出，则，由等腰三角形的性质得，证出，即可得出结论；（2）证四边形是矩形，则，设，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，由三角形面积公式即可得出答案；（3）分两种情况：或，需要画出图形分类讨论，根据含角的直角三角形的性质，即可得到的长【详解】解：（1）证明：由折叠的性质得：，四边形是平行四边形，；（2）平行四边形中，四边形是矩形，由（1）得：，设，则，在
40、中，由勾股定理得：，解得：，的面积；（3）分两种情况：如图3，当时，延长交于，是的中点，在中，；如图4，当时，由折叠的性质得：，在和中，又，在同一直线上，中，；综上所述，当是直角三角形时，的长为4或6【点睛】本题是四边形综合题目，考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质是解题的关键16(1)；见解析；(2)最小值为【分析】（1）由“AAS”可证，可得，即可求解；由“SAS”可证，可得，由“SAS”可证，可得，由余角的性质可求解；
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