1、第5章相交线与平行线 期末压轴题训练1（1）如图1，点E在BC上，AD，ACBCED请说明ABCD的理由（2）如图2，ABCD，BG平分ABE，与EDF的平分线交于H点，若DEB比DHB大60求DEB的度数（3）保持（2）中所求的DEB的度数不变，如图3，ABCD，BM平分EBK，DN平分CDE，作BPDN，则PBM的度数是否改变？若不变，请直接写出PBM的度数；若改变，请说明理由2如图1，点F在直线、之间，满足，且x、y满足(1)求证：(2)如图2，延长交于H，在射线上取一点K，使，探究与的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，已知点N在、之间，点R为射线上的动点，且点R在直线上方，平分，
2、平分，问的值是否发生变化，若不变，求其值，若变化，说明理由3如图，是位于，之间的一点，现作如下操作：第一次操作：分别作和的平分线，交点为第二次操作：分别作和的平分线，交点为第三次操作：分别作和的平分线，交点为第次操作，分别作和的平分线，交点为(1)如图1，若，求的度数(2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由(3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）4感知：如图，若，点P在直线，之间，则，满足的数量关系是_；探究：如图，若，点P在直线下方，则，满足的数量关系是_；应用：（1）如图是北斗七星的位置图，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，求，满足的
3、数量关系；（2）如图，在（1）的条件下，延长到点M，延长到点N，过点B和点E分别作射线和，两线相交于点P，使得平分，平分，若，则_5如图，直线，点E在直线上，点G在直线上，点F在直线之间(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，平分的反向延长线与交于点H，求证；(3)如图3，在（2）的条件下，若平分，当 时，（直接写出结果）6【发现】如图1，直线被直线所截，平分，平分若，试判断与平行吗？并说明理由；【探究】如图2，若直线，点在直线之间，点分别在直线上，P是上一点，且平分若，则的度数为_；【延伸】若直线，点分别在直线上，点在直线之间，且在直线的左侧，是折线上的一个动点，保持不变，移动点，
4、使平分或平分设，请直接写出与之间的数量关系7如图，已知直线(1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在之间，若，则_；(2)如图2，若平分，延长交于点M，且，当时，求的度数；(3)在（2）的条件下，若绕E点以每秒转动4的速度逆时针旋转一周，同时绕F点以每秒转动1的速度逆时针旋转，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当_秒时，8如图1，直线与直线交于点，（）小明将一个含，的直角三角板如图1所示放置，使顶点落在直线上，过点作直线交直线于点（点在左侧）(1)若，求的度数(2)如图2，若的角平分线交直线于点当，时，求证：小明将三角板保持并向左平移，运动过程中，探究与之间的数量关系，并说
5、明理由9如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设当点G在点F的右侧时，若，求的度数；当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明10已知直线，直线分别与、交于点、，直线经过点，与交于点，且(1)如图所示，当时，求的度数；在直线上取一点，使得，求的度数(2)如图所示，在射线上任取一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，请写出、间的数量关系，并说明理由11已知，点A在上，的两边与相交于点B，与相交于点C，平分(1)如
6、图1，若，的数量关系为_(2)如图2，在（1）的条件下，若，求证；(3)点B、C分别在点D、E的下方，若，请在备用图中画出相应的图形，并求出的度数12如图1，一块直尺和一块含30的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，分别交、于点E、F、的角平分线交于点D，H为线段上一动点（不与A、B重合），连接交于点(1)当时，求(2)在线段上任意移动时，求，之间的关系(3)在（1）的条件下，将绕着点以每秒5的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值13已知，的平分线与的平分线相交于点F(1)在图1中，求证：；
7、(2)如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；(3)当，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）14如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中ACB，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角 (1)当为_度时，；(2)在旋转过程中，试探究CAD与BAE之间的关系；(3)当ADE旋转速度为/秒时，且它的一边与ABC的某一边平行（不共线）时，请直接写出时间t的所有值15如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，BE75(1)请说明AEBC的理由(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ
8、如图2，当DEDQ时，求Q的度数；在整个运动中，当Q2EDQ时，求Q的度数在整个运动中，求E、Q、EDQ之间的的等量关系16如图1，的平分线交于点G，(1)试说明：；(2)如图2，点F在的反向延长线上，连接交于点E，若，求证：平分；(3)如图3，线段上有点P，满足，过点C作.若在直线上取一点M，使，求的值17如图1，已知直线，点、分别在直线与上为两平行线间点(1)如图1，若，则_(2)如图1，猜想，之间有什么数量关系？并说明理由(3)利用（2）的结论解答：如图2，、分别平分、，请直接写出与的数量关系如图3，、分别平分、，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）18已知直线l1l2，直线l3交l
9、1于点C，交l2于点D，P是直线CD上一点(1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究1，2，3之间的关系，并说明理由；(2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，1，2，3之间的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由；(3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论参考答案1（1）证明见解析；（2）100；（3）PBM=40【分析】（1）由ACB=CED，得ACDF，可得A=DFB，又A=D，进而可得结论；（2）如图2，作EMCD，HNCD，根据ABCD，可得ABEMHNCD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB比DHB大60，列出等式
10、即可求DEB的度数；（3）如图3，过点E作ESCD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM的度数【解析】（1）ACB=CED，ACDF，A=DFB，A=D，DFB=D，ABCD；（2）如图2，作EMCD，HNCD，ABCD，ABEMHNCD，1+EDF=180，MEB=ABE，BG平分ABE，ABG=ABE，ABHN，2=ABG，CFHN，2+=3，ABE+=3，DH平分EDF，3=EDF，ABE+=EDF，=（EDF-ABE），EDF-ABE=2，设DEB=，=1+MEB=180-EDF+ABE=180-（EDF-ABE）=180-2，DEB比DHB大60，
11、-60=，=180-2（-60）解得=100DEB的度数为100；（3）PBM的度数不变，理由如下：如图3，过点E作ESCD，设直线DF和直线BP相交于点G，BM平分EBK，DN平分CDE，EBM=MBK=EBK，CDN=EDN=CDE，ESCD，ABCD，ESABCD，DES=CDE，BES=ABE=180-EBK，G=PBK，由（2）可知：DEB=100，CDE+180-EBK=100，EBK-CDE=80，BPDN，CDN=G，PBK=G=CDN=CDE，PBM=MBK-PBK=EBK-CDE=（EBK-CDE）=80=40【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线
12、常见的几种拐点模型2(1)见解析(2)，证明见解析(3)的值不变，求其值为【分析】（1）过点F作，利用可知，从而得到，再利用推出，得到，从而得证；（2）设，推出，从而得到；（3），推出，又设，则，从而得到，又可知，推出，因此，即得解【解析】（1）解： 过点F作，（2），理由如下：过点F作，由（1）得设，则，（3）的值不变，求其值为，理由如下：设，则，过点F作，则，平分， 设，则过点N作，则，又平分又的值不变，求其值为【点评】本题考查角平分线的定义和平行线的性质和平行公理的推论等知识，合理设未知数来推导各个角是解题的关键3(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）先过作，根据，得出，再根据平行
13、线的性质，得出，进而得到；（2）先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得；（3）根据和的平分线，交点为，得出；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数【解析】（1）解：如图1，过作，；（2），理由如下：如图2，和的平分线交点为，由（1）可得，；和的平分线交点为，由（1）可得，；（3）如图2，和的平分线交点为，由（1）可得，；和的平分线，交点为，；以此类推，当度时，等于【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质：两直线平行，内错角相等的运用解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平
14、分线4感知：；探究：；应用：（1）；（2）【分析】感知：作平行线利用平行线的性质通过角等量关系转化解题即可探究：作平行线利用平行线的性质通过角等量关系转化解题即可应用：（1）如图，过点D作，则，证明，可得，可得，整理即可；（2）如图，过点P作， 可得， 证明， 可得， 求解， ， 证明，由（1）得：， 可得， 可得，从而可得答案.【解析】解：感知：；如图，过点P作， ， ， ， ， 即 故答案为：；探究：；理由如下：证明：如图，过点P作， ， ，应用：（1）如图，过点D作，则，即，即. （2）如图，过点P作， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ，由（1）得：， ， ， ， ，故荅案为：7
15、5.【点评】本题考查了角平分线的性质与平行线的性质与判定，正确运用角平分线与平行线的性质是解题的关键5(1)(2)见解析(3)【分析】（1）过点F作，由平行线的性质和判定可得出，进而即可得到答案；（2）过点F作，过点H作，由（1）和角平分线的性质可得，再由平行线的性质，进而即可得到答案；（3）由平分和已知得出，再由得出，进而即可得到答案【解析】（1）如图，过点F作（2）如图，过点F作，过点H作设，平分平分由（1）可得即，又，（3）平分，又，若，那么，由（2）得故答案为：【点评】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义的综合运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键6发现见解析；探究；延伸或【分析】
16、发现根据角平分线的定义分别求出，可得，即可判定平行；探究 过M作，根据平行公理可得，利用两直线平行，内错角相等推出，再根据求出，最后根据角平分线的定义求出；延伸分平分，平分，两种情况，结合探究中的结论，结合角平分线的定义可得结果【解析】解：发现平行，理由是：，平分，平分，；探究如图，过M作，平分，；延伸如图，若平分，同上可得：，即；若平分，同上可得：，；综上：与之间的数量关系为或【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，通常需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法7(1
17、)(2)(3)或【分析】（1）过G作，可得，即可得到，进而得出的度数；（2）过G作，过N作，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到的度数；（3）根据旋转的速度，用t表示出角的度数，再根据平行线的性质列出方程即可【解析】（1）解：如图1所示，过G作，即，故答案为：；（2）平分，可设，如图2所示，过G作，过N作，又，；（3）解：根据题意，如图，根据题意，解得，如图，根据题意，解得，综上，或【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是准确识图，恰当作辅助线，利用平行线的性质与判定进行求解8(1)(2)见解析；【分析】（1）依题意可得，由平行线的性质可得，则可求得的度数，从而可求的度
18、数，再由平行线的性质可求的度数，即得解；（2）由平行线的性质可得，则可求得，再由角平分线的定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定；由平移的性质与平行线的性质可得，从而可求得，再由平行线的性质得，结合角平分的定义可得，从而可求【解析】（1）解：由题意得：，（2）证明：，的角平分线交直线于点，；，的角平分线交直线于点，【点评】本题主要考查平移的性质，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚相应的角之间的关系9(1)，理由见解析(2)；当点G在点F的右侧时，当点G在点F的左侧时，证明见解析【分析】（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；（2）平分，平分，即可得到，再根据，即可得到，
19、进而求出，再根据平行线的性质可得答案；分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时当点G在点F的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义讨论求解即可【解析】（1）解： ，理由如下：平分，又，；（2）解：如图2，平分，平分，又，即，；点G是射线上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，证明如下：，又平分，平分，又，即，；如图3，当点G在点F的左侧时，证明如下：证明：，又平分，平分，又，【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键10(1)；(2)，理由见解析【分析】（1）运用平行线性质即可求得答案；如图1，过点作，则，由，可得，再由，可得，即可得出
20、答案；（2）如图2，过点作，则，利用角平分线定义可得：，即可得出答案【解析】（1）解：，；如图1，过点作，则，；（2）理由如下：如图2，过点作，则， ，平分，平分，【点评】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，解题的关键是熟知平行线的判定与性质求得相关的角度大小11(1)；(2)见解析；(3)画图见解析，或【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得，再根据角平分线的定义得，利用角的和差即可推出数量关系；（2）由平行得到，再由结合，可列出，求得，从而得到，此题得证；（3）设，如图3根据题意得，由列方程求解即可；如图4，结合题意得，根据列方程求解即可【解析】（1）解：理由：如图1，平分，故答
21、案为：（2）证明：如图2，平分，与都相交于直线上的A点，并且在同一平面内，（3）所画图形如图3、图4所示，设，在图3中，平分，解得：，；在图4中，平分，解得：，；综上所述，的度数为或【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题；熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键12(1)(2)(3)t为6或12或21或24或30【分析】（1）由三角形内角和定理求出，由，得到，由，则，由角平分线和平行线性质得到，即可得到答案；（2）由得到，由即可得到结论；（3）分五种情况画图求解即可【解析】（1）解：，平分，即；（2），；（3）由（1）知，如图1，当时，此时是旋转了，此时，；如图2，当时
22、， ，此时是旋转了，此时，；如图3，当时，此时是旋转了，此时，；如图4，当时，设与相交于点S，此时是旋转了，此时，；如图5，当时， ，此时是旋转了，此时，；当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21或24或30【点评】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键13(1)证明见解析；(2)，证明见解析；(3)【分析】（1）根据平行线的性质可得：，根据平行线的性质可得：，（2）设，则，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论；【解析】（1）证明：如图，过点作 ，证明：如图，过点作 ，即（2）解：关系式为，证明：设，时
23、，且平分，平分， 由（）得，即，（3）解：设则，由（）可得，即的度数（用含m，n的式子表示）表示为【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用14(1)15(2)当045时，BAE-CAD=45；当4590时，BAE+CAD=45；当90180时，CAD-BAE=45(3)t=3或9或21或27或30【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据即可求解；（2）设CAD=，BAE=，在旋转过程中，分当045时，当4590时，当90180时，三种情况根据平行线的性质即
24、可求解；（3）当ADBC时，当DEAB时，当DEBC时，当DEAC时，当AEBC时，分别作出图形，根据平行线的性质即可求解（1）当=15时，如图：故答案为15；（2）设：CAD=，BAE=，如图，当045时，+=90，+=45，故-=45；即BAE-CAD=45当4590时，+=90，即BAE+CAD=45当90180时，CAD=，BAE=，即-=45；即CAD-BAE=45（3）当ADBC时，=15，t=3；当DEAB时，=45，t=9；当DEBC时，=105，t=21；当DEAC时，=135，t=27；当AEBC时，=150，t=30；综上，t=3或9或21或27或30【点评】本题考查了旋
25、转的性质，三角尺中角度的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏15(1)见解析(2)Q15；Q50或150，EDQEQ或EDQQE或EDQQ+E【分析】（1）根据平行线的性质得到BAE+E180，等量代换得到BAE+B180，于是得到结论；（2）如图2，过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论；过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论结合即可得在整个运动中，E、Q、EDQ之间的的等量关系【解析】（1）解：DEAB，BAE+E180，BE，BAE+B180，AEBC；（2）如图2，过D作DFAE交AB于F，线段AE沿着直线AC
26、平移得到线段PQ，PQAE，DFPQ，DPQFDP，E75，EDF180E105，DEDQ，EDQ90，FDQ36010590165，DPQ+QDPFDPQDPFDQ165，Q18016515；如图3，过D作DFAE交AB于F，PQAE，DFPQ，QDF180Q，Q2EDQ，EDQQ，E75，EDF105，180QQ105，Q50；如图4，过D作DFAE交AB于F，PQAE，DFPQ，QDF180Q，Q2EDQ，EDQQ，E75，EDF105，180QQ105，Q150，综上所述，Q50或150，如图3，DFAE，DFPQ，EDGE，GDQQ，EDQEDGGDQEQ，即EDQEQ；如图4，DF
27、AE，DFPQ，FDE180E，FDQ180Q，EDQFDEFDQQE，即EDQQE； 同理，当PQ在BC下方时，EDQQ+E综上所述，EDQEQ或EDQQE或EDQQ+E【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键16(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5或【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据等量代换即可得证；（2）过点作于，先根据平行线的性质可得，从而可得，则，再根据角平分线的定义即可得证；（3）设，则，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后分点在的下方和点在的上方两种情况，根据角的和
28、差可得和的值，由此即可得【解析】（1）证明：，平分，（2）证明：如图，过点作于，由（1）已证：，即，又，又，平分（3）解：设，由（1）已得：，由题意，分以下两种情况：如图，当点在的下方时，；如图，当点在的上方时，；综上，的值是5或【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键17(1)(2)，见解析(3)；【分析】（1）如图4，过点P作，由，得，从而由平行线的性质即可求得DAP=MAP，FBP=MBP，进而求得APB的度数，（2）如图4，过点P作，由，得，从而由平行线的性质即可求得DAP=MAP，FBP=MBP，进而得；（3）根据角平分线
29、定义及平行线的性质即可解答；如图4，由AP2、BP2分别平分CAP、EBP，得CAP2=CAP，EBP2=EBP，进而利用平角定义可得AP2B=CAP+EBP= ( 180-DAP) + ( 180-FBP)，即可求解【解析】（1）解：如图4，过点P作，DAP=MAP，FBP=MBP，APB=MPA+MPB=DAP+FBP=40+70=110，故答案为110；（2）解：，理由如下：如图4，过作，即（3）解：结论：；，理由如下：如图2，P=DAP+FBP，P1=DAP1+FBP1，AP、BP分别平分DAP、FBP，DAP=2DAP1，FBP=2FBP1P=2P1 ；如图4，AP2、BP2分别平分
30、CAP、EBP，CAP2=CAP，EBP2=EBP，AP2B=CAP+EBP，= ( 180-DAP) + ( 180-FBP)，=180- (DAP+FBP)，=180-APB，= 180-【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线18(1)3=1+2，理由见解析(2)2=1+3，理由见解析(3)1=2+3，理由见解析【分析】（1）过点P作PEl1，根据平行线的性质得出1=APE，2=BPE，结合图形求解即可；（2）过点P作PEl1，根据平行线的性质得出1=APE，2=BPE，结合图形求解即可；（3）方法同（1）（2）类似，进行求解即可【解析】（1）解：如图所示，过点P作PEl1l1l2PEl1l21=APE，2=BPE，APB=APE+BPE，APB=1+2，即3=1+2，（2）如图所示，过点P作PEl1l1l2PEl1l21=APE，2=BPE，APB+APE=BPE，BPE=1+3，即2=1+3，（3）过点P作PEl1l1l2PEl1l21=BPE，2=APE，EPB=APE+BPA，BPE=2+3，即1=2+3【点评】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键
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