1、第17章勾股定理 期末压轴题训练1如图，已知为等腰直角三角形，且面积为4点D是的中点，点F是直线上一动点，连结(1)求线段的长；(2)当点E在射线上，且时，连结，若，试判断是否为等腰三角形，并说明理由；(3)直线上是否存在点F（F不与重合），使的其中两边之比为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由2已知：如图，在ABC纸片中，AC3，BC4，AB5，按图所示的方法将ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C处，点P是射线AB上的一个动点(1)求折痕AD长(2)点P在线段AB上运动时，设APx，DPy求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域(3)当APD是等腰三角形时，求AP的长3在中
2、，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且(1)如图1，若，求点B到AE的距离；(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；(3)如图3，若，将沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值4如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，；(1)若，且点B（0，2），C（-2，-1），点C关于y轴对称点的坐标为_；求点A的坐标；(2)若点B与原点重合，时，存在第三象限的点E和y轴上的点F，使，且A（3，0），C（0，m），F（0，n），线段EF的长度为，求AE的长5如图，是四边形ABCD的一个外角，点F在CD
3、的延长线上，垂足为G（1）求证：DC平分；（2）如图，若，求的度数；直接写出四边形ABCF的面积6若ABC和ADE均为等腰三角形，且ABACADAE，当ABC和ADE互余时，称ABC与ADE互为“底余等腰三角形”，ABC的边BC上的高AH叫做ADE的“余高”（1）如图1，ABC与ADE互为“底余等腰三角形”若连接BD，CE，判断ABD与ACE是否互为“底余等腰三角形”：_ （填“是”或“否”） ；当BAC90时，若ADE的“余高”AH，则DE_；当0BAC180时，判断DE与AH之间的数量关系，并证明；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABC60，DABA，DCBC，且DADC 画出OAB与O
4、CD，使它们互为“底余等腰三角形”；若OCD的“余高”长为a，则点A到BC的距离为_（用含a的式子表示）7已知：ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决以下问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=4，PA=，则线段PB= ，PC= 猜想：三者之间的数量关系为 （2）如图2，若点P在线段AB的延长线上，则在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程（3）若动点P满足，请直接写出的值（提示：请你利用备用图探究）8定义：若a，b，c是ABC的三边，且a2+b22c2，则称ABC为“方倍三角形”（1）对
5、于等边三角形直角三角形，下列说法一定正确的是 A一定是“方倍三角形”B一定是“方倍三角形”C都一定是“方倍三角形”D都一定不是“方倍三角形”（2）若RtABC是“方倍三角形”，且斜边AB，则该三角形的面积为 ；（3）如图，ABC中，ABC120，ACB45，P为AC边上一点，将ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD若ABD为“方倍三角形”，且AP，求PDC的面积9已知RtABC中CRt，且BC9，B30（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD3，点E是AB上的动点，将DBE沿DE对折，点B的对应点为B（点B和点C在直线AB的异侧），DB与AB交于点H当BEA20时，求ED
6、B的度数当BHE是等腰三角形时，求DEB的度数（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD3，M是线段AC上的动点，以MDN为直角构造等腰直角DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值10已知，在ABC中，AB=AC， （1）如图1，若，且点D在CA的延长线上时，求证：；（2）如图2，若，试判断AD，BD，CD之间的等量关系，并说明理由（3）如图3，若BD=5，求CD的长11已知ABC中，ABAC（1）如图1，在ADE中，ADAE，点D在线段BC上，DAEBAC=90，连接CE，请写出：BD和CE之间的位置和数量关系为 、 ；BD、CD和AE之间的数量关
7、系为 （2）如图2，在ADE中，ADAE，连接BE、CE，若DAEBAC60，CEAD于点F，AE4，AC，求线段BE的长；（3）如图3，点D是等边ABC外一点，ADC75，若CD3，AD=，则BD的长为 ，请简要写出解答过程12如图，已知OMN为等腰直角三角形，MON90，点B为NM延长线上一点，OCOB，且OCOB，连接CN（1）如图1，求证：CNBM；（2）如图2，作BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2BM2AB2；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AEON于点E，过点B作BFOM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角
8、形？并说明理由13如图1，已知RtABC中，BAC90，点D是AB上一点，且AC8，DCA45，AEBC于点E，交CD于点F(1)如图1，若AB2AC，求AE的长；(2)如图2，若B30，求CEF的面积；(3)如图3，点P是BA延长线上一点，且APBD，连接PF，求证：PF+AFBC14在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，ACB=90，点M为射线CA上一个动点过点M作MEBM，交射线BA于E，将线段BM绕点B逆时针旋转90得到线段BN，过点N作NFBN交BC延长线于点F，连接EF（1）如图1，当点M在边AC上时，线段EM，EF，NF的数量关系为_；（2）如图2，当点M在射线CA上时，判断
9、线段EM，EF，NF的数量关系并说明理由；（3）当点M在射线CA上运动时，能否存在BEF为等腰三角形，若不存在；若存在，请直接写出CM的长15如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”（1）性质探究：如图1已知四边形ABCD中，ACBD垂足为O，求证：AB2+CD2AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB5BC4，分别以ABC的边BC和AB向外作等腰RtBCE和等腰RtABD；如图2，当ACB90，连接DE，求DE的长；如图3当ACB90，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH若GH2，则SABC16如图1，在RtABC中，ACB90，ACBC，将点C绕点B顺时针旋转105得到点D，
10、连接BD，过点D作DEBC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且DBF45，作BFD的角平分线FG交AB于点G（1）求BFD的度数；（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）17某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：（1）如图1，ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD使AEAB，ADAC，BAECAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由（2）如图2，ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰RtABE和等腰RtACD，EAB
11、CAD90，连接BD，CE，若AB4，BC2，ABC45，求BD的长（3）如图3，四边形ABCD中，连接AC，CDBC，BCD60，BAD30，AB15，AC25，求AD的长18如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：b4，点C与点B关于y轴对称，点P，点E分别是x轴，直线AB上的两个动点（1）则点C的坐标为 ；（2）连接PA，PE如图1，当点P在线段BO（不包括B，0两个端点）上运动，若APE为直角三角形，F为斜边PA的中点，连接EF，OF，试判断EF与OF的关系，并说明理由；如图2，当点P在线段OC（不包括O，C两个端点）上运动，若APE
12、为等腰三角形，M为底边AE的中点，连接MO，试探索PA与OM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，连PA，CE，设它们所在的直线交于点G，设CE交y轴于点F，连接BG，若OPOF，则BG的最小值为 参考答案1(1)线段BC的长为4；(2)DEF是等腰三角形，理由见解析(3)存在，BF的长为4或4+2或4-2或2+2或2-2【分析】（1）利用三角形面积公式求得AB的长，再利用勾股定理即可求得线段BC的长；（2）过点F作FHBE于点H，得到BHF为等腰直角三角形，求得BF=8，BH=FH=8，根据已知可求得DE= DF=10，即可说明DEF是等腰三角形；（3）分AC：CF=1：，AC：AF=1：，
13、AF：AC=1：时，三种情况讨论即可求解【解析】（1）解：ABC为等腰直角三角形，且AB=AC，面积为4，ABAC=4，AB=AC=2，BC=4，线段BC的长为4；（2）解：DEF是等腰三角形，理由如下：过点F作FHBE于点H，ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，BC=4，ABC=BCA=45，BHF为等腰直角三角形，且BH=FH，AF=3AB=6，BF=8，BH2+FH2=BF2，即2BH2=(8)2，BH=FH=8，点D是BC的中点，BD=DC=2，则DH=BH-BD=6，DH2+FH2=DF2，即62+82=DF2，DF=10，CE=2BC=8，DE=DC+CE=10，DE= DF
14、=10，DEF是等腰三角形；（3）解：存在，理由如下：ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，BC=4，BAC=FAC=90，当AC：CF=1：时，AB=AC=2，CF=4，AF=2，BF=AB+ AF=4；当AC：AF=1：时，AB=AC=2，AF=4，BF=4+2或4-2；当AF：AC=1：时， AB=AC=2，AF=2，BF=2+2或2-2；综上，存在点F，使ACF的其中两边之比为1:，BF的长为4或4+2或4-2或2+2或2-2【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件2(1)(2)y关于x的函数解析式为(3)PA的值为或或6
15、【分析】（1）根据题意由翻折可知：CD=DC，AC=AC=3，设CD=DC=x，在RtBDC中，根据BD2=CD2+CB2，构建方程即可解决问题；（2）根据题意直接利用勾股定理进行分析即可解决问题；（3）根据题意分三种情形：PA=PD，AP=AD，当PD=AD时，分别求解即可【解析】（1）解：如图1中，由翻折可知：CD=DC，AC=AC=3，设CD=DC=x，在RtBDC中，BD2=CD2+CB2，（4-x）2=x2+22，解得：x=，（2）如图2中，当点P在CD左侧，AC=AC=3，则PC=3-x，当点P在CD右侧，同理可得y关于x的函数解析式为（3）如图3中，当PA=PD时，设PA=PD=
16、m，在RtPCD中，PD2=DC2+CP2，解得：，PA=当AD=AP=时，即P在P时，ADP是等腰三角形，当PD=AD时，点P在AB的延长线上如图4，AP=2AC=6综上所述，满足条件的PA的值为或或6【点评】本题属于三角形综合题，考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题3(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）如图所示，过点B作BGAE交AE延长线于G，先证明ACF=GAB，即可证明ABGCAE得到BG=AE，由勾股定理得，再由，得到，则点B到AE的距离为；（2）如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，先证明AEB
17、HED得到AB=HD=AC，ABE=HDE，则HCD=HDC，ABDH，从而推出BAC=HDC=HCD，再证明CE是AH的垂直平分线，得到AC=HC，则ACE=HCE，即HCA=2ACE，然后推出FGD=HCD=HDC=FAC=2GCD，GD=GC，即可证明AFDGFD（AAS），得到AF=GF，则CF=GF+CG=AF+DG；（3）如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BEBC，由翻折的性质可知，然后证明，得到，则点在线段BC的垂直平分线上，即AFBC，求出，由H是的中点，得到直线A关于点H的对称点在直线BE上，则要使AHC的周长最小，则要最小，即最小，即当、C、H、三点共线时有最小值，如图
18、所示，连接交于，交AF于P，连接BP，先证明，得到，由平行线之间的间距相等，得到，然后求出，再证明，求出，由此求解即可【解析】（1）解：如图所示，过点B作BGAE交AE延长线于G，AECF，AGBG，BAC=AGB=AEF=AEC=90，AFC+ACF=90，FAE+AFE=90，ACF=GAB，又AB=CA，ABGCAE（AAS），BG=AE，在直角AFC中，由勾股定理得，点B到AE的距离为；（2）解：如图所示，延长AE到H使得，AE=HE，连接DH，CH，FD平分AFC，AFD=CFD，E是BD的中点，BE=DE，又AE=HE，AEB=HED，AEBHED（SAS），AB=HD=AC，AB
19、E=HDE， HCD=HDC，BAC=HDC=HCD，ACE=HCE，即HCA=2ACE，GDC=GCD，FGD=GDC+GCD，FGD=HCD=HDC=FAC=2GCD，GD=GC，又FD=FD，AFD=GFD，AFDGFD（AAS），AF=GF，CF=GF+CG=AF+DG；（3）解：如图所示，连接，延长交BC于F，作直线BEBC，由翻折的性质可知，又AB=AC，点在线段BC的垂直平分线上，即AFBC，H是的中点，直线A关于点H的对称点在直线BE上，要使AHC的周长最小，则要最小，即最小，当、C、H、三点共线时有最小值，如图所示，连接交于，交AF于P，连接BP，BEBC，AFBC，又，BC
20、BE，,平行线之间的间距相等，AB=AC，BAC=120，ABC=ACB=30，AB=2AF，P在线段BC的垂直平分线上，PB=PC，PBC=PCB，【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键4(1)（2，-1）；（3,0）(2)6【分析】（1）根据关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为原来的相反数即可解答；设A点坐标为（a，0），再运用两点间距离公式求得BC的长，进而求得AB的长，然后根据两点间距离公式即可求解；（2）作点F关于x轴的对称点H（0，-n
21、），则AF=AH、OF=OH，过点H作HNAC于点N，过点F作FMAE于点M，则C（0，m）、H（0，-n）、m0，进一步说明HC=EF；然后再证明FEMHCN得到FM=HN、EM=CN，证明RtAFMRtAHN得到AM=AN，进一步说明AE=AC，最后求得AC的长即可【解析】（1）解：（1）由关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为原来的相反数，则点C（-2，-1）关于y轴对称点的坐标为（2，-1）；故答案是（2，-1）；设A点坐标为（a，0）B（0，2），C（-2，-1），BC=AB=BC=，解得a=3.点A的坐标为（3,0）（2）解：（2）作点F关于x轴的对称点H（0，-n），则AF=AH
22、、OF=OH，过点H作HNAC于点N，过点F作FMAE于点M， C（0，m），H（0，-n），m0，HC=OC-OH=-m-n，EF=-m-n，HC=EF，AEF=ACO=30，FME=HNC，FEMHCN（AAS），FM=HN，EM=CN，在RtAFM和RtAHN中，AF=AH，FM=HNRtAFMRtAHN（HL），AM=AN，EM+AM=CN+AN，AE=AC，ACO=30，A（3，0），OA=3，AC=2OA=6，AE=6【点评】本题主要考查了轴对称、两点间的距离公式、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，综合应用相关知识成为解答本题的关键5（1）见解析；见解析；（2）90；【分析
23、】（1）根据等边对等角性质和平行线的性质证得即可；过点F作，垂足为H，根据全等三角形的判定证明（AAS）和，再根据全等三角形的性质即可证得结论；（2）AD，BF的交点记为O由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得ABD=90，根据三角形的内角和定了可推导出，再根据平角定义和四边形的内角和为360求得AFD=90；过B作BMAD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由求解即可【解析】（1）证明：，DC平分；证明：如图，过点F作，垂足为H，又，（AAS），（LH），=；（2）如图，AD，BF的交点记为O由（1）知，,，,在中，又，又，又，；过B作BMAD于M，A
24、BD=90，AB=4，BD=BC=3，AD=5， ，ADBC，BCD边BC上的高为，AFD=90，FGAE，DG=1，AD=4+1=5，解得：，FG=2，四边形ABCF的面积为=【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用6（1）是；见解析；（2）见解析；【分析】（1）连接BD、CE，根据四边形内角和为360，求出，即可得出答案；当时，是等腰直角三角形，故，求出AB，由此可
25、知，得出是等腰直角三角形，故可求出DE；过点A作交DE于点F，故，推出，根据AAS证明，由全等三角形的性质得，即可求出DE与AH的关系；（2）连接BD，取BD中点为点O，连接AO、CO即可；过点O作交于点M，过点A作交于点N，故，由得出，求出，推出，在中由勾股定理即可求出AN【解析】（1）如图1，连接BD、CE，四边形BCDE的内角和为360，与互为“底余等腰三角形”，故答案为：是；当时，是等腰直角三角形，与互为“底余等腰三角形”，是等腰直角三角形，故答案为：；过点A作交DE于点F，故，在与中，；（2）如图2，连接BD，取BD中点为点O，连接AO、CO，都是直角三角形，在与中，所作图形能使与互
26、为“底余等腰三角形”；过点O作交于点M，过点A作交于点N，故，在中，,，故答案为：【点评】本题考查几何图形的综合应用，主要涉及到全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、多边形的内角和、直角三角形的性质以及勾股定理等，掌握“底余等腰三角形”的定义是解题的关键7（1），；AP2+BP2=PQ2；（2）见解析；（3）或【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明APCBQC，得出BQ=AP=，CBQ=A=45，那么PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ=，即可得到PC；过点C作CDAB，垂足为D，由ACB为等腰直角三角形，可
27、求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在RtPCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（2）过点C作CDAB，垂足为D，则可证明AP2+BP2=2PC2，在RtPCQ中，PQ2=2CP2，可得出AP2+BP2=PQ2的结论；（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PA、PD的长（用含有CD的式子表示），然后在RtACD和RtPCD中由勾股定理求得AC和PC的长度即可【解析】解：（1）如图连接BQ，ABC是等腰直角三角形，AC=4，AB=，PA=，PB=，ABC和PCQ均为等腰直角三
28、角形，AC=BC，ACP=BCQ，PC=CQ，APCBQC（SAS）BQ=AP=，CBQ=A=45PBQ为直角三角形PQ=，；故答案为：，；如图过点C作CDAB，垂足为DACB为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DCPD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2，AP2+BP2=2CD2+2PD2，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形，2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2；故答案为：AP2+BP2=PQ2；（2）如图：过点C作C
29、DAB，垂足为DACB为等腰直角三角形，CDAB，CD=AD=DBAP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DCPD+PD2，AP2+BP2=2CD2+2PD2，在RtPCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，AP2+BP2=2PC2CPQ为等腰直角三角形，2PC2=PQ2AP2+BP2=PQ2；（3）如图：过点C作CDAB，垂足为D点P位于点P1处时，P1AAB， ，在RtP1CD中，由勾股定理得： ，在RtACD中，由勾股定理得：，；当点P位于点P2处时，P2AABCD， ，在RtP2CD中，由勾股
30、定理得： ，在RtACD中，由勾股定理得：，；综合上述，的值为：或【点评】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，以及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，根据等腰直角三角形的性质得CD=AD=DB，将PA、PB、PQ、AC、PC用含DC的式子表示出来是解题的关键注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行求解.8（1）A；（2）；（3）1【分析】（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；（2）设RtABC其余两条边为a，b，满足a2b23，根据“方倍三角形”定义，还满足：a232b2，即可得a和b的值，进而可
31、得直角三角形的面积；（3）根据题意可得ABPDBP，根据“方倍三角形”定义可得ABD为等边三角形，从而证明APD为等腰直角三角形，可得APDP ，延长BP交AD于点E，根据勾股定理求出BE的长，根据PBC为等腰直角三角形，可得PCPB ，进而可以求PDC的面积【解析】解：（1）对于等边三角形，三边相等，设边长为a，则a2a22a2，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于直角三角形，三边满足关系式：a2b2c2，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案为：A；（2）设RtABC其余两条边为a，b，则满足a2b23，根据“方倍三角形”定义，还满
32、足：a232b2，联立解得 ，则RtABC的面积为：；故答案为：；（3）由题意可知：ABPDBP，BABD，ABPDBP，根据“方倍三角形”定义可知：BA2+BD22AD22BA2，ADABBD，ABD为等边三角形，BAD60，ABPDBP30，PBC90，CPB45，APB18045135，DPC90，ABC120，ACB45，BAC15，CAD45，APD为等腰直角三角形，APDP ，AD2，延长BP交AD于点E，如图，ABPPBD，BEAD，PEADAE1，BE，PBBEPE 1，CPBPCB45，PBC为等腰直角三角形，PCPB，SPDCPCPD（）1【点评】本题考查了翻折变换、等边三
33、角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质9（1）50；105或127.5；（2）3【分析】（1）由题意利用翻折变换的性质求出DEB，可得结论；根据题意分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出DEB即可；（2）根据题意连接CN，BN，过点N作直线lAC，BTCB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQ证明DCMNTD（AAS），推出CDNT3，推出点N在直线l上运动，由C，Q关于直线l对称，推出NCNQ，CQ2NT6，根据CN+BNNQ+BNBQ，求出BQ，可得结论【解析】解：（1）当BEA20时，由翻折的性质可知，DEBDEB 360（18020）100，ED
34、B180DEBB1801003050；（2）当HBHE时，BBAEB30，DEBDEB 360（18030）105；当BHBE时，AEBBHE（18030）75，DEBDEB 360（18075）127.5，当EBHE时，AEB1803030120，DEBDEB 360（180120）150（舍弃），综上所述，DEB为105或127.5；（3）如图3中，连接CN，BN，过点N作直线lAC，NTCB于点T，作点C关于直线l的对称点Q，连接BQDCMMDNDTN90，CDM+TDN90，TDN+TND90，CDMDNT，在DCM和NTD中，DCMNTD（AAS），CDNT3，点N在直线l上运动，C
35、，Q关于直线l对称，NCNQ，CQ2NT6，CN+BNNQ+BNBQ，BQ3，CN+BN3，CN+BN的最小值为3【点评】本题属于三角形综合题，考查翻折变换和三角形内角和定理和全等三角形的判定和性质以及两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题10（1）证明见解析；（2）；（3）13【分析】（1）先求解再证明为等边三角形， 证明 结合勾股定理可得结论；（2）如图，以为边作等边 设 再证明 再利用勾股定理可得答案；（3）如图，以为腰作等腰直角 证明 可得 再利用勾股定理求解 从而可得答案.【解析】解：（1） AB=AC， 为等边三角形， （2），理由如下：如图，以为边作等边
36、由（1）可得：为等边三角形， 而 设 （3）如图，以为腰作等腰直角 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出适当的辅助线构建全等三角形，直角三角形是解题的关键.11（1）BDCE，BD=CE；（2）BE的长为；（3），见解析【分析】（1）利用全等三角形的判定定理证明，再由全等三角形的性质得到BD=CE，B=ACE，从而得到结论；结合的结论及勾股定理得到，再等量代换即可得到结论；（2）连接BD，利用全等三角形的判定与性质定理证得BD=CE，ADB=AEC，再证明是等边三角形求得BDE=90，结合已知条件及勾股定理求出CE长，再由勾股定理计算BE长即
37、可；（3）以AD为边作等边ADM，过点M作MNCD交CD的延长线于点N，利用全等三角形的判定与性质定理证得BD=CM，再说明DMN为等腰直角三角形，最后利用勾股定理进行计算求解即可【解析】解：（1）DAE=BAC=90，DAEDAC=BACDAC，即CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，BD=CE，B=ACE，又BAC=90，B+ACB=90，ACE +ACB=90，即BCE=90，BDCE；由知BCE=90，BD=CE，在中，又在中，；故答案为：BDCE，BD=CE；（2）如图，连接BD，DAEBAC60，DAE+DACBAC+DAC，即CAE=BAD，又AB=AC，AD=AE，BD=CE
38、，ADB=AEC，AD=AE，DAE=60，是等边三角形，AE=DE，DEA=ADE=60，CEAD，AEC=ADB=DEA=30，BDE=90，AE=4，AC=，在中，在中，在中，；（3）如图，以AD为边作等边ADM，过点M作MNCD交CD的延长线于点N，则AD=AM=DM=，DAM=ADM=60，等边ABC，BAC=DAM=60，BAC+CAD=DAM+CAD，即BAD=CAM，又AB=AC，AD=AM，BD=CM，ADC75，MDN=180ADCADM=1807560=45，DMN=MDN=45，MN=DN，即DMN为等腰直角三角形，MN=DN=1，CN=DN+CD=1+3=4，在中，【
39、点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理论证是解题的关键12（1）见解析；（2）见解析；（3）以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，见解析【分析】（1）由直角三角形的性质得出BOM=CON，证明CONBOM（SAS），由全等三角形的性质得出CN=BM；（2）证明BOACOA（SAS），由全等三角形的性质得出AB=AC，证得ANC=90，由勾股定理可得出结论；（3）根据AEON，BFOM，得到，再由AN2BM2AB2得到AE2BF2AP2，得出结论【解析】证明：OCOB，BOC90，MON90，BOCCOMMONCOM，BOMCON，在CON和BOM中，CONBOM（SAS），CNBM；（2）证明：连接AC，OA平分BOC，BOACOA，在BOA和COA中，BOACOA（SAS），ABAC，OMN是等腰直角三角形，ONMOMN45，CONBOM，ONCOMB135，ANCONCONM1354590，AN2CN2AC2，AN2BM2A
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