1、2.2直线的方程知识梳理1、直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线2、直线与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，与y轴的交点的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距。截距不是距离3、两直线平行的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10).4、两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC
2、10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.知识典例题型一 直线方程例 1求适合下列条件的直线方程：经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍；经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形【答案】（1）（2）或【分析】（1）根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍，求出直线的倾斜角，再利用点斜式写出直线（2）与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】（1）已知，直线方程为化简得（2）由题意可知，所求直线的斜率为.又过点，由点斜式得，所求直线的方程为或巩固练习求下列直线方程：(1)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程.(2)求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线
3、方程.(3)求过，两点的直线的方程.【答案】（1）；（2）或；（3）.【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式方程即可得解；（2）按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解；（3）按照、分类，结合两点式方程即可得解.【详解】（1）设所求直线的斜率为，依题意，又直线经过点，所求直线方程为，即；（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为，将代入可得，解得，直线方程为；当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，即；故所求直线方程为或；（3）当时，直线的方程为；当时，直线的方程为，即，时，代入方程，即为，直线的方程为.题型二 截距例 2已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数A1BC或1D2或
4、1【答案】D【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应的值，即可得到答案【详解】由题意，当，即时，直线化为，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当，即时，直线化为，由直线在两坐标轴上的截距相等，可得，解得；综上所述，实数或故选D巩固练习直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 【答案】【分析】分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积.【详解】令可得；令可得，故所求三角形的面积为题型三 两直线位置关系 例 3已知直线l的方程为3x4y120，求下列直线l的方程，l满足：（1）过点(1,3)，且与l平行；（2）过点(1,3)，且与l垂直；【答
5、案】(1)3x4y90; （2）4x-3y+130.【分析】（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解；（2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解.【详解】(1)ll，l的斜率为 直线l的方程为：y3(x1)，即3x4y90. （2）l的斜率为，直线l的方程为：y3(x1)，即4x-3y+130.巩固练习已知点和直线求：(1)过点与直线平行的直线方程；(2)过点与直线垂直的直线方程【答案】（1）； （2）.【分析】(1) 由所求直线与直线平行，先设所求直线的方程是，再将点坐标代入即可求出结果；(2)由所求直线与直线垂直，先设出所求直线方程为，再将点坐标代入
6、即可求出结果.【详解】(1)设所求直线的方程是，点在直线上，即所求直线方程是(2)设所求直线的方程是，点在直线上，即所求直线方程是题型四 中线所在的直线例 4已知的三个顶点分别为，则过点B将的面积平分的直线方程为（ ）ABCD【答案】D【分析】由中点坐标公式先求的中点坐标为，再利用直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：由，则的中点坐标为，则过点B将的面积平分的直线过点，则所求直线方程为，即 ，故选D.巩固练习已知的三个顶点，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的
7、两点式方程求解即可.【详解】（1）因为，由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，化简可得； （2）由，则中点，即，则边上中线所在直线的方程为，化简可得.题型五 定点问题 例 5直线方程kxy+23k=0恒过定点（ ）A（3，2）B（2，3）C（3，2）D（2，3）【答案】A 【分析】将直线方程kxy+23 k=0，转化为 求解. 【详解】因为直线方程kxy+23 k=0， 即为 所以 ， 解得， 所以直线恒过定点（3，2）. 故选：A 巩固练习直线kxy13k0当k变化时，所有的直线恒过定点 【答案】【解析】【分析】先分离参数得到（x-3）k+1-y=0，再解方程组即得直线所经过的定点.【详
8、解】由题得（x-3）k+1-y=0，所以，解之得x=3,y=1,所以直线过定点（3,1）.题型六 对称问题 例 6已知直线l：xy20，一束光线从点P(0,1)以120的倾斜角投射到直线l上，经l反射，求反射光线所在的直线方程【答案】xy(1)0【分析】根据题意求出入射光线所在直线的方程，解方程组可得入射光线与直线的交点坐标Q(1,1)，然后根据反射原理得到点P关于直线yx（过Q与直线垂直的直线）的对称点P(1,0)在反射光线所在直线上，最后根据两点式方程可得所求【详解】如图，设入射光线与交于点Q，反射光线与x轴交于点P，由入射光线倾斜角为120可得入射光线所在直线的斜率为 ，又入射光线过点P
9、(0,1)，入射光线所在的直线方程为，即xy(1)0解方程组 得,所以点Q的坐标为(1,1)过点Q作垂直于的直线l，显然l的方程为yx由反射原理知，点P(0,1)关于l的对称点P(1,0)必在反射光线所在的直线上所以反射光线所在直线的方程为，即xy(1)0巩固练习一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）ABCD【答案】B【分析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.巩固提升1、若直线
10、与直线平行，则（）ABC或2D或【答案】B【分析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a的取值，再根据取值情况，检验是否重合.【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得：或，检验：当时，两直线重合，不成立，所以.故答案为B.2、经过点（，2），倾斜角为60的直线方程是（ ）ABCD【答案】C【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可【详解】由直线的倾斜角为，得到直线的斜率又直线过点则直线的方程为故选3、设直线在轴上截距为，在轴上的截距为，则（ ）ABCD【答案】B【分析】由截距的定义，分别求出直线在x轴和y轴的截距即可.【详解】由直
11、线令 令 即故选B4、下面说法正确的是（ ）.A经过定点的直线都可以用方程表示B不经过原点的直线都可以用方程表示C经过定点的直线都可以用方程表示D经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示【答案】D【分析】根据点斜式、截距式、斜截式法、两点式方程特征逐一分析判断.【详解】经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以A错；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程表示，所以B错；经过定点且斜率存在的直线才可用方程表示，所以C错；当时，经过点的直线可以用方程即表示，当时，经过点的直线可以用方程，即表示，因此经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示，所以D对；故选：D5、若直线和直线互相垂直
12、，则( )A或B3或1C或1D或3【答案】C【分析】直接利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可.【详解】因为直线和直线互相垂直，所以，解方程可得或，故选C.6、（多选）下列说法正确的是（ ）A直线必过定点B直线在轴上的截距为C直线的倾斜角为60D过点且垂直于直线的直线方程为【答案】ABD【分析】将方程化为点斜式，即可判断A；令，得出在轴上的截距，进而判断B；将一般式方程化为斜截式，得出斜率，进而得出倾斜角，从而判断C；由两直线垂直得出斜率，最后由点斜式得出方程，进而判断D.【详解】可化为，则直线必过定点，故A正确；令，则，即直线在轴上的截距为，故B正确；可化为，则该直线的斜率为，即倾斜角为，故
13、C错误；设过点且垂直于直线的直线的斜率为因为直线的斜率为，所以，解得则过点且垂直于直线的直线的方程为，即，故D正确；故选：ABD7、若直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则实数m的取值范围为_【答案】，或【分析】先求出直线的横纵截距，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：令,得，令,得，由直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8，则，解得或，故实数的取值范围为或.8、倾斜角为直线的倾斜角的一半且经过点的直线方程为_【答案】【分析】由直线的斜率可知倾斜角为120，所求直线的倾斜角为60，由点斜式可求得直线方程【详解】直线yx1的倾斜角为120，所以所求直线的倾斜角为60，即斜率为又直线过
14、定点（-4，1），由点斜式可得直线方程为9、已知直线(3k1)x(k2)yk0，则当k变化时，所有直线都通过定点_【答案】.【分析】利用（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 过定点即ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点，解方程组求得定点的坐标【详解】直线（3k1）x+（k+2）yk=0即x+2y+k（3x+y1）=0，由，得 x=，y=，故定点的坐标为（，），故答案为：（，）10、直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数_.【答案】12【分析】求出横截距和纵截距，根据题设条件得到关于的方程，解方程后可得实数的值.【详解】令，则；令，则，故，解得.故答案为：.11、设光线l从点出发，经
15、过x轴反射后经过点，则光线l与x轴交点的横坐标为_，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为_【答案】 【分析】首先，根据光线从点射向x轴，得到其关于x轴的对称点，然后根据反射光线的反向延长线经过和，得到直线，即得光线与x轴的交点.由入射角是60可得折射角是30，且光线经过，由直线的点斜式可得直线方程，以此得出纵截距.【详解】点关于x轴的对称点为，则直线 : 与x轴交于点 ，所以光线与x轴的交点为;由入射角是,得折射角是，且光线经过,得出折射光线所在直线方程为，所以纵截距为.12、根据下列条件，求直线的一般方程：（1）过点且与直线平行；（2）与直线垂直，且在两坐标轴上的截距之和为.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据平行关系可设直线为：，代入点可求得结果；（2）假设直线的截距式方程，根据垂直关系和截距之和可求得截距，整理可得直线一般式方程.【详解】（1）设所求直线方程为：则 所求直线方程为：（2）设直线方程为：由题意可得：，解得：所求直线方程为：，即：
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