2023年湖南省郴州市中考数学试卷（含答案解析）

1、2023年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1. 的倒数是（）A. 2B. C. D. 2. 下列图形中，能由图形通过平移得到的是（） A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（）A. B. C. D. 4. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A. B. C. D. 5. 下列问题适合全面调查的是（）A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C. 了解郴江河的水质情况D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查6. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D. 7. 小王从A地开

2、车去B地，两地相距240km原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达由此可建立方程为（）A. B. C. D. 8. 第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间车修好后，他们继续开车赶往会展中心以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象分析图中信息，下列说法正确的是（） A. 途中修车花了B. 修车之前的平均速度是/C. 车修好后的平均速度是/D. 车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9. 计算：_10. 在一次函数中，随的增大而增大，

3、则的值可以是_（任写一个符合条件的数即可）11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是_12 抛物线与轴只有一个交点，则_13. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分则该参赛队的最终成绩是_分14. 在 Rt ABC中, ACB=90，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _15. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安

4、装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器_台 16. 如图，在中，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是_cm（结果用含的式子表示） 三、解答题（1719题每题6分，2023题每题8分，2425题每题10分，26题12分，共82分）17. 计算：18. 先化简，再求值：，其中19. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图 （1）请把图1中缺失数据，图形补充

5、完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数20. 如图，四边形是平行四边形 （1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；（2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形21. 某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，结果精确到） 22. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；

6、（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？23. 如图，在中，是直径，点是圆上一点在的延长线上取一点，连接，使 （1）求证：直线是的切线；（2）若，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）24. 在实验课上，小明做了一个试验如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离3

7、025201510容器与水的总质量1012152030加入的水的质量57101525把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象 （1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；求关于的函数表达式；当时，随的增大而_（填“增大”或“减小”），随的增大而_（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向_（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围25. 已知是等边三角

8、形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点 （1）如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接设，若，求四边形的面积26. 已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由2023年湖南省郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1. 的倒数是（）A. 2B. C. D. 【答案】B【解

9、析】【分析】乘积是1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要用1除以这个数即可【详解】解： -2的倒数是 故选B【点睛】此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数，先把小数化为分数再求解2. 下列图形中，能由图形通过平移得到的是（） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断【详解】解：观察图形可知，B中图形能由图形通过平移得到，A，C，D均不能由图形通过平移得到；故选B【点睛】本题考查平移熟练掌握平移的性质，是解题的关键3. 下

10、列运算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算，即可得出结论【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意；B、，选项计算错误，不符合题意；C、选项计算错误，不符合题意；D、，选项计算错误，不符合题意；故选A【点睛】本题考查整式的运算熟练掌握相关运算法则，是解题的关键4. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可【详解】A、直三棱柱的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形均不同，A错误；B、圆锥的俯视图为圆

11、，与主视图三角形和左视图三角形均不同，B错误；C、圆柱的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形均不同，C错误；D、球的三视图完全相同，都是圆，D正确；故选D【点睛】本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体5. 下列问题适合全面调查的是（）A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况C. 了解郴江河的水质情况D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查【答案】D【解析】【分析】根据全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可【详解】解：由题意知，A、B、C项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，故不符合要求；D项

12、关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，故符合要求；故选：D【点睛】本题考查了全面调查解题的关键在于熟练掌握全面调查的适用条件6. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可【详解】解：由，得：；由，得：，不等式组的解集为：；数轴上表示如图： 故选C【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集正确的求出不等式组的解集，是解题的关键7. 小王从A地开车去B地，两地相距240km原计划平均速度km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达由此可建立方程为（）A. B. C. D. 【答案

13、】B【解析】【分析】设原计划平均速度为km/h，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可【详解】解：设原计划平均速度为km/h，由题意，得：，即：；故选B【点睛】本题考查根据实际问题列方程找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键8. 第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间车修好后，他们继续开车赶往会展中心以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象分析图中信息，下列说法正确的是（） A. 途中修车花了B. 修车之前的平均速度是/C. 车修好后的平均速度是/D. 车修好后的平均速度是修车

14、之前的平均速度的倍【答案】D【解析】【分析】根据图象信息以及速度路程时间的关系即可解决问题【详解】解：由图象可知途中修车花了，修车之前的平均速度是/，车修好后的平均速度是/,故A、B、C错误，D正确故选 D【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9. 计算：_【答案】3【解析】【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得详解】解： 33=27，故答案3【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键10. 在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是

15、_（任写一个符合条件的数即可）【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】根据一次函数的性质可知“当时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论【详解】解：一次函数中，y随x的值增大而增大，解得：，故答案为：3（答案不唯一）【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是_【答案】#0.7【解析】【分析】根据概率公式进行计算即可【详解】解：由题意，得，随机取

16、出一个球共有10种等可能的结果，其中取出的是红球共有7种等可能的结果，；故答案为：【点睛】本题考查概率熟练掌握概率的计算公式，是解题的关键12. 抛物线与轴只有一个交点，则_【答案】9【解析】【分析】根据抛物线与轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可【详解】解：抛物线与轴只有一个交点，解得c=9故答案为：9【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式；抛物线与x轴有一个交点，则判别式；抛物线与x轴没有交点，则判别式13. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占

17、50%，精神面貌占20%考评某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分则该参赛队的最终成绩是_分【答案】93【解析】【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可【详解】解：由题意，得：（分）；该参赛队的最终成绩是93分，故答案为：93【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键14. 在 Rt ABC中, ACB=90，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _【答案】5【解析】【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：如图：ACB=90，AC=6，BC=8 ACB=9

18、0，D为AB的中点，CD=AB=10=5故答案为5【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键15. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器_台 【答案】4【解析】【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解【详解】解：，对应的圆心角的度数为，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；故答案为：4【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一

19、半，是解题的关键16. 如图，在中，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是_cm（结果用含的式子表示） 【答案】【解析】【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示 在直角中，则，则由旋转性质可知，又，是等边三角形由旋转性质知，故弧的长度为：；故答案为：【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹三、解答题（1719题每题6分，2023题每题8分，2425题每题10分，26题12分，共82分）17. 计算：【答案】4【解析】【分析】先化简

20、各式，再进行加减运算即可【详解】解：原式【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键18. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可【详解】解：，当时，原式【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键19. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图 （1）请把图1

21、中缺失的数据，图形补充完整；（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数【答案】（1）见解析； （2）； （3）300【解析】【分析】（1）根据选择的人数是人，所占的比例是，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择的人数，即可补全统计图；（2）利用乘以选择的人数所占总人数的比即可得解；（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求得【小问1详解】解：（人）选择的人数：（人）补全图形如下： 【小问2详解】解：，研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；【小问3详解】（人）答：最喜欢去地研学的学生人数共有人【点睛】本题考查的

22、是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20. 如图，四边形是平行四边形 （1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；（2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；（2）设与交于点，证明，得到，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证【小问1详解】解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】四边形是平行四边形，如图：设与交于点， 是的垂直平分线，四边形为平行四边形

23、，四边形为菱形【点睛】本题考查基本作图作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键21. 某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，结果精确到） 【答案】该船在航行过程中与小岛的最近距离【解析】【分析】过点作，垂足为，先在中，利用三角函数求出与的关系，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出与的关系，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；【详解】解：过点作，垂足为， 解，在中，即，在中，即，（），该船在航行过程中与小

24、岛的最近距离【点睛】本题主要考查了与方位角有关的解直角三角形，作出相应辅助线构造直角三角形是解题的关键22. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 （2）5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增

25、长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可【小问1详解】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：，解得：（负值已舍掉）；答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；【小问2详解】设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：，解得：；5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键23. 如图，在中，是直径，点是圆上一点在的延长线上取一点，连接，使 （1）求证：直线是的切线；（2

26、）若，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）【答案】（1）见解析； （2）【解析】【分析】（1）连接，由是直径，得，再证，从而有，于是即可证明结论成立；（2）由圆周角定理求得，在中，解直角三角形得，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解【小问1详解】证明：连接， 是直径，是的半径，直线是的切线；【小问2详解】解：，在中，解得，【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键24. 在实验课上，小明做了一个试验如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，

27、容器的质量为在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离3025201510容器与水的总质量1012152030加入的水的质量57101525把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象 （1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；求关于的函数表达式；当时，随的增大而_（填“增大”或“减小”），随的增大而_（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向_（以

28、“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围【答案】（1）作图见解析； （2）；减小，减小，下； （3）【解析】【分析】（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；（2）观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，把，的坐标代入，得，再检验其余各个点是否满足即可；根据可能与成反比例，设，即可得解；跟图像结合解析式作答即可（3）利用反比例函数的性质即可解决问题【小问1详解】解函数图象如图所示， 【小问2详解】解：观察图象可知，可能是反比例函数，设，把的坐标代入，得，经检验，其余各个点坐标均满足，关于的函数表达式；观察表格以及

29、可知，可能与成反比例，设，把的坐标代入，得，经检验，其余各个点坐标均满足，关于的函数表达式；由图图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到，故答案为：减小，减小，下；【小问3详解】解：当时，解得，当时，解得，托盘与点的距离（）的取值范围【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于基础题，中考常考题型25. 已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点 （1）如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与的数量关系是否仍然成立？请说明

30、理由；如图3，连接设，若，求四边形的面积【答案】（1），理由见解析 （2）成立，理由见解析【解析】【分析】（1）过点作，交于点，易得，证明，得到，即可得出结论（2）过点作，交的延长线于点，易得，证明，得到，即可得出结论；过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，根据已知条件推出，得到，证明，得到，求出的长，利用四边形的面积为进行求解即可【小问1详解】解：，理由如下：是等边三角形，过点作，交于点， ，为等边三角形，又，；【小问2详解】成立，理由如下：是等边三角形，过点作，交的延长线于点， ，为等边三角形，又，；过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：， 由知：为等边三角形，为等

31、边三角形，设，则：，即：，联立可得：（负值已舍去），经检验是原方程根，四边形的面积为【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形26. 已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2） （3）或或或【解析】【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）根

32、据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，进而求出点坐标，即可得解；（3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可【小问1详解】解：抛物线与轴相交于点，解得：，；【小问2详解】，当时，抛物线的对称轴为直线的周长等于，为定长，当的值最小时，的周长最小，关于对称轴对称，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，设直线的解析式为：，则：，解得：，当时，；【小问3详解】解：存在，为的中点，在中，当点在点上方时：过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，设点横坐标，则：，解得：，或；当点在点下方时：设与轴交于点，则：，设，则：，解得：，设的解析式为：，则：，解得：，联立，解得：或，或；综上：或或或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题