1、2023年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）A. 爱B. 我C. 中D. 华2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是A. x1D. x13. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面其中教学设计占，现场展示占某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ）A. 分B. 分C. 分D. 分5. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6.
2、如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2则k的值是（ ） A. 2B. C. 1D. 7. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的
3、得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9. 下列选项中正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：类别ABCDE成绩频数2625125 则下列说法正确的是（ ）A. 样本容量为50B. 成绩在米的人数最多C. 扇形图中C类对应的圆心角为D. 成绩在米的频率为0.111. 如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如
4、图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分请将答案写在答题卡相应的位置上）13. 数轴上到原点距离小于的点所表示的整数有_（写出一个即可）14. 已知实数a，b满足，则_15. 如图，在中，按以下步骤作图：以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为_ 16. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成则图中阴影部分的面
5、积为_ 四、解答题（本大题共10个小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上）17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来 18. 先化简，再求值：，其中19. 在中，是斜边上的高 （1）证明：；（2）若，求长20. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）学生从中任意选择两个社团参加活动（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第
6、二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率21. 教育部正式印发义务教育劳动课程标准（2022年版），劳动课成为中小学一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1 5 4 1 a 3 2 b 3 4整理数据：时间段人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据3.43.54 请结合以上信息回答下列问题：（1）_，并补全频数直方图；（2）数据统计完成
7、后，小明发现有两个数据不小心丢失了请根据图表信息找回这两个数据若，则_，_；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数22. 我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好100
8、00元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？23. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到 （1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式24. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的如图，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到
9、点B处（参考数据，） 问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离（结果精确到米）25. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转 特例感知：（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为中点，如图针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，的形状是否发生改变？请说明
10、理由26. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中， （1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围2023年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）A. 爱B. 我C. 中D. 华【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可【详解】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符
11、合题意；将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是A. x1D. x1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可【详解】解：由题意得，x10，解得x1故选：D【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数3. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
12、【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键4. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面其中教学设计占，现场展示占某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ）A. 分B. 分C. 分D. 分【答案】B【解析】【分析】根据加权平均数进行计算即可求解【
13、详解】解：依题意，她的最后得分为分，故选：B【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键5. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解【详解】解：四边形是菱形，,故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键6. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2则k的值是（ ） A. 2B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答【详解】解
14、：轴于点M，轴于直N，四边形是矩形，四边形的面积为2， ，反比例函数在第一、三象限，故选：A【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键7. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据底面周长等于，即可求解【详解】解：依题意，故选：C【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于是解题的关键8. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事
15、情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，根据题意列方程为：，故答案为：A【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号
16、涂在答题卡相应的位置上）9. 下列选项中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据零次幂可判断A，根据绝对值的意义可判断B，化简多重符号可判断C，根据二次根式的性质可判断D，从而可得答案【详解】解：，故A符合题意，故B符合题意；，故C符合题意；，故D不符合题意；故选ABC【点睛】本题考查的是零次幂的含义，绝对值的含义，化简多重符号，二次根式的性质，熟记运算法则是解本题的关键10. 2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：类别ABCDE成绩频数2
17、625125 则下列说法正确的是（ ）A. 样本容量为50B. 成绩在米的人数最多C. 扇形图中C类对应的圆心角为D. 成绩在米的频率为0.1【答案】AC【解析】【分析】结合扇形统计图和统计表格，对选项逐一判断，即可解答【详解】解：样本容量为，故A正确；根据统计表，可得成绩在米的人数最多，故B错误；扇形图中C类对应的圆心角为，故C正确；根据统计表，可得成绩在米的频率为，故D错误，故选：AC【点睛】本题考查了扇形统计图和统计表的结合，能通过统计表格准确地得到所需数据是解题的关键11. 如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】
18、C【解析】【分析】根据是的直径，可得，根据是的切线，可得，根据，可得是等腰直角三角形，进而可得，即可判断A，B，D选项，根据是直角三角形，是斜边，则，即可判断C选项【详解】解：是的直径，故A选项正确，是的切线，故B选项正确，是等腰直角三角形，故D选项正确是直角三角形，是斜边，则，故C选项错误，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键12. 如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与y轴
19、的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴的交点个数可判断选项C；时函数值的情况，可判断选项D【详解】解：A、由函数图象得，抛物线开口向下，故，故A错误；B、图象与y轴的交点在原点上方，故，故B正确；C、因为抛物线和x轴有两个交点，故，故C错误D、当时，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分请将答案写在答题卡相应的位置上）13. 数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有_（写出一个即可）【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】根据实数与数轴的对应关系，得出
20、所求数的绝对值小于，且为整数，再利用无理数的估算即可求解【详解】解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数，则，即，a可以是或或0故答案为：2（答案不唯一）【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键14. 已知实数a，b满足，则_【答案】【解析】【分析】由非负数的性质可得且，求解a，b的值，再代入计算即可【详解】解：，且，解得：，；故答案为：【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，负整数指数幂的含义，理解非负数的性质，熟记零次幂的含义是解本题的关键15. 如图，在中，按以下步骤作图：以点为圆心，以小于长为半径作弧，
21、分别交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为_ 【答案】【解析】【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意， 根据作图可知为的角平分线，故答案为：【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键16. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成则图中阴影部分的面积为_ 【答案】【解析】【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得
22、的长，即可求解【详解】解：如图所示， 依题意，图中阴影部分的面积为故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键四、解答题（本大题共10个小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上）17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来 【答案】不等式组的解集为：画图见解析【解析】【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案【详解】解：，由得：，由得：，在数轴上表示其解集如下： 不等式组的解集为：【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组
23、的解法与步骤是解本题的关键18. 先化简，再求值：，其中【答案】；2【解析】【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可【详解】解：，当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键19. 在中，是斜边上的高 （1）证明：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解【小问1详解】证明：是斜边上的高，又，【小问2详解】，又【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三
24、角形的性质与判定是解题的关键20. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）学生从中任意选择两个社团参加活动（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意列举出所有可能结果；（2）根据列表法求概率即可求解【小问1详解】解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果
25、为；【小问2详解】解：列表如下，共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，他俩选到相同社团的概率为【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比21. 教育部正式印发义务教育劳动课程标准（2022年版），劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1 5 4 1 a
26、 3 2 b 3 4整理数据：时间段人数36m分析数据：统计量平均数中位数众数数据3.43.54 请结合以上信息回答下列问题：（1）_，并补全频数直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了请根据图表信息找回这两个数据若，则_，_；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数【答案】（1）1；频数直方图见解析 （2）4；7 （3）1400人【解析】【分析】（1）用被调查的总人数减去其余两个时间段的人数，补全频数直方图即可；（2）通过（1）可得在家做家务时间段为有1人，故，则，利用众数为4，可知，再利用平均数求得即可；（3）用2000乘调查的学生
27、中劳动时间不少于3小时的人数的占比，即可解答【小问1详解】解：根据题意，可得，故答案为：1，补全频数直方图，如图所示： 小问2详解】解：在家做家务时间段为有1人，且，观察数据，可得在家做家务时间段为的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故，众数为4，在已知数据中在家做家务时间为和的各有2人，根据平均数，可得方程，解得，故答案为：4；7；【小问3详解】解：（人），答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人【点睛】本题考查了频数直方图，平均数的概念，众数的概念，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键22. 我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时
28、31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？【答案】（1）； （2）该商店继续购进了件航天模型玩具【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润销售量，可求得利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；（2
29、）设商店继续购进了m件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可【小问1详解】解：因每件玩具售价为x元，依题意得；【小问2详解】解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，依题意得：，解得，答：该商店继续购进了件航天模型玩具【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键23. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到 （1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；（2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式【答案】（1
30、） （2）【解析】【分析】（1）由点B坐标是，点C为中点，可得，由旋转可得：，可得，可得，从而可得答案；（2）如图，过作于，则，而，证明，可得，设直线为，再建立方程组求解即可【小问1详解】解：点B的坐标是，点C为中点，由旋转可得：，反比例函数的表达式为；【小问2详解】如图，过作于，则，而， ，设直线为，解得：，直线为【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解是解本题的关键24. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）假定在水流量稳定的情况
31、下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的如图，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处（参考数据，） 问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面距离（结果精确到米）【答案】（1）； （2）该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米【解析】【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即
32、可求解【小问1详解】解：旋转一周用时120秒，每秒旋转，当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，；【小问2详解】解：作于点C，设与水平面交于点D，则， 在中，在中，(米)，答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件25. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转 特例感知：（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连
33、接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，的形状是否发生改变？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）的形状不改变，见解析【解析】【分析】（1）连接，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可；（2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；（3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证
34、得是等腰直角三角形【详解】（1）证明：连接，如图， 四边形，都是正方形，四边形是正方形，又，即点P恰为的中点；（2）是等腰直角三角形，理由如下：四边形，都是正方形，是等腰直角三角形；（3）的形状不改变，延长至点M，使，连接， 点P为的中点，设交于点H，交于点N，又，即，即，是等腰直角三角形【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键26. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中， （1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存
35、在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围【答案】（1） （2）或或 （3）或【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据，可得到的距离等于到的距离，进而作出两条的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；（3）根据题意，求得当是直角三角形时的的值，进而观察图象，即可求解，分和两种情况讨论，分别计算即可求解【小问1详解】解：将点，代入，得解得：抛物线解析式为；【小问2详解】，顶点坐标为，当时，解得：，则，则是等腰直角三角形，到的距离等于到的距离，设直线的解析式为解得：直线的解析式为，如图所示，过点
36、作的平行线，交抛物线于点， 设的解析式为，将点代入得，解得：直线的解析式为，解得：或，是等腰直角三角形，且，如图所示，延长至，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设直线的解析式为解得：直线的解析式为联立 解得：或或综上所述，或或；【小问3详解】当时，如图所示，过点作交于点，当点与点重合时，是直角三角形，当时，是直角三角形， 设交于点，直线的解析式为，则，,，是等腰直角三角形，设，则解得：（舍去）或是锐角三角形；当时，如图所示，同理可得即解得：或（舍去）由（2）可得时， 综上所述，当是锐角三角形时，或【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
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