1、2023年山东省日照市中考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分 1. 计算：的结果是（）A. 5B. 1C. -1D. -52. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ） A B. C.
2、 D. 5. 在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ）A B. C. D. 7. 九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）A. B. C. D. 8. 日照灯塔是日照海滨港口城市标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点
3、B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）A. B. C. D. 9. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）A. B. C. D. 大小无法确定10. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）A. B. C. 且D. 且11. 在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）A. B. C. D. 12. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，
4、据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数记，如，即，即，即，以此类推则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第卷（非选择题 84分）二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上13. 分解因式：_14. 若点在第四象限，则m的取值范围是_15. 已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值_16. 如图，矩形中，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，
5、过点M作交于点E，连接下列结论：；四边形的面积不变；当时，；的最小值是20其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题：本题共6个小题，满分72分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. （1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中18. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：甲小区3月份用水量
6、频数分布表用水量（x/m）频数（户）491052 信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：甲小区乙小区平均数9.09.1中位数9.2a信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6根据以上信息，回答下列问题：（1）_；（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；（4）因任务安
7、排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率19. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且 （1）求证：四边形菱形；（2）若，求四边形的面积20. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，的长方体无盖木盒，如图1现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2切割、拼接等板材损耗忽略不计 （1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒_个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使
8、用乙种方式切割的木板材_张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润21. 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆请应用此结论解决以下问题：如
9、图1，中，（）点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接 （1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；（3）已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值22. 在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D （1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标
10、；当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值2023年山东省日照市中考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分1. 计算：的结果是（）A. 5B. 1C. -1D. -5【答案】A【解析】【分析】把减法化为加法，即可求解 。【详解】解：=，故选A【点睛】本题主要考查有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是关键2. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形
11、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选A【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积
12、更小的晶体管目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数【详解】解：，故选A【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键4. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形故选：C【点
13、睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键5. 在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解【详解】解：如图： ，在中，故，故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键6. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据整式乘法运算法则及加法法则逐一判断即可【详解】A、，故错误；B、，故正确；C、，故错误；D、不是同类项，不能合并，故错误；故选：B【
14、点睛】本题考查整式乘法与加法运算法则，熟记基本的运算法则是解题关键7. 九章算术是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设人数为x，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为钱，根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为钱，由此列出方程即可【详解】解：设人数为x，由题意得，故选D【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等
15、量关系是解题的关键8. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在中，得出，设，则，在中，根据正切得出，求解即可得出答案【详解】解：在中，设，则，在中，灯塔的高度AD大约是故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数9. 已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较
16、小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）A. B. C. D. 大小无法确定【答案】C【解析】【分析】根据题意，由勾股定理可得，易得，然后用分别表示和，即可获得答案【详解】解：如下图，为直角三角形的三边，且。，故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出和是解题关键10. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）A. B. C. 且D. 且【答案】D【解析】【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围【详解】解：方程解为正数，且分母不等于0，且故选：D【点睛】此题考查了解分式
17、方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键11. 在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题【详解】解不等式组可得:，且所以对称轴的取值范围在，由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，即根据增减性可得，故选C【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键12. 数学家高斯推动了数学科学发展，
18、被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数记，如，即，即，即，以此类推则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；第2圈有8个点，即到；第3圈有16个点，即到，；依次类推，第n圈，；由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；是在第23圈上，且，即，故B选项正确；第n圈，所以，故C、D选项不正确；故选B【点睛】本题考查图形与规律，利用
19、所给的图形找到规律是解题的关键第卷（非选择题 84分）二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上13. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】根据提取公因式法和平方差公式，即可分解因式【详解】，故答案是：【点睛】本题主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解题的关键14. 若点在第四象限，则m的取值范围是_【答案】#【解析】【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。【详解】解：点在第四象限，解得，故答案为：。【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。
20、15. 已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值_【答案】（满足都可以）【解析】【分析】先判断出一次函数的图象必定经过第二、四象限，再根据判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即，最终选取一个满足条件的值即可【详解】解：，一次函数的图象必定经过第二、四象限，反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，反比例函数（且）的函数图象经过第一、三象限，满足条件的k值可以为1.5，故答案为：1.5（满足都可以）【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据
21、判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限16. 如图，矩形中，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接下列结论：；四边形的面积不变；当时，；的最小值是20其中所有正确结论的序号是_ 【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一可知，可以判断；利用相似和勾股定理可以得出，利用判断；根据相似可以得到，判断；利用将军饮马问题求出最小值判断【详解】解：，在点P移动过程中，不一定，相矛盾，故不正确； 延长交于点P,则为矩形，即，解得：，故正确；，故正确，即当的最小值，作B、D关于的对称点,把图中的向上平移到图2位置，使得，连接，即为的最小值，则，,这时，即的最小
22、值是20，故正确；故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键三、解答题：本题共6个小题，满分72分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17 （1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根据平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则进行计算即可；（2）根据分式的性质进行化简，再将代入求解即可【详解】（1）解：（2）解：将代入可得，原式【点睛】本题考查了平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则，分式的化
23、简求值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键18. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：信息一：甲小区3月份用水量频数分布表用水量（x/m）频数（户）491052 信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：甲小区乙小区平均数9.09.1中位数9.2a信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.
24、5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6根据以上信息，回答下列问题：（1）_；（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率【答案】（1） （2），理由见解析 （3）甲小区有
25、40户，乙小区有50户 （4）【解析】【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可；（3）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解；（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可【小问1详解】解：随机抽取了30户居民，故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，用水量在的有10户，用水量在的有4户，用水量在的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，乙小区3月份用水量在第三组的数据为
26、：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6乙小区3月份用水量的中位数是；故答案为：【小问2详解】解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；低于本小区平均用水量的户数为（户），故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；低于本小区平均用水量的户数为（户），故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；，故【小问3详解】解：甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户），乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户），即甲小区3月份用
27、水量不低于的总户数有40户，乙小区3月份用水量不低于的总户数有50户【小问4详解】解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，抽取的两名同学都是男生的概率为【点睛】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比19. 如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且 （1）求证：四边形是菱形；（2）若，求四边形的面积【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接与交于O，先由平行四边形对角线互
28、相平分得到，再利用证明得到，进而证明，得到，由此即可证明平行四边形是菱形；（2）先由菱形的性质得到，再解， 得到，利用勾股定理求出，则，则【小问1详解】证明：如图所示，连接与交于O，四边形是平行四边形，在和中，在和中，平行四边形是菱形； 【小问2详解】解：四边形是菱形，在中，（负值舍去），【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键20. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，的长方体无盖木盒，如图1现有200张规格为的木板材，
29、对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2切割、拼接等板材损耗忽略不计 （1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒_个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材_张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并
30、求出最大利润【答案】（1）， （2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张 （3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元【解析】【分析】（1）根据题意即可求解；（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可；（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数
31、的性质进行求解即可【小问1详解】解：要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，故制作B种木盒个；有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，故使用乙种方式切割的木板材张；故答案为：，【小问2详解】解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；故解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，【小问3详解】解：
32、用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本（元）；两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，即，解得：，故的取值范围为；设利润为，则，整理得：，故随的增大而增大，故当时，有最大值，最大值为，则此时B种木盒的销售单价定为（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键21. 在探究“四点
33、共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆请应用此结论解决以下问题：如图1，中，（）点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接 （1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；（3）已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆；（2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理
34、得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线；（3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可【小问1详解】证明：由旋转的性质可得，即，又，A、B、D、E四点共圆；【小问2详解】证明：如图所示，连接，是四边形的外接圆，即，又是的半径，是的切线； 【小问3详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，点M是边的中点，在中，是四边形的外接圆，点P一定在的垂直平分线上，点P在直线上，当时，有最小值，在中，圆
35、心P与点M距离的最小值为【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键22. 在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D （1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值【答案】（
36、1）， （2） （3），；【解析】【分析】（1）先求出，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此求出点D的坐标即可；（2）先求出，如图，设上与点M关于直线对称点为，由轴对称的性质可得，利用勾股定理建立方程组，解得或（舍去），则，求出直线的解析式为，然后联立，解得或，则；（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方程求解即可【小问1详解】解：在中，当时，抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，C、D关于抛物线对称轴对称，；【小问2详解】解：当时，抛物线解析式为，当，即，解得或，；如
37、图，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，解得：，即，解得或（舍去），设直线的解析式为，直线的解析式为，联立，解得或； 【小问3详解】解：当时，抛物线解析式为，当时，抛物线恰好经过；抛物线对称轴为直线，由对称性可知抛物线经过，点时抛物线与正方形的一个交点，又点F与点D重合，抛物线也经过点；综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，； 如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D，当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，点T的纵坐标为，解得（舍去）或； 如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S，当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，解得（舍去，因为此时点F在点D下方） 如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S，当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，解得或（舍去）；当时，当 时，不符合题意； 综上所述，【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键
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