初三下册数学直升班培优讲义：第8讲 梅涅劳斯定理（含答案）

1、第8讲梅涅劳斯定理模块一：梅涅劳斯定理的应用梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形梅涅劳斯定理的证明：证法一：如图，过C作CG/DF，证法二：如图，过A作AG/BD交DF的延长线于G， ，三式相乘即得：证法三：如图，分别过A、B、C作DE的垂线，分别交于、则有/，模块二：梅涅劳斯定理的逆定理梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线模块一 梅涅劳斯定理的应用例题 1如图，在中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：【解析】 直线是的

2、梅氏线，而，即【教师备课提示】梅氏定理的主要应用是利用梅氏定理求求比例，这道题主要考查梅氏定理的直接应用例题 2如图，在中，AD、CE交于点F，若，求【解析】 直线是的梅氏线，又，【教师备课提示】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线例题 3如图，点D、E分别在的边AC、AB上，BD与CE交于点F，求【解析】 对和截线，由梅氏定理得：，即，【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和面积问题例题 4如图，在中，BF交DE于点P求【解析】 如图，过点作AG/DE交BC于G，交BF于O，则可得：，且直线是的梅氏线，【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和线束模型的综合

3、例题 5已知AD是的高，点D在线段BC上，且，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG【解析】 如图，设，EFG是的梅氏线则由梅涅劳斯定理显然的，于是，得【教师备课提示】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合例题 6如图，在中，D为BC的中点，求【解析】 HFC是的梅氏线， ，D为BC的中点，GEC是的梅氏线，【教师备课提示】这道题主要考查多个梅氏定理的应用，考查相对综合模块二 梅涅劳斯定理的逆定理例题 7P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q求证：D，P

4、，Q三点共线【解析】 对和截线DPQ，由梅涅劳斯定理的逆定理得：，故D，P，Q三点共线【教师备课提示】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线例题 8如图，在中，的外角平分线与边BC的延长线交于点P，的平分线与边CA交于点Q，的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线【解析】 AP是的外角平分线，则 BQ是的平分线，则 CR是的平分线，则 得，因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用复习巩固模块一 梅涅劳斯定理的应用演练 1如图，在中，AD、BE交于点，求【解析】 由AFD截可得，又，演练 2如图，在中，D为AC中点，求证：【解析】 直线AE是的梅氏线，直线AF是的梅氏线，模块二 梅涅劳斯定理的逆定理演练 3如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F证明：D、E、F三点共线【解析】 过C作BE的平行线，则，所以是等腰三角形则则有：同理；所以所以D、E、F共线