1、第12讲 特殊四边形综合模块一 特殊四边形的性质例题 1（1）如图，分别以直角的斜边AB，直角边AC为边向外作等边和等边，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，给出如下结论：EFAC；四边形ADFE为菱形；其中正确结论的是_（2）如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CEBD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：EH=AB；ABG=HEC；ABGHEC；CF=BD正确的有_（3）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点
2、H处，点D落在点G处，有以下四个结论：四边形CFHE是菱形；EC平分DCH；线段BF的取值范围为；当点H与点A重合时，以上结论中，你认为正确的有_（1）； 是等边三角形，F为AB的中点，故正确，HF/BC；F是AB的中点 ，故说法正确；，四边形ADFE不是菱形；故说法不正确；，；则，故说法正确.（2）； ，H为BC中点在中，；又，故正确；由可知，又，故正确；由，得同理：，错误；，又， ，故正确（3）； FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，FH/CG，EH/CF，四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，四边形CFHE是菱形，（故正确）；，只有时EC平分，（故错误）
3、；点H与点A重合时，设，则，在中，即解得，点G与点D重合时，线段BF的取值范围为，（故正确）；过点F作于M，则，由勾股定理得，EF=，（故正确）例题 2如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M求证： 连接DG，在和中，又，在中，也是的外角，D、G、M三点共线，（已证），【教师备课提示】本题综合性较强，证明三点共线是解题的关键教师备选如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，交边CD于点P，连接NM，NP（1）若，这时点P与点C重合，则_度；（2）求证：；（3）当为等腰三角形
4、时，求的度数 备用图（1）交边CD于点P，点P与点C重合，N是BC的中点，；（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，四边形ABCD是菱形，ABDC，点N是线段BC的中点，在和中，即点N是线段ME的中点，交边CD于点P，；（3）如图2四边形ABCD是菱形，又M，N分别是边AB，BC的中点，由（2）知：，又，设，则，若，则，在中，解得：，若，则，在中，解得：，模块二 变式题【教师备课提示】针对变式题的例题，每一种的变式所对应的解题方法都是类似的，只要能够掌握其中的一种变式的解决思路，其他的变式的解题思路也就类似了例题 3如图3-1，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一
5、条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC若.（1）求出线段PG与PC的位置关系及的大小；（2）将图3-1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图3-2）你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明 图3-1 图3-2（1），；如图，延长GP交DC于点H，在菱形ABCD和菱形BEFG中，AE/DC，AE/GF，DC/GF，在PDH和PFG中，是等腰三角形，；（2）（1）中两个结论仍成立；证明：如图，延长GP交AD于点H，连接CG，四边形ABCD和BEFG是菱形，AD/BC，BE/FG，E在CB的延长线上AD/
6、FG，在和中，在和中，【教师备课笔记】当菱形BEFG绕B点旋转的角度为任意角时，和也成立.（延长GP到H点使得，连接DH，CH和CG）例题 4（西川期末）在平行四边形ABCD中，的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图4-1中证明；（2）若，G是EF的中点（如图4-2），求的度数；（3）若，FG/CE，分别连接BD、DG（如图4-3），直接写出的度数 图4-1 图4-2 图4-3 （1）证明：如图1，AF平分，四边形ABCD是平行四边形，AD/BC，AB/CD，.（2）连接GC、BG，四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD为矩形，AF平分，DF/AB， 为等腰直角三角形，G为
7、EF中点，为等腰直角三角形，在与中，又，为等腰直角三角形，.（3）证法同2，如图3【教师备课笔记】本题就是考查利用已知条件通过辅助线构造全等三角形的知识例题 5在菱形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且，连接BE、EF（1）若E是线段AC的中点，如图5-1，证明：；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图5-2、图5-3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明 图5-1 图5-2 图5-5（1）四边形ABCD为菱形，又，是等边三角形，E是线段AC的中点，；（2）图2：图3：图2证明如下：过点E作EG/BC，交A
8、B于点G，四边形ABCD为菱形，又，是等边三角形，又EG/BC，又，是等边三角形，又，又，；图3证明如下：过点E作EG/BC交AB延长线于点G，四边形ABCD为菱形，又，是等边三角形，又EG/BC，又，是等边三角形，又，又， 【教师备课笔记】本题就是考查辅助线构造全等三角形的知识复 习 巩 固模块一 特殊四边形的性质综合演练1在菱形ABCD中，点E平分DC，点P在BD上，且，那么边AB长的最大值是_如图，连接AP，AE，AC根据四边形ABCD是菱形，是等边三角形，所以即AB长的最大值是演练2如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接
9、DE，BO若，则下列结论：，；四边形EBFD是菱形；其中正确结论为_ ；连接OD即可演练3已知：矩形ABCD中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图3-1）（1）求证：；（2）如图3-2，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；（3）在（2）的条件下，若的面积与的面积比为，求的值 图3-1 图3-2（1）连接BD，则BD过点O，AD/BC，又，；（2）矩形ABCD，AD/BC，又，四边形AMCN是平行四边形，由翻折得，四边形AMCN是菱形；（3），又，设，则，过N作于点G，则，模块二 变式题演练4已知：在中，点D为直线
10、BC上一动点（点D不与B、C重合）以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图4-1，当点D在线段BC上时，求证：（2）如图4-2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图4-3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究的形状，并说明理由 图4-1 图4-2 图4-3（1）证明：，四边形ADEF是正方形，在和中，；由可得，；（2）与（1）同理可得，所以，；（3）与（1）同理可得，所以，；，则，四边形ADEF是正方形，在和中，则为直角三角形，正方形ADEF中，O为DF中点，在正方形ADEF中，是等腰三角形
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