1、武汉市东湖高新区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）A. 3，4B. 3，0C. 3，D. 3，3. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（）A. B. C. D. 5. 将抛物线向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线解析式是（ ）A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两根分别
2、为m，n，则的值是（ ）A. 5B. 3C. D. 7. 如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）A. 8B. 10C. 7D. 910. 如图，在中，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，当点D，E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）A. B. C. D. 二、
3、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的坐标是_12. 如图，在中，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点F，则_13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_14. 如图，是的直径，则的半径为_15. 已知m为方程的根，那么的值为_16. 抛物线（a，b，c为常数）开口向上，且过点，下列结论：；若点都在抛物线上，当时；若方程没有实数根，则，其中正确结论的是_三、解答题（共8小题，共72分）17. 解方程：18. 如图，在中，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E对应点为点D，连接，求证：19. 如图，在长为，宽为
4、的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪要使草坪的面积为，则道路的宽应为多少？20. 如图，内接于是的直径，与交于点E，（1）如图，若与互余，求证：；（2）如图，若，试求直径的长21. 已知正方形，点F是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），（1）在图中，画出正方形的中心O；将线段绕正方形中心旋转；（2）在图中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转；（3）在图中，点F为正方形边上任意一点，作F关于的对称点H22. 武汉市东湖高新区某企业投入50万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量），经测算，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件
5、）之间满足函数关系式，第一年除50万元外其他成本为9元/件（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；（2）企业为实现该产品第一年利润为10万元的目标，且让更多消费者获得实惠，那么该产品第一年的售价定为多少元件？（3）在第二问情况下，第二年该企业为扩大生产，将第一年利润全部作为技改资金再次投入（只计入第一年成本）后，其他成本下降了3元/件，若第二年售价不高于第一年，销售量不超过15万件，则第二年利润最少是多少万元？23. 在中，将绕点A旋转，得到（1）如图，当时，四边形是什么四边形？并说明理由；（2）将绕点A由图位置开始顺时针旋转，的延长线交直线于点F旋转至如图，用等式表示与
6、数量关系，并证明你的结论；旋转至如图，在的结论下，的延长线交于点H，E为的中点，且，直接写出的长_24. 如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为，对称轴为（1）求此抛物线解析式；（2）在第四象限抛物线上找一点F，使，求点F的坐标；（3）如图，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标武汉市东湖高新区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务
7、，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）【答案】B【解析】【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断即可【详解】解：A选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；B选项中的图形是中心对称图形，故符合题意；C选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意；D选项中的图形不是中心对称图形，故不符合题意，故选：B【点睛】本题考查中心对称图形，理解中心对称图形的概念，找准对称中心是解答的关键2. 一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）A. 3，4B. 3，0C. 3，D. 3，【答案】A【解析
8、】【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可【详解】解：将一元二次方程化成一般形式为：，二次项系数和一次项系数分别是3，4，故选：A【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题关键3. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理即可求解【详解】是的两条半径，点C在上， C= =40故选：B【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键4.
9、 用配方法解方程时，配方后得到的方程为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项【详解】解：，.故选：A.【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键5. 将抛物线向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可【详解】解：抛物线向上平移3个单位得到解析式：，再向左平移1个单位得到抛物线的解析式为：故选：D【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的
10、变化确定图形的变化是解题的关键6. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值是（ ）A. 5B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系进行计算即可【详解】解: 一元二次方程 的两根为m, n,故选：D【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系式是解题关键7. 如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可
11、知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出即可求出，即证明，即D选项正确；【详解】由旋转可知，点A，D，E在同一条直线上，故A选项错误，不符合题意；由旋转可知，为钝角，故B选项错误，不符合题意；，故C选项错误，不符合题意；由旋转可知，为等边三角形，故D选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定利用数形结合的思想是解答本题的关键8. 已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解【详解】解：
12、由题可知，画出函数图象如图所示，并把，点A在点B左侧，按坐标绘制在图象上，根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项D正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，借助函数图象，利用数形结合的思想是解本题的关键9. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）A. 8B. 10C. 7D. 9【答案】B【解析】【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可【详解】设有x支队伍，根据题意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解
13、题的关键10. 如图，在中，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，当点D，E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接，设交于点G，根据旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，可证得是等边三角形， 从而得到，再由，求出，然后证明，可得，从而得得到，再根据三角形的面积公式，即可求解【详解】解：如图，连接，设交于点G，根据题意得：，O为中点，是等边三角形， ，的面积是故选：D【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键二、填空题（共6
14、小题，每小题3分，共18分）11. 在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的坐标是_【答案】（-3，2）【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案【详解】解：点（3，-2）关于原点的对称点的坐标是（-3，2），故答案为：（-3，2）【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律12. 如图，在中，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点F，则_【答案】【解析】【分析】根据已知可以得出，而将绕点按逆时针方向旋转，可知，最后通过三角形内角和定理即可求解【详解】解：在中，是将绕点按逆时针方向旋转后得到的，,故答案为：【点睛】本题考查旋
15、转变换、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为_【答案】#0.25【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根，可得，计算即可【详解】关于x的方程有两个相等的实数根，解得，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，；熟练掌握知识点是解题的关键14. 如图，是的直径，则的半径为_【答案】【解析】【分析】连接，根据，可得，从而得到，再由是的直径，可得，然后根据勾股定理，求出，即可求解【详解】解：如图，连接，是的直径，的半径为故答案：【点睛】本题主
16、要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键15. 已知m为方程的根，那么的值为_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可【详解】解：m是方程的一个根，故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解也考查了代数式的变形16. 抛物线（a，b，c为常数）开口向上，且过点，下列结论：；若点都在抛物线上，当时；若方程没有实数根，则，其中正确结论的是_【答案】【解析】【分析】根据开口方向，对称轴和与y轴的交点可判断；根据和时的函数值可判断；根据二次函数的增减性可
17、判断；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断【详解】解：抛物线开口向上，过点，故正确；根据题意得，当时，有，故不正确；过点， ，到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，结合抛物线开口向上，可得：，故正确；若方程没有实数根，即没有实数根，顶点纵坐标，故正确，故选：【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的，下方的点对应的三、解答题（共8小题，共72分）17. 解方程：【答案】【解析】【分析】利用公式法即可求解【详解】解：，【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练
18、掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18. 如图，在中，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E的对应点为点D，连接，求证：【答案】见解析【解析】【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求证【详解】证明：是由旋转得到又【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键19. 如图，在长为，宽为的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪要使草坪的面积为，则道路的宽应为多少？【答案】道路的宽应为【解析】【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形
19、地面-所修路面积=草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可【详解】解：设道路的宽为，列出方程得：整理得：解方程得：（舍）答：道路的宽应为【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解20. 如图，内接于是的直径，与交于点E，（1）如图，若与互余，求证：；（2）如图，若，试求直径的长【答案】（1）见解析 （2）直径长为【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于可得，再根据可得，从而可得，即可解答；（2）过点作于点F，连接，根据等腰三角形的性质可得，即为等腰直角三角形，在结合垂径定理，勾股定理即可解答【小问1详解
20、】证明：是的直径又与互余【小问2详解】过点作于点，连接，又，为等腰直角三角形综上所述，直径长为【点睛】本题只要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理及推论等知识，熟练掌握综合运用这些知识，正确作出辅助线是解题关键21. 已知正方形，点F是的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），（1）在图中，画出正方形的中心O；将线段绕正方形中心旋转；（2）在图中，将直线绕着正方形的中心顺时针旋转；（3）在图中，点F为正方形边上任意一点，作F关于的对称点H【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接，延长交于点H，连接即可；（2）连接交
21、于点G，连接并延长交于点E，分别连接，交于点O，作直线即可；（3）连接交于点O，连接并延长交于点H，点H即为所求【小问1详解】如图，点O，线段即为所求；【小问2详解】如图，直线即为所求；【小问3详解】如图，点HE即为所求；【点睛】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题22. 武汉市东湖高新区某企业投入50万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量），经测算，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式，第一年除50万元外其他成本为9元/件（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x
22、之间的函数关系式；（2）企业为实现该产品第一年利润为10万元的目标，且让更多消费者获得实惠，那么该产品第一年的售价定为多少元件？（3）在第二问情况下，第二年该企业为扩大生产，将第一年利润全部作为技改资金再次投入（只计入第一年成本）后，其他成本下降了3元/件，若第二年售价不高于第一年，销售量不超过15万件，则第二年利润最少是多少万元？【答案】（1） （2）该产品第一年的售价是14元 （3）第二年的利润至少为65万元【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系，列出函数关系式即可，总利润=单个利润数量万元；（2）把代入（1）中的关系式，即可求解；（3）根据题意，先确定第二年售价的取值范围，再列出第二
23、年利润的函数关系式，根据函数的开口方向和增减性，即可求解【小问1详解】解：根据题意得：；【小问2详解】该产品第一年利润为10万元，解得：让更多消费者获得实惠，从而达到推广产品的目的，不合题意舍去答：该产品第一年的售价是14元【小问3详解】第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过15万件，解得设第二年利润是万元，抛物线开口向下，对称轴为直线，又，时，有最小值，最小值为（万元），答：第二年的利润至少为65万元【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键仔细审题，是根据题意找出等量关系，列出函数关系式23. 在中，将绕点A旋转，得到（1）如图，当时，四边形是什么四边形？并说明理由；（2
24、）将绕点A由图的位置开始顺时针旋转，的延长线交直线于点F旋转至如图，用等式表示与的数量关系，并证明你的结论；旋转至如图，在的结论下，的延长线交于点H，E为的中点，且，直接写出的长_【答案】（1）四边形是菱形理由见解析 （2），证明见解析；【解析】【分析】（1）证明，进而可得，则可得四边形是菱形；（2）先证明，再根据三角形外角的性质求出，等量代换得出即可；过A作，证明为直角三角形，设，则，根据勾股定理列方程求出x，进而可得，然后利用面积法求出，利用勾股定理求出，证明，四边形是矩形，可得，然后可得答案【小问1详解】解：四边形是菱形；理由：是由绕点A旋转所得，在和中，又，四边形是菱形；【小问2详解】
25、解：，理由是：是由绕点A旋转所得，又，；过A作，E为中点，即为直角三角形，设，则，而，由得：，解得：（负值已舍去），四边形是矩形，故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，解一元二次方程，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题24. 如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为，对称轴为（1）求此抛物线解析式；（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使，求点F的坐标；（3）如图，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B
26、与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）F坐标为 （3）点P坐标为或【解析】【分析】（1）将代入解析式，结合对称轴即可求解；（2）过A点作，交抛物线于点F，连接根据平行线的性质推出，求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立，即可求出交点坐标；（3）设点P坐标为，根据中心对称求出，再依次求出，分，三种情况分别求解即可【小问1详解】解：抛物线经过点，对称轴，此抛物线的解析式为；【小问2详解】解：如图，过A点作，交抛物线于点F，连接，点A与点F到直线的距离相等，抛物线解析式为，令，得，令，得，解得，设直线解析式为，则， 解得，设直线的解析式为，将代入，得，解得，直线解析式为联立与，可得，整理得，解得，点F在第四象限，把代入到，得，即F坐标为；【小问3详解】解：设点P坐标为，抛物线解析式为，顶点E坐标为，点E与点H关于点P对称，点B与点Q关于点P对称，当时，则，得，解方程得，P坐标为；当时，则，得，解方程得，P坐标为；当时，则，得，即，此方程没有实数根，这种情况不存在；综上所述：点P坐标为或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、中心对称、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识点，综合性质较强，解题的关键是熟练运用数形结合和分类讨论思想
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