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    第3章勾股定理 单元提优卷(含答案解析)2023-2024学年苏科版八年级数学上册

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    第3章勾股定理 单元提优卷(含答案解析)2023-2024学年苏科版八年级数学上册

    1、第3章 勾股定理一选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1在单位长度为1的正方形网格中,下面的三角形是直角三角形的是()ABCD2下列各组线段能构成直角三角形的一组是()A2、3、4B、C4、5、6D6、8、103如图,在赵爽弦图中,已知直角三角形的短直角边长为a,长直角边长为b,大正方形的面积为25,小正方形的面积为5,则ab的值是()A4B6C8D104如图,在ABC中,ABAC5,BC6,D是BC的中点,则AD的长为()A4B5C6D75(2023枣阳市二模)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方

    2、形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为()A9B6C4D36(2023春昭通期末)在RtABC中,C90,AB10,AC6,则BC的长度为()A6B8C10D127(2023春梁山县期末)如图,在ABC中,BAC90,BC5,以AB,AC为边作正方形,这两个正方形的面积和为()A5B9C16D258(2023春前郭县期末)根据下列条件不能判定三角形是直角三角形的是()AA:B:C2:3:5Ba:b:c5:3:4Ca,b,cDA+B2C9(2023春南部县校级期末)如图,一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,测得AO2

    3、m若梯子的顶端沿墙下滑0.5米,这时梯子的底端也恰好外移0.5米,则梯子的长度AB为()A2.5mB3mC1.5mD3.5m10(2022秋卧龙区校级期末)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一它不但因证明方法层出不穷吸引着人们,更因为应用广泛而使人入迷如图,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE1m,将它往前推6m至C处时(即水平距离CD6m),踏板离地的垂直高度CF4m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是()mABC6D 评卷人 得 分 二填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11(2023春合阳县期末)如图,R

    4、tABC中,分别以这个三角形的三边为边长作正方形,面积分别记为S1、S2、S2如果S2+S1S318,则阴影部分的面积为 12(2023春米东区校级期末)如图,ABC中,C90,ACBC,AD是BAC的平分线,DEAB于E,若AB12cm,则DBE的周长等于 13(2023春广安区校级期末)如图所示,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.5米,则梯子顶端A下落了 米14(2022秋南阳期末)如图,在ABC中,ACB90,AB10cm,BC6cm,若动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线ACBA运动设运动时

    5、间为t(t0)s当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时,t的值为 15(2022秋阳城县期末)如图,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中AE10,BE24,则EF的长是 16(2022秋青岛期末)如图,已知一块四边形草地ABCD,其中A45,BD90,AB10m,CD5m,则这块土地的面积为 17(2023春前郭县期末)如图,某自动感应门的正上方装着一个感应器,离地2.5米,当物体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开一个身高1.6米的学生正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时,感应门才自动打开,则感应器的最大感应距离是 米18(2022

    6、秋南安市期末)在如图所示的图形中,所有四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20,则正方形B的面积是 19(2023春莒南县期中)如图,在ABC中,ACB90,以AC,BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF,点G落在MI上,若AC+BC7,空白部分面积为16,则图中阴影部分的面积是 20(2022秋闵行区期中)阅读材料:在直角三角形中,斜边和两条直角边满足定理:两条直角边的平方和,等于斜边的平方因此如果已知两条边的长,根据定理就能求出第三边的长例如:在RtABC中,已知C90,AC3,BC4,由定理得AC2+BC2AB2,

    7、代入数据计算求得AB5请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题:已知:如图,C90,ABCD,AB5,CD11,AC8,点E是BD的中点,那么AE的长为 评卷人 得 分 三解答题(共8小题,满分60分)21(6分)(2023春宝清县校级期末)如图,AD是ABC的中线,DEAC于点E,CE2,DE4,AE8求证:ADC9022(6分)(2023春禹州市期中)如图,是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,已知 AC8,BC6,其中阴影部分的面积是 .23(8分)(2022秋南宫市期末)如图,在ABC中,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,ADBC,且BDDE,连接AE(1)若BAE44

    8、,求C的度数(2)若AC7cm,DC5cm,求ABC的周长24(8分)(2022秋南关区校级期末)如图,在ABC中,ABC90,AC13,BA5,点P从点C出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线CAB运动设点P的运动时间为t(t0)(1)BC (2)求斜边AC上的高线长(3)当P在AB上时,AP的长为 ,t的取值范围是 (用含t的代数式表示)若点P在BCA的角平分线上,则t的值为 (4)在整个运动过程中,直接写出PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值#Z32025(8分)(2023春成武县校级期末)在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中ABAC,由于某种原因,由C到A

    9、的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB3千米,CH2.4千米,HB1.8千米(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路?(即问:CH与AB是否垂直?)请通过计算加以说明;(2)求原来的路线AC的长26(8分)(2022秋屯留区期末)如图,在距离铁轨AB300米的点C处(即CD300米,CDAB),观察由太原到北京的“和谐号”动车,当动车车头在点A处时,恰好位于点C处的北偏东45的方向上,14秒后,动车车头由A处到达点B处,此时测得B,C两点间的距离为500米,求这列动车的平均速度27(8分)(2022秋佛山期末)在AB

    10、C中,BAC90,D为ABC内一点,连接DA,DC,延长DA到点E,使得AEAD(1)如图1,延长CA到点F,使得AFAC,连接BF,EF若BFEF,求证:CDBF;(2)连接BE,交CD的延长线于点H,如图2,若BC2BE2+CD2,试判断CD与BE的位置关系,并证明28(8分)(2023春金安区校级期末)如图,在ABC中,AB15,BC14,AC13,求ABC的面积某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路,完成解答过程(1)作ADBC于D,设BDx,用含x的代数式表示CD,则CD ;(2)请根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”建立方程,并求出x的值;(3)利用勾股

    11、定理求出AD的长,再计算三角形的面积参考答案一选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)1解:A、三角形的三边为,2,3,则这个三角形不直角三角形,本选项不符合题意;B、三角形的三边为,则这个三角形不直角三角形,本选项不符合题意;C、三角形的三边为,2,则这个三角形是直角三角形,本选项符合题意;D、三角形的三边为,2,这个三角形不直角三角形,本选项不符合题意;故选:C2解:A、22+3242,不能构成直角三角形,故选项A不符合题意;B、()2+()2()2,不能构成直角三角形,故选项B不符合题意;C、42+5262,不能构成直角三角形,故选项C不符合题意;D、62+82102,能构成直角三角

    12、形,故选项D符合题意;故选:D3解:设大正方形的边长为c,则c2a2+b225,小正方形的面积(ab)25,252ab5,解得:ab10,故选:D4解:BC6,D是BC的中点,ABAC,BDCD3,ADBC,ADB90,AD4,故选:A5解:由题意可知:中间小正方形的边长为:ab,每一个直角三角形的面积为:ab84,从图形中可得,大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和,4ab+(ab)225,(ab)225169,ab3故选:D6解:如图,在RtABC中,C90,AB10,AC6,故选:B7解:ABC为直角三角形,阴影部分的面积和为AC2+AB2BC225故选:D8解:A

    13、A:B:C2:3:5,A+B+C180,最大角C18090,ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;Ba:b:c5:3:4,b2+c2a2,ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;Ca,b,c,b2+c2a2,ABC是直角三角形,故本选项不符合题意;DA+B2C,A+B+C180,3C180,C60,A+B120,不能求出ABC的一个角是直角,即ABC不一定是直角三角形,故本选项符合题意;故选:D9解:设BOxm,依题意得:AC0.5m,BD0.5m,AO2m在RtAOB中,根据勾股定理得:AB2AO2+OB222+x2,在RtCOD中,根据勾股定理得:CD2CO2+OD2(20.5)2+(x

    14、+0.5)2,22+x2(20.5)2+(x+0.5)2,解得:x1.5,AB2.5(m),即梯子的长度AB为2.5m,故选:A10解:设绳长为x米,在RtADC中,ADABBDAB(DEBE)x(41)(x3)米,DC6m,ACx米,AB2+DC2AC2,根据题意列方程:x2(x3)2+62,解得:x,绳索AC的长是故选:B二填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)11解:由勾股定理得,BC2AC2AB2,即S2S3S1,S2+S1S318,S19,由图形可知,阴影部分的面积S1,阴影部分的面积,故答案为:12解:AD平分BAC,C90,DEAB,DEDC,ACAE,ACBC,BCAE,

    15、DEB的周长BD+DE+BEBC+BEAE+BEAB12cm,故答案为:12cm13解:在直角ABC中,已知AB2.5米,BC1.5米,AC2米,在直角CDE中,已知CDCB+BD2米,DEAB2.5米,CE1.5米,AE2米1.5米0.5米故答案为:0.514解:在ABC中,ACB90,AB10cm,BC6cm,则由勾股定理得到:AC8(cm)当点P在AC上时,设存在点P,使得PAPB,此时PAPBtcm,PC(8t)cm,在RtPCB中,PC2+CB2PB2,即:(8t)2+62t2,解得:t,当t时,PAPB;当点P在AB上时,此时AC+BC+BP8+6+519cm,当t19时,PAPB

    16、;故答案为:或1915解:ABE是直角三角形,AE10,BE24,根据勾股勾股定理,可得AB26,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,CHBEDFAG24,AEBHCFDG10,HEHFGFEG14,AHD90,GHE90,四边形HGFE是正方形,根据勾股定理,可得EF14,故答案为:1416解:如图,分别延长AD,BC交于点EA45,BD90,DCEDEBA45,ABBE,CDDE,AB10m,CD5m,BE10m,DE5m,SABEABBE101050(m2),SCDECDDE5512.5(m2),四边形ABCD的面积SABESCDE5012.537.5(m2)即这块土的面积为37.5m

    17、2故答案为:37.5m217解:如图,过点B作BCAD于点C,依题意知,BECD1.6米,EDBC1.2米,AD2.5米,则ACADCDADBE2.51.60.9(米)在RtABC中,由勾股定理得到:AB1.5(米)故答案为:1.518解:由题意:S正方形A+S正方形BS正方形E,S正方形DS正方形CS正方形E,S正方形A+S正方形BS正方形DS正方形C正方形A、C、D的面积依次为5、6、20,S正方形B+5206,S正方形B9故答案为:919解:如图,四边形ABGF是正方形,FABAFGACB90,FAC+BACFAC+ABC90,FACABC,FAHABN(ASA),SFAHSABN,SA

    18、BCS四边形FNCH,在ABC中,ACB90,AC2+BC2AB2,AC+BC7,(AC+BC)2AC2+BC2+2ACBC49,AB2+2ACBC49,AB2SABC16,AB2ACBC16,BCAC,AB2,AC2+BC2,阴影部分的面积和AC2+BC2+2SABCS白+216故答案为:20解:作EGAC,垂足为GABCDABFCDF,AB5,DC11,AFAC8;FC82.5,BF,DF,EB(+)4,EF4易得,ABFGEF,EG3,FG,AG+4,在RtAEG中,AE5故答案为:5三解答题(共8小题,满分60分)21证明:DEAC于点E,AEDCED90,在RtADE中,AED90,

    19、AD2AE2+DE282+4280,同理:CD220,AD2+CD280+20100,ACAE+CE8+210,AC2100,AD2+CD2AC2,ADC是直角三角形,ADC9022 解:在RtABC中,AB2BE2AC2BC2826228,在RtBEH中,BE2EH2+BH228,阴影部分的面积正方形ABED的面积+正方形EHGF的面积+正方形的BHMN面积AB2+EH2+BH22AB222856故答案为:5623解:(1)ADBC,EF垂直平分AC,BDDE,AEABEC,CAEC,BAE44,(2)由(1)知:ECAEAB,DEBDAB+BDEC+DEDC,ABC的周长为AB+BC+AC

    20、AB+BD+DC+AC2DC+AC25+717(cm)答:ABC的周长为17cm24解:(1)在ABC中,ABC90,AC13,BA5,;故答案为:12;(2)如图1所示,过点B作 BDAC于点D,即,斜边AC上的高线长为;(3)点P从点C出发,以每秒3个单位长度的速度沿折线CAB运动,AC13,AP3tAC(3t13),即;故答案为:(3t13),;点P在BCA的角平分线上时,过点P作PEAC于E,如图2所示,CP平分BCA,B90,PEAC,PBPE,又PCPC,RtBCPRtECP(HL),ECBC12,则AEACCE13121,由(2)知AP3t13,BPABAP5(3t13)183t

    21、,PE183t,在 RtAEP 中,AP2AE2+EP2,即(3t13)212+(183t)2,解得,点P在BAC的角平分线上时,;故答案为:;(4)PAB是以AB为一腰的等腰三角形时,有两种情况:当ABAP5时,如图3所示,则CPACAP1358,;当ABBP5时,过点B作BDAC于点D,如图4所示,由(2)知,ABBP,BDAC,故PAB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值为或25(8分)(2023春成武县校级期末)在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中ABAC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直

    22、线上),并新修一条路CH,测得CB3千米,CH2.4千米,HB1.8千米(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路?(即问:CH与AB是否垂直?)请通过计算加以说明;(2)求原来的路线AC的长解:(1)是,理由是:在CHB中,CH2+BH2(2.4)2+(1.8)29BC29CH2+BH2BC2CHAB,所以CH是从村庄C到河边的最近路(2)设ACx在RtACH中,由已知得ACx,AHx1.8,CH2.4由勾股定理得:AC2AH2+CH2x2(x1.8)2+(2.4)2解这个方程,得x2.5,答:原来的路线AC的长为2.5千米26(8分)(2022秋屯留区期末)如图,在距离铁轨AB300米的点C

    23、处(即CD300米,CDAB),观察由太原到北京的“和谐号”动车,当动车车头在点A处时,恰好位于点C处的北偏东45的方向上,14秒后,动车车头由A处到达点B处,此时测得B,C两点间的距离为500米,求这列动车的平均速度解:在RtBCD中,BC500米,CD300米,BD400(米),在RtADC中,ACD45,CDDA300(米),ABBD+AD400+300700(米),运动速度50(米/秒)27(8分)(2022秋佛山期末)在ABC中,BAC90,D为ABC内一点,连接DA,DC,延长DA到点E,使得AEAD(1)如图1,延长CA到点F,使得AFAC,连接BF,EF若BFEF,求证:CDB

    24、F;(2)连接BE,交CD的延长线于点H,如图2,若BC2BE2+CD2,试判断CD与BE的位置关系,并证明(1)证明:在ACD和AFE中,ACDAFE(SAS),DCAEFA,CDEF,BFEF,CDBF;(2)解:CDBE,理由如下:延长CA到F,使AFAC,连接EF,BACF,ACAF,BCBF,由(1)可知CDEF,CDEF,BC2BE2+CD2,BF2BE2+EF2,BEF90,BEEF,CDBE,28(8分)(2023春金安区校级期末)如图,在ABC中,AB15,BC14,AC13,求ABC的面积某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路,完成解答过程(1)作ADBC于D,设BDx,用含x的代数式表示CD,则CD14x;(2)请根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”建立方程,并求出x的值;(3)利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积解:(1)BC14,BDx,DC14x,故答案为:14x;(2)ADBC,AD2AC2CD2,AD2AB2BD2,132(14x)2152x2,解得:x9;(3)由(2)得:AD12,SABCBCAD141284


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