1、第十二届海峡两岸青少年思维能力展示活动福建海选赛九年级试卷（A）一、填空题（每题8分，共计64分）1、已知实数x，y满足x-3+|y-6|=0，则xy-1= 。2、点Am,y1，Bm+2,y2都在二次函数y=-(x+3)2+n的图像上若y14x-5的解集为x4，关于x的一元二次方程(a-1)x2+5x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 。6、如图，在矩形ABCD中，AB=7，AD=73，点E在线段AB上运动。连接DE，以DE为斜边作RtDEF，使得DEF=60，当点E从点A运动到点B时，动点F的运动路径长为 。7、如图，A=B=45，AB=42，点C，D分别在A，B的另一边上运
2、动，并保持CD=2，点M在边BC上，BM=2，点N是CD的中点，若点P为AB上任意一点，则PM+PN的最小值为 。8、如图，AB是O的弦，点C在O外，连接AC、BC分别交O于D、E，AC=BC，过圆心O作PQAB，交O于P、Q两点，交AC、BC于M、N两点，连接EO、AO，EON+CAO=120，若CD=112，NQ=32，那么弦BE的长为 。二、计算题（每题12分，共计24分）9、27-12-2-3tan60+(-2)0-|-4|10、已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx1，且x2-1y2-1xy+y2-1z2-1yz+z2-1x2-1zx=4，求1xy+1yz+1zx的值。三、解答题
3、（11、12题，每题10分；13题12分；14、15题，每题15分；共62分） 11、先化简，再求值：a2-b2a2b-ab21+a2+b22ab，其中a=7-11，b=7+11。12、如图，已知点A、B、C在O上，点D在O外，BCD=BAC，BECD交O于E点，若O的半径为7，BAC=30，求线段BE的长。13、某文具店计划购进A、B两种笔记本，已知A种笔记本的进价比B种笔记本的进价每本便宜3元。现分别购进A种笔记本150本，B种笔记本300本，共计6300元。(1)求A、B两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进A、B两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1350元。在销售过程中，A、
4、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本。两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折销售，剩余的B种笔记本按标价的八折销售。若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于592元，请求出m的最小值。14、如图，在ABC与DEF中，ACB=EDF=90，BC=AC，ED=FD，点D在AB上，且点D为AB中点，连接BF，CE交于点M，CE交AB于点N。(1)求证：点M在DEF的外接圆上；(2)若BC=7，DE=9，ME=10，求sinABF的值。15、在平面直角坐标系xOy中，抛物线L:y=ax2-2ax-3aa0与x轴交于A，B两点（点A在点B的
5、左侧），直线y=ax+1与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）。(1)如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）的条件下，连接BD，点E在抛物线上，若DAE=ADB，求出点E的坐标；(3)将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线L1，抛物线L1的顶点为P，直线y=ax+1与抛物线L1交于M，N两点，连接MP，NP，若MPN=90，求a的值。参考答案一、填空题（每题8分，共计64分）123456782m-4232725-113二、计算题（每题12分，共计24分） 9、原式=33-4-33+1-4 =-710、解：由等式x2-1y2-1xy+y2-1z2-1yz+z2-1x2-1
6、zx=4，去分母得zx2-1y2-1+xy2-1z2-1+yz2-1x2-1=4xyz，x2y2z+xy2z2+x2yz2-xy2+z2+yz2+x2+zx2+y2+3xyz+(x+y+z)-xyz=0，xyz(xy+yz+zx)-(x+y+z)(xy+yz+zx)+(x+y+z)-xyz=0，xyz-(x+y+z)(xy+yz+zx-1)=0，xy+yz+zx1，xy+yz+zx-10，xyz-(x+y+z)=0，xyz=x+y+z，原式=x+y+zxyz=1 三、解答题（11、12题，每题10分；13题12分；14、15题，每题15分；共62分）11.解：a2-b2a2b-ab21+a2+
7、b22ab=(a+b)(a-b)ab(a-b)2ab+a2+b22ab=(a+b)(a-b)ab(a-b)2ab(a+b)2=2a+b；当a=7-11，b=7+11时，原式=227=7712、连接CO并延长交O于F点，连接BF，连接OB，OC交BE于点GA=F，BCD=BAC，BCD=F，CF为O直径，CBF=90，F+BCF=90，BCD+BCF=90，即FCD=90，CF为O直径，CD是O的切线； BECD，OGB=OCD=90，即OCBE，BE=2BG，BOC=2BAC=60，BO=7，BG=BOsin60=732=732，BE=2BG=7313.（1）解：设A种笔记本每本x元，则B种笔
8、记本每本(x+3)元，由题意得，150x+300x+3=6300，解得，x=12，x+3=15，A种笔记本每本12元，B种笔记本每本15元；（2）解：设第二次购进A种笔记本a本，则购进B种笔记本(100-a)本，由题意得，12a+15100-a1350，解得，a50，50a100，设获得的利润为w元，由题意得，w=20-12m+200.7-12a-m+25-15m+250.8-15100-a-m=-3a+11m+500，-30，w随a的增大而减小，当a=50时，w的值最大，最大值为11m+350，由题意得11m+350592，解得，m22，m为正整数，m的最小值为2214.（1）证明：连接CD
9、，设DF、CE交于点P，如图所示： BC=AC，点D为AB中点，CDAB，CD=12AB=BD，BDC=90，ACB=EDF=90,BDC+CDF=EDF+CDF，BDF=CDF，ED=FD，BDFCDESAS，DEC=DFB，DEC+DPE=90，DPE=MPF，DFB+MPF=90，FME=90=EDFM、D、E、F四点共圆，即点M在DEF的外接圆上；（2）解：过点C作BF平行线，过点F作BC平行线交于点G；过点G作GHBF于点H，过点K作KIFG于点I，如图所示： FME=90，MCG=90，MCCG，BDFCDE，BF=CE，ABF=DCE，BC=7，DE=9，ME=10，EF=2DE
10、=92，CGBF，FGBC，四边形BFGC为平行四边形，CE=BF=CG，ECG=FME=90，ECG为等腰直角三角形，CGE=45=GKH，GKH为等腰直角三角形，GECE=2，FGCD=BCCD=2，EFDE=2，GECE=FGCD=BFDE，CDEGFE，DCE=FGE=ABF，sinABF=sinDCE=sinFGE，RtMFE中，MF=EF2-ME2=62，FK=MK-MF=ME-MF=10-62，FG=BC=7，设GFH=，KGI=DCE=，sin=GHFG，sin=KIKG=NMBM，RtFKI中，sin=KIFK，KI=FKsin=FKGHFG，GH=KG2，KI=FKKG2F
11、G=FKKG2FG，sin=KIKG=FKKG2FGKG=FK2FG=10-6272=52-317，sinABF的值为52-317；15.（1）解：令y=0，则ax2-2ax-3a=0，解得x1=-1，x2=3，A-1，0，B3，0，将A-1，0代入y=ax+1，解得a=1， y=x2-2x-3，抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；（2）解：联立y=x2-2x-3y=x+1，解得x1=-1y1=0，x2=4y2=5 ，A-1,0，D4,5，设直线BD的函数表达式为y=kx+b，将B，D 坐标代入得，0=3k+b5=4k+b，解得k=5b=-15，直线BD的函数表达式为：y=5x-15，当直
12、线AEBD时，可以得到DAE=ADB，设直线AE的表达式为y=5x+m，将A-1,0，代入得：0=-5+m，解得m=5，直线AE的表达式为y=5x+5，联立y=x2-2x-3y=5x+5，解得x1=-1y1=0，x2=8y2=45，E18,45；如图1，过点D作DFx轴于点F，则DF=5=AF，tanBDF=BFDF=15，ADF=DAF=45，如图，记G4，1，连接AG，则tanGAF=GFAF=15，GAF=BDF，GAD=ADB，直线AG与抛物线的交点即为点E，设直线AG的函数关系式为y=nx+1，将G4，1代入得，1=n4+1，解得n=15，直线AG的函数关系式为y=15x+15，联立
13、y=x2-2x-3y=15x+15，解得x1=-1y1=0，x2=165y2=2125，E2165,2125；综上所述，E18,45，E2165,2125；（3）解：由题意得，抛物线L1:y=ax2-2ax-3a+1，直线y=ax+1，设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为Mx1,y1，Nx2,y2，联立y=ax2-2ax-3a+1y=ax+1，得：ax2-3ax-3a=0，x1+x2=3，x1x2=-3，y1+y2=ax1+1+ax2+1=3a+2，y1y2=ax1+1ax2+1=-3a2+3a+1，P点坐标为1,1-4a，如图2，过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，MGP=PHN=90，MPN=90，MPG+PMG=90，MPG+NPH=90， PMG=NPH，MPGPNH，MGPH=PGNH，MGNH=PGPH，不妨设m=1-4a，则y1-my2-m=1-x1x2-1；即y1y2-my1+y2+m2=-x1x2+x1+x2-1，将x1+x2=3，x1x2=-3，y1+y2=3a+2；y1y2=-3a2+3a+1，m=1-4a，代入整理得a2=15，解得a1=55，a2=-55（不合题意，舍去），a=55
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