2024年湖南省部分学校中考一模数学试卷（含答案解析）

1、2024年湖南省部分学校中考一模数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分1. 的数值大小为（ ）A. B. C. D. 2. 如图所示为某几何体的主视图（上）和俯视图（下），那么这个几何体不可能为（ ）A. 半个圆柱B. 四棱柱C. 三棱柱D. 五棱柱3. 下面选项中的汉字是轴对称图形的是（ ）A B. C. D. 4. 2023年全国粮食播种面积17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%将数据“17.85亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，正五边形的外接圆为，为劣弧上一点，则（ ）A. B. C. D. 6. 象棋是起源于中国的一种棋戏

2、，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，则该棋子为黑马的概率为（ ）A. B. C. D. 7. 将因式分解，正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 中国古代重要数学著作九章算术有这么一个问题：今有善行者一百步，不善行者六十步今不善行者先行一百步，普行者追之问：几何步及之？大致题意为：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 9. 若直线与函数

3、的图象有四个交点，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11. 若m和n为实数，则_12. 直线与直线关于轴对称，则直线的函数解析式为_13. 一元二次方程的两个实数根分别为，则_14. 如图，在平面直角坐标系中，P为反比例函数的图象上一点，交反比例函数图象于点A，过点P作平行于x轴的直线交反比例函数图象于B点，则的面积为_15. 如图，在的正方形网格内，线段a的端点都在格点上，将线段a绕点P旋转得到线段b，线

4、段b端点也都在格点上，若小正方形的边长为1，则点P的坐标为_16. 如图，分别为矩形边和上的点，若，则矩形的面积为_三、解答题：本题共9小题，共86分写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. （1）解分式方程：；（2）解不等式组：；（3）计算：18. 如图，四边形为矩形，在线段上，且，证明：四边形是平行四边形 19. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容节日按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日新中国成立后的

5、1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：组别成绩m/分频数A2BaC14DbE10 （1）_，_；（2）补全条形统计图；（3）该班级的平均成绩可能小于70分吗？可能大于90分吗？说明理由20. 小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想如图所示，为竖直的平面镜（足够

6、长），的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，小华坐在距离距离为d的点H，然后小华用遥控器水平对着平面镜持续按按钮，发现当时电视可以换台（假设红外线在Q点反射），求信号传感器可接收信号的水平范围（结果含） 21. 如图，过点A，B，并交边于D点，直线分别与和边于点E，F，连接和，己知（1）证明：为的切线；（2）若，求弧的长度22. 如图，O为坐标原点，反比例函数图象交直线于和B（1）求A和B两点的坐标；（2）求的面积；（3）直接写出不等式的x的取值范围23. 某商店有两种热销糖果，一种是牛奶糖果，另一种为巧克力糖果，临近新春佳节，商店有活动，买斤巧克力糖果送斤牛奶糖果，已知一位顾客买斤牛奶糖果

7、和斤巧克力糖果花了元，另一位顾客买斤牛奶糖果和斤巧克力糖果花了元（1）求这两种糖果每斤各多少元；（2）之后商店改了另一套优惠方案，购买糖果可以享受折扣，对于牛奶糖果，若买斤糖果，则这斤糖果可以打折；对于巧克力糖果，买斤可以打折，且每种糖果一次最多可以买斤，若仅买一种糖果，当购买斤数大于多少时，买巧克力糖果比买牛奶糖果便宜？24. 如图，四边形和都是正方形，四点按逆时针方向分布，点在正方形内，过点作直线的垂线交直线于点（1）如图1，连接，求和满足的数量关系；（2）如图2，连接，证明：；（3）如图2，连接，若，直接写出的值25. 如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A（1）如图1，求直线的

8、函数解析式；（2）如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求最小值；（3）如图2，将抛物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由2024年湖南省部分学校中考一模数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分1. 的数值大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值，进行计算即可【详解】解：，故答案为：A2. 如图所示为某几何体的主视图（上）和俯视图（下），那么这个几何体不可能为（

9、 ）A. 半个圆柱B. 四棱柱C. 三棱柱D. 五棱柱【答案】D【解析】【分析】本题考查了根据三视图判断几何体根据主视图和俯视图为长方形，可得这个几何体不可能为五棱柱，据此即可求解【详解】解：由于主视图和俯视图为长方形，可得这个几何体不可能为五棱柱故选：D3. 下面选项中的汉字是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形据此解答即可【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的

10、一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形 选项C能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形故选：C4. 2023年全国粮食播种面积17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%将数据“17.85亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数【详解】解：数据“17.85

11、亿”用科学记数法表示为故选：B5. 如图，正五边形的外接圆为，为劣弧上一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆的基本性质，正多边形的性质，圆内接四边形的性质；连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解；掌握性质，作出圆中常用辅助线是解题的关键【详解】解：如图，连接，五边形是正五边形，正五边形的外接圆为，四边形是内接四边形，；故选：D6. 象棋是起源于中国的一种棋戏，现今通行的象棋，相传为唐代牛僧孺所制，刻圆木或牙、骨为棋子三十二枚，红黑各半，黑方以将统士、象、车、马、炮各二，卒五，若从一套完整的象棋棋子中随机摸一枚棋子，

12、则该棋子为黑马的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查随机事件概率的求法，让“黑马”的总个数2除以棋子的总个数32即为所求的概率【详解】解：一幅中国象棋由红黑两色棋子共32个棋子组成，其中有2个“黑马”；故从中随机摸出一枚棋子能摸到“黑马”的概率是故选：C7. 将因式分解，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可【详解】解：，故选：C8. 中国古代重要的数学著作九章算术有这么一个问题：今有善行者一百步，不善行者六十步今不善行者先行一百步，普行者追之问：几何步及之？大致题意为

13、：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则可列方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式：走路快的人所走的步数100步追上时走路慢的人所走的步数；据此列方程，解方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键【详解】解：由题意得，故选：A9. 若直线与函数的图象有四个交点，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线与二次函数交点个数问题，根据的取值范围不同，将函数化简为 ，画出图象，结合图象即可求解；能画出

14、此函数的图象，用数形结合的思想是解题的关键【详解】解：当时，此时与直线没有四个交点，当时，当时，图象如下：由图象得：；故选：C10. 如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，设，则，设，则，在中，利用勾股定理可得，再分别利用含的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可得【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，四边形为

15、菱形，在中，设，则，的垂直平分线交于点，设，则，在中，即，解得，则的面积为，由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为，的周长为，由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为，故选：A第卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分11. 若m和n为实数，则_【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的意义和性质，以及偶次方的非负性，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，根据二次根式中被开方数是非负数和偶次方的平方是非负数即可解答【详解】解： ，又，即，故答案为：12. 直线与直线关于轴对称，则直线的函数解析式为_【答案】【解析】【分析】本题考查的是一次函数的图

16、象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键直接根据关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可【详解】解：关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数，直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为，即故答案为：13. 一元二次方程的两个实数根分别为，则_【答案】【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法根据一元二次方程根与系数的关系可得，再把通分变形，再代入数值计算即可【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为，；故答案是：14. 如图，在平面直角坐标系中，P为反比例函数的图象上一点，交反比例函数图象于

17、点A，过点P作平行于x轴的直线交反比例函数图象于B点，则的面积为_【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的性质；根据点P在反比例函数和一次函数上，设出点P的坐标，进而表示出一次函数的解析式，进而设出点A的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解【详解】解； P为反比例函数的图象上一点，设，轴，点B在反比例函数图象上，设所在的直线解析式为：，即，点在和上，故答案为：15. 如图，在的正方形网格内，线段a的端点都在格点上，将线段a绕点P旋转得到线段b，线段b端点也都在格点上，若小正方形的边长为1，则点P的坐标为_【答案】或#或【解析】【分

18、析】本题考查的是旋转的性质，坐标与图形，线段的垂直平分线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键；先画出图形，再分当，为对应点，为对应点时，当，为对应点，为对应点时，再求解即可.【详解】解：如图，当，为对应点，为对应点时，的垂直平分线的交点为旋转中心，此时；由勾股定理可得：，同理：，所以符合题意；如图，当，为对应点，为对应点时，同理可得：为旋转中心；故答案为：或16. 如图，分别为矩形边和上的点，若，则矩形的面积为_【答案】【解析】【分析】由，四边形是矩形，得出四点共圆，可得，由，可得，即，在中，设，则，根据勾股定理可得的值，进而求出，即可得出结果【详解】解：由，

19、四边形是矩形，可得，四点共圆，由圆周角定理得，即，即，在中，设，则，在中，解得（舍去），【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，知识较为综合，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键三、解答题：本题共9小题，共86分写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. （1）解分式方程：；（2）解不等式组：；（3）计算：【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，实数的混合运算，熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式组，实数的混合运算法则是解题的关键；（1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可

20、得到分式方程的解（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可（3）根据绝对值的化简，零指数幂，完全平方公式，二次根式分别进行计算即可求解；【详解】（1）解：等式两边同时乘 ，得，解得检验：当时，所以原分式方程的解为 （2）解：，解不等式得：，解不等式得：，所以不等式组的解集为：（3）18. 如图，四边形为矩形，在线段上，且，证明：四边形是平行四边形 【答案】见解析【解析】【分析】连接交于，则可知，由，得，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明【详解】证明：如图，连接交于点， 四边形是矩形，即，四边形为平行四边形

21、【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的所有判定定理是解题的关键19. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性1928年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为3月12日新中国成立后的1979年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的3月12日定为植树节某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，八年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：组别成绩m/分频

22、数A2BaC14DbE10 （1）_，_；（2）补全条形统计图；（3）该班级的平均成绩可能小于70分吗？可能大于90分吗？说明理由【答案】（1）4；20 （2）见解析 （3）均不可能理由见解析【解析】【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图、条形统计图、平均数，解题的关键是从频数分布表和扇形统计图中获取关键信息（1）根据E组频数及所占百分数求出班级的总人数，进而可求出a、b ；（2）根据（1）中求出的a、b补全即可；（3）取每组的最低成绩求出总分再求最低平均分，同理取每组的最高成绩求出总分再求出最高平均分，即可解答，【小问1详解】解：班级总人数为：，故答案为：4；20；【小问2详解】解：补全条形

23、统计图如下： 【小问3详解】解：假设取每组的最低成绩，则总分为：，则班级平均分为：；假设取每组最高成绩，则总分为：，则班级平均分为：；班级平均分；故班级的平均成绩不可能小于70分，也不可能大于90分20. 小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想如图所示，为竖直的平面镜（足够长），的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，小华坐在距离距离为d的点H，然后小华用遥控器水平对着平面镜持续按按钮，发现当时电视可以换台（假设

24、红外线在Q点反射），求信号传感器可接收信号的水平范围（结果含） 【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先读懂题意，得，再结合图形，运用数形结合思路，进行列式，化简得，可作答【详解】解：设信号接收点为P，延长到点G且，过点G作垂直，垂足为E由题意，当为时，点P与A重合，当为时，点P与B重合，所以其中可以写成，可以写成 21. 如图，过点A，B，并交边于D点，直线分别与和边于点E，F，连接和，己知（1）证明：为的切线；（2）若，求弧的长度【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接根据证明得，由三线合一得，再证明即可证明结论成立；（2）取中点G，由三线合一得，由平行线

25、分线段成比例定理得F为和中点，证明为等边三角形得，求出的长，进而根据弧长公式计算即可【小问1详解】连接在和中，为直径，又，为的切线【小问2详解】取中点G因为，所以，又因为，所以，所以，所以F为和中点，因为，所以，所以，所以为等边三角形， 所以，所以，所以弧【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的判定，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，圆周角定理，以及弧长公式等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键22. 如图，O为坐标原点，反比例函数图象交直线于和B（1）求A和B两点的坐标；（2）求的面积；（3）直接写出不等式的x的取值范围【答案】（

26、1）， （2） （3）或【解析】【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键（1）将A点坐标代入，即可求得A的坐标，再把点A代入反比例函数，即可求出k，进而可求出点B；（2）过点A作x轴的垂线且，由即可求解；（3）根据x不等于0，把不等式两边同除，再根据反比例函数和一次函数图象的交点即可求解；【小问1详解】解：将A点坐标代入得，将A点坐标带入得；联立和得，解得或，所以；【小问2详解】解：过点A作x轴的垂线且，则，因为点A，B在反比例函数上，所以，所以【小问3详解】解：明显不在不等式的解集里，所以，不等式两边同除得所以要求的解集，即

27、求的解集，由图可知解集或23. 某商店有两种热销糖果，一种是牛奶糖果，另一种为巧克力糖果，临近新春佳节，商店有活动，买斤巧克力糖果送斤牛奶糖果，已知一位顾客买斤牛奶糖果和斤巧克力糖果花了元，另一位顾客买斤牛奶糖果和斤巧克力糖果花了元（1）求这两种糖果每斤各多少元；（2）之后商店改了另一套优惠方案，购买糖果可以享受折扣，对于牛奶糖果，若买斤糖果，则这斤糖果可以打折；对于巧克力糖果，买斤可以打折，且每种糖果一次最多可以买斤，若仅买一种糖果，当购买斤数大于多少时，买巧克力糖果比买牛奶糖果便宜？【答案】（1）牛奶和巧克力糖果各为每斤元和元 （2）斤【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组，二次函数

28、图象性质，能够正确列二元一次方程组和理解二次函数图象性质是解题的关键（1）设牛奶糖果每斤元，巧克力糖果每斤元，根据题意即可列出二元一次方程组，即可解答；（2）设购买斤数为斤牛奶糖，则购买斤牛奶糖需要花费，购买斤巧克力糖果需要花费，设，则当时，买巧克力糖果便宜，根据二次函数图象性质，即可求出结果【小问1详解】解：设牛奶糖果每斤元，巧克力糖果每斤元，则有，解得：所以牛奶和巧克力糖果各为每斤元和元【小问2详解】解：设购买斤数为斤牛奶糖，则购买斤牛奶糖需要花费，购买斤巧克力糖果需要花费，设，则当时，买巧克力糖果便宜，对称轴为，与轴的交点为，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，所以当时，所以购买斤数

29、大于斤时，巧克力糖果比牛奶糖果便宜24. 如图，四边形和都是正方形，四点按逆时针方向分布，点在正方形内，过点作直线的垂线交直线于点（1）如图1，连接，求和满足的数量关系；（2）如图2，连接，证明：；（3）如图2，连接，若，直接写出的值【答案】（1） （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）连接，根据题意以及等腰直角三角形性质可得，进而根据等边对等角得出，根据，又，得出，根据相似三角形的性质即可求解；（2）连接，得出，证明可得，又，即可得出结论；（3）连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质得出，进而得出，进而等面积法求得，勾股定理求得，进而在中

30、，勾股定理即可求解【小问1详解】证明：连接，四边形是正方形，在四边形中，即，是等腰直角三角形，即，又，；【小问2详解】连接，都是等腰直角三角形，即，又，；【小问3详解】解：如图所示，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，四边形是矩形，则，又，在中，在中，又在中，【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定熟练掌握是解题的关键25. 如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A（1）如图1，求直线的函数解析式；（2）如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求的最小值；（3）如图2，将抛

31、物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由【答案】（1） （2） （3）可以，点D坐标为或【解析】【分析】（1）将代入可求出，化成顶点式求出，由待定系数法，即可求解；（2）过作交于，过作交于，由勾股定理得可求出的长，由正弦函数得， 求出及三角函数值，设，由勾股定理得，由三角形面积可求出的坐标，从而可求的坐标，而，当、三点共线时取得最小值，即可求解；（3）设，由勾股定理求得，即，解方程，即可求解【小问1详解】解：将代入得，解得：，设直线的函数解析式为，则有，解得：，故直线的函数解析式为；【小问2详解】解：如图，过作交于，过作交于，当时，设，整理得：，解得：，(舍去)，设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为，联立，解得：，当、三点共线时，取得最小值，此时，如图，；故的最小值为；【小问3详解】解：可以，理由如下： 顶点由A平移到，点B直线上，四边形是菱形，设，整理得：，解得：，（舍去），当时，当时，D点坐标或【点睛】本题考查了待定系数法，解直角三角形，二次函数与特殊三角形综合，二次函数与特殊四边形综合，垂线段最短等，能将最值转化为垂线段最短，并将动点问题转化成方程求解是解题的关键