1、第3章 勾股定理（基础卷）考试时间：100分钟；满分：100分学校：_姓名：_班级：_考号：_注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（3分）下列各组数中，是勾股数的A，1B1，2，3C1.5，2，2.5D9，40，412（3分）在中，是高，则线段的长为ABCD3（3分）满足下列条件的，不是直角三角形的是ABCD4（3分）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是A点、点、点 B点、点、点C点、点、点D点、点、点5（3分）如
2、图，在中，是边上的中线，则的面积是AB6（3分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是A1B2018C2019D20207（3分）如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙上，这时为4米，如果竹竿的顶端沿墙下滑1米，竹竿底端外移的距离A等于1米B大于1米C小于1米D以上都不对8（3分）如图所示，有一个高，底面周长为的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容
3、器的上口外侧距开口处的点处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是ABCD9（3分）如图是“赵爽弦图”， 、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，那么等于A8B6C4D510（3分）中， 动点从点开始， 按的路径运动， 速度为每秒，运动的时间为秒 以下结论中正确的有为 6 秒时，把的周长分成相等的两部分为 6.5 秒时，把的面积分成相等的两部分， 且此时长为为 3 秒或 5.4 秒或 6 秒或 6.5 秒时，为等腰三角形，A B C D 第卷（非选择题）二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11（3分）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、1
4、0，（2）5、12、13，（3）8、15、17，（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有_（填序号）12（3分）如图， 在中，点为的中点， 垂足为点，则等于_13（3分）如图，一棵大树在离地3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_米14（3分）如图， 已知是的角平分线，则_15（3分）如图所示，四边形中，则四边形的面积为_16（3分）如图所示的网格是正方形网格，则_（点，是网格线交点）17（3分）在中，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒，当为等腰三角形时，的值为_18（3分）如图，在中，底边，点是底边上任意一点，于点，于点，则_三、解答题（共5小题
5、，满分46分）19（8分）如图，在中，为边上的高，点为垂足，求的面积20（8分）在甲村至乙村间有一条公路，在处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上的另一停靠站的距离为400米，且，如图所示，为了安全起见，爆破点周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答21（10分）（1）如图，在的网格中，请你画出一个格点正方形，使它的面积是10（2）如图，、是的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单位1，请在图中清晰地标出使以、为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点的位置22（10分）观察、思考与验证（1）如图1是一
6、个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；（2）如图2所示，且，在同一直线上试说明：；（3）伽菲尔德年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的新英格兰教育日志上），请你写出验证过程23（10分）如图1，点为斜边上动点（1）如图2，过点作交于点，连接，当平分时，求；（2）如图3，在点的运动过程中，连接，若为等腰三角形，求参考答案一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1、D【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可【答案】解：A、和不是整数，此选项错误；B、12+2232，不是勾股数，此选项错误；C、1.5和2.5不是整数，此选项
7、错误；D、92+402412，是勾股数，此选项正确故选：D【点睛】此题考查了勾股数，说明：三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数记住常用的勾股数再做题可以提高速度如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；2、B【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式列式计算【答案】解：在RtABC中，AB5，ABC的面积ABCDACBC，即5CD43，解得，CD，故选：B【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+
8、b2c2是解题的关键3、B【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论【答案】解：A、由a：b：c3：4：5得c2a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由A：B：C9：12：15，及A+B+C180得C7590，故不是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180及CAB解得A90，故是直角三角形D、由b2a2c2得b2a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键4、C【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利
9、用勾股定理的逆定理进行分析【答案】解：A、AB21+3637，AC216+2541，BC21+910，37+1041，不可以构成直角三角形；B、AD216+1632，AG29+3645，DG21+45，32+545，不可以构成直角三角形；C、BE236+1652，BF225+2550，EF21+12，50+252，可以构成直角三角形D、BG225+934，BE236+1652，GE29+110，34+1052，不可以构成直角三角形故选：C【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键5、A【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案【答案】
10、解：由勾股定理得，AC12，BD是AC边上的中线，CDAD6，BCD的面积5615（cm2），故选：A【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c26、D【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是212；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是313，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和【答案】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c根据勾股定理，得a2+b2c2，即正方形A的面积+正方形B的面积
11、正方形C的面积1推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202012020故选：D【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键7、A【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可【答案】解：由题意得：在RtAOB中，OA4米，AB5米，OB3米，在RtCOD中，OC3米，CD5米，OD4米，ACODOB1米故选：A【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题中梯子的长度是不变的熟练运用勾股定理是解题的关键8、C【分析】展开后连接S
12、F，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SECD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可【答案】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SECD于E，则SEBC2412cm，EF181116cm，在RtFES中，由勾股定理得：SF20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm故选：C【点睛】本题考查了勾股定理、平面展开最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中9、C【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用ab2，解得a，b的值代入即可【答案】解：AB10，EF2，大正方形的面积是100，小正
13、方形的面积是4，四个直角三角形面积和为100496，设AE为a，DE为b，即4ab96，2ab96，a2+b2100，（a+b）2a2+b2+2ab100+96196，a+b14，ab2，解得：a8，b6，AE8，DE6，AH826故选：C【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值10、A【分析】先由勾股定理求出ABC的斜边AB10cm，则ABC的周长为24cm，所以当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+APBP+BC12cm，再根据时间路程速度即可求解；根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把ABC的面积分成相等的两部分，进
14、而求解即可；BCP为等腰三角形时，分点P在边AC和边AB上讨论计算【答案】解：ABC中，C90，AC8cm，BC6cm，AB10cm，ABC的周长8+6+1024cm，当CP把ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+APBP+BC12cm，t1226（秒），故正确；当点P在AB中点时，CP把ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP8+513（cm），t1326.5（秒），CPAB105cm，故正确；依据BCP为等腰三角形，当点P在边AC上时，CPCB6cm，此时t623（秒）；当点P在边AB上时如图1，若CPCB，作AB边上的高CD，ACBCABCDCD4.8，在RtCDP
15、中，根据勾股定理得，DP3.6，BP2DP7.2，AP2.8，t（AC+AP）2（8+2.8）25.4（秒）；若BCBP，BP6cm，CA+AP8+10612（cm），t1226（秒）；若PBPC，点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点处，此时CA+AP8+513（cm），t1326.5（秒）；综上可知，当t3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，BCP为等腰三角形，故正确故选：A【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积，周长，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是求出点P的运动路程二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11、（1）（2）（3）【
16、分析】欲判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方【答案】解：（1）62+82102，可以构成直角三角形；（2）52+122132，能构成直角三角形；（3）82+152172，能构成直角三角形；（4）52+4262不能构成直角三角形；故答案为：（1）（2）（3）【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知ABC的三边满足a2+b2c2，则ABC是直角三角形12、【分析】首先连接AD，由ABC中，ABAC13，BC10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：ADBC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE
17、的长【答案】解：连接AD，ABC中，ABAC13，BC10，D为BC中点，ADBC，BDBC5，AD12，又DEAB，BDADABED，ED，故答案为：【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用13、8【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边【答案】解：AC4米，BC3米，ACB90，折断的部分长为5（m），折断前高度为5+38（米）故答案为：8【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，训练了学生对勾股定理在实际生活中的运用能力14、5【分析】作DEAB于E，根据角平分线的性质得到DEDC
18、，根据勾股定理计算即可【答案】解：作DEAB于E，ACB90，AC6，BC8，AB10，AD是角平分线，DEAB，ACB90，DEDC，AEAC6，BE4，在RtDEB中，DE2（8DE）242，解得，DCDE3，BDBCDC835，故答案为：5【点睛】本题考查的是角平分线的性质、勾股定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键15、2+6【分析】先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判断出BCD的形状，根据S四边形ABCDSABD+SBCD即可得出结论【答案】解：BADA，AB2，AD2，BD4CD3，BC5，32+4252，BCD是直角三角形，S四边形ABCDSAB
19、D+SBCDABAD+CDBD22+342+6故答案为：2+6【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键16、45【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2BD21+225，PB212+3210，求得PD2+DB2PB2，于是得到PDB90，根据三角形外角的性质即可得到结论【答案】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2BD21+225，PB212+3210，PD2+DB2PB2，PDB90，DPBPAB+PBA45，故答案为：45【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形
20、的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键17、【分析】当ABP为等腰三角形时，分三种情况：当ABBP时；当ABAP时；当BPAP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值【答案】解：C90，AB13cm，AC5cm，BC12cm当BPBA13时，t13s当ABAP时，BP2BC24cm，t24s当PBPA时，PBPAt cm，CP（12t）cm，AC5 cm，在RtACP中，AP2AC2+CP2，（t）252+（12t）2，解得ts综上，当ABP为等腰三角形时，t13s或24s或s【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思
21、想思考问题，属于中考常考题型18、4.8【分析】连接AP，过A作AFBC于F，由图可得：SABCSABP+SACP，代入数值，解答出即可【答案】解：连接AP，过A作AFBC于F，ABAC5，BFCFBC3，由勾股定理得：AF4，由图可得，SABCSABP+SACP，PDAB于D，PEAC于E，+，5PE，245（PD+PE），PD+PE4.8，故答案为：4.8【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想三解答题（共5小题，满分46分）19、【分析】设BD为x，利用勾股定理得出方程解答即可【答案】解：设BDx，则CD14
22、x，由勾股定理可得：AD2AB2BD2152x2，AD2AC2CD2132（14x）2，则152x2132（14x）2，解得：x9，则AD，所以ABC的面积【点睛】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答20、【分析】过C作CDAB于D根据BC400米，AC300米，ACB90，利用根据勾股定理有AB500米利用SABCABCDBCAC得到CD240米再根据240米250米可以判断有危险【答案】解：公路AB需要暂时封锁理由如下：如图，过C作CDAB于D因为BC400米，AC300米，ACB90，所以根据勾股定理有AB500米因为SABCABCDBCAC所以CD240（米）由于240
23、米250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理21、【分析】（1）根据面积求出正方形的边长为，再勾股定理画出符合的图形即可；（2）分为三种情况：ACBC，ABBC，ACAB，找出符合的点即可【答案】解：（1）使4条边长为，如图所示：；（2）如图2所示：共7个点【点睛】本题考查了正方形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的动手操作能力，比较容易出错22、（1）（a+b）2a2+2ab+b2；【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；（2）由全等三角形的性质得出BACDCE，再由角的互余关系得
24、出ACB+DCE90，即可得出结论；（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论【答案】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2a2+2ab+b2；理由如下：大正方形的边长为a+b，大正方形的面积（a+b）2，又大正方形的面积两个小正方形的面积+两个矩形的面积a2+b2+ab+aba2+2ab+b2，（a+b）2a2+2ab+b2；故答案为：（a+b）2a2+2ab+b2；（2）证明：ABCCDE，BACDCE，ACB+BAC90，ACB+DCE90，ACE90；（3）证明：BD90，B+D180，ABDE，即四边形ABDE是梯形，四边形ABDE的面
25、积（a+b）（a+b）ab+c2+ab，整理得：a2+b2c2【点睛】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键23、【分析】（1）由ACEAED（AAS），推出CEDE，ACAD15，设CEx，则BE20x，BD251510，在RtBED中根据勾股定理即可解决问题；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【答案】解：（1）ACCB，AC15，AB25BC20，AE平分CAB，EACEAD，ACCB，DEAB，EDAECA90，AEAE，ACEAED（AAS），CEDE，ACAD15，设CEx，则BE20x，BD251510在RtBED中x2+102（20x）2，x7.5，CE7.5（2）当ADAC时，ACD为等腰三角形AC15，ADAC15当CDAD时，ACD为等腰三角形CDAD，DCACAD，CAB+B90，DCA+BCD90，BBCD，BDCD，CDBDDA12.5，当CDAC时，ACD为等腰三角形，如图1中，作CHBA于点H，则ABCHACBC，AC15，BC20，AB25，CH12，在RtACH中，AH9，CDAC，CHBA，DHHA9，AD18【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型
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