1、专题02常用逻辑用语知识聚焦考点聚焦知识点1 充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【注意】（1）前提pq，有方向，条件在前，结论在后；（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”知识点2 充要条件1、充要条件的定义如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有
2、，就记作。此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。2、充要条件的含义若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。知识点3 全称量词与全称量词命题1、全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”2、全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题
3、（2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。知识点4 存在量词与存在量词命题1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；2、存在量词命题
4、（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。（2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题知识点5 命题的否定1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定（1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： （2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： 2、常见正面词
5、语的否定：正面词语等于（）大于（）小于（）是都是否定不等式（）不大于（）不小于（）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个 考点剖析考点1 充分不必要条件的判断【例1】（2023春江西宜春高一校联考期中）“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【变式1-1】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）对于实数，或，那么是的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要【变式1-2】（2023秋宁夏银川高一银川一中校考阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条
6、件：“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是（ ）A（1） B（2） C（3） D（4）【变式1-3】（2023秋重庆高一校考阶段练习）（多选）已知p：，则p的充分不必要条件有（ ）A B C D【变式1-4】（2023秋安徽亳州高一校考阶段练习）（多选）已知，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A B C D考点2 必要不充分条件的判断【例2】（2023秋安徽合肥高一校联考期末）已知p：，q：，则p是q的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分条件 D既不充分又不必要条件【变式2-1】（2022秋湖北鄂州高一校联考期中）设，则“”是“”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要
7、不充分条件 D既不充分也不必要条件【变式2-2】（2023秋山西运城高一校考阶段练习）设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【变式2-3】（2023秋北京高一校考阶段练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【变式2-4】（2023陕西榆林高一校考阶段练习）（多选）命题p：的必要不充分条件是（ ）A B C D考点3 充要条件的判断与证明【
8、例3】（2023江苏高一专题练习）点是第二象限的点的充要条件是（ ）A B C D【变式3-1】（2023江苏高一专题练习）“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【变式3-2】（2022秋福建泉州高一统考期中）已知实数x，y，则“”是“”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【变式3-3】（2023高一课时练习）（多选）设全集为，在下列条件中，是的充要条件的为（ ）A B C D 【变式3-4】（2023全国高一专题练习）设集合，若集合，则的充要条件是（ ）A， B， C， D，考点4 由充分不必要条件求参【
9、例4】（2022秋河南商丘高一校考阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（ ）A B C D【变式4-1】（2023秋甘肃武威高一校考阶段练习）已知不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数m的取值范围是 【变式4-2】（2023秋北京高一校考阶段练习）已知表示不大于的最大整数，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .【变式4-3】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）已知集合，（1）当时，求；（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围【变式4-4】（2022秋湖北荆州高一校考阶段练习）已知全集，集合，（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数
10、的取值范围.考点5 由必要不充分条件求参【例5】（2023秋全国高一专题练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A B C D【变式5-1】（2022秋福建福州高一校考期中）已知的必要不充分条件是或，则实数的最大值为 .【变式5-2】（2023秋重庆铜梁高一校考阶段练习）已知，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【变式5-3】（2023全国高一专题练习）已知集合，.（1）若，求实数k的取值范围；（2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.【变式5-4】（2021秋高一课时练习）已知方程在上有解.（1）求实数的取值集合
11、；（2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求a的取值范围.考点6 由充要条件判断求参【例6】（2022秋福建宁德高一统考期中）“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）A B C D或【变式6-1】（2023江苏高一专题练习）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .【变式6-2】（2023江苏高一专题练习）设集合，；（1）用列举法表示集合；（2）若是的充要条件，求实数的值.【变式6-3】（2023全国高一专题练习）已知方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件【变式6-4】（2023全国高一专题练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）A B C D考点7 全称/存在量词命题的判断【
12、例7】（2023秋贵州遵义高一校考阶段练习）判断下列命题是存在量词命题的个数（ ）每一个一次函数都是增函数；至少有一个自然数小于1；存在一个实数x，使得；两直线平行，内错角相等.A1个 B2个 C3个 D4个【变式7-1】（2023秋全国高一专题练习）下列全称量词命题为真命题的是（ ）A所有的质数都是奇数B， C对每一个无理数，也是无理数D所有能被5整除的整数，其末位数字都是5【变式7-2】（2023秋全国高一专题练习）下列命题中，是真命题且是全称命题的是（ ）A对任意实数a，b，都有B梯形的对角线不相等CD所有的集合都有子集【变式7-3】（2023秋辽宁大连高一校考阶段练习）（多选）设非空集
13、合满足，且，则下列选项中错误的是（ ）A，有 B，使得C，使得 D，有考点8 含有一个量词命题的否定【例8】（2022秋黑龙江佳木斯高一校考期中）命题“，”的否定是（ ）A， B，C， D，【变式8-1】（2023春海南高一校考期中）全称量词命题：“能被整除的整数，是偶数.”的否定是（ ）A能被整除的整数，不是偶数B能被整除的整数，不是偶数C能被整除的整数，是偶数.D能被整除的整数，不是偶数.【变式8-2】（2023秋吉林辽源高一校联考期末）命题“，使”的否定是（ ）A，使 B不存在，使C，使 D，使【变式8-3】（2023秋山西运城高一校考阶段练习）命题“”的否定是（ ）A BC D【变式8
14、-4】（2023秋湖北荆州高一校考阶段练习）命题“，有实数解”的否定是（ ）A，有实数解 B，无实数解C，无实数解 D，有实数解考点9 由全称量词命题的真假求参【例9】（2023秋湖北宜昌高一校考阶段练习）“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）A B C D【变式9-1】（2022秋云南红河高一校考阶段练习）若，为真命题，则的取值范围为（ ）A B C D【变式9-2】（2023秋贵州黔东南高一校考阶段练习）（多选）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）A1 B C3 D【变式9-3】（2022秋四川绵阳高一校考阶段练习）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（ ）A B
15、 C D【变式9-4】（2023秋陕西榆林高一校考阶段练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围为 .考点10 由存在量词命题的真假求参【例10】（2023秋河南许昌高一校考阶段练习）若命题p：是真命题，则实数m的取值范围是（ ）A B C D【变式10-1】（2023秋全国高一专题练习）已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（ ）A B C D【变式10-2】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A B C D【变式10-3】（2023秋吉林长春高一校考阶段练习）“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）A B C D【变式10-4】（2
16、023秋吉林长春高一东北师大附中校考阶段练习）命题“”为假命题，则实数的取值范围是 . 过关检测1（2023秋甘肃临夏高一校考期末）命题“，”的否定为（ ）A， B，C， D，2（2023秋四川南充高一校考阶段练习）已知集合，则“”是“”的（ ）A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分又不必要条件3（2023秋山东菏泽高一校考阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其从军行传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D既不充分又不必
17、要条件4（2023全国高一专题练习）使成立的一个充分不必要条件是（ ）A B C D5（2023秋全国高一专题练习）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：是的必要不充分条件；是的充分不必要条件；是的充分不必要条件；是的充要条件.正确的命题序号是（ ）A B C D6（2023春江西宜春高一校联考期中）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）A B C4 D57（2023秋湖北荆州高一沙市中学校考阶段练习）已知命题：命题：R，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（ ）A B C或 D8（2023全国高一专题练习）（多选）下列选项中p是q的必要不充分条
18、件的有（ ）Ap：，q： Bp：，q： Cp：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等Dp：，q： 9（2023全国高一专题练习）（多选）下列命题不正确的是（ ）A，B，C“”的充要条件是“”D“，”是“”的充分条件10（2023秋重庆合川高一校考阶段练习）（多选）已知命题；命题：若恒成立，则.则（ ）A的否定是假命题 B的否定是真命题C与都为假命题 D与都为真命题11（2023秋江苏南京高一南京市中华中学校考阶段练习）命题“，”的否定是 .12（2022秋河南商丘高一校考阶段练习）若或是或的必要不充分条件，则实数的取值范围是 13（2023全国高一专题练习）方程 有一正一负根的充要条件是 14
19、（2023全国高一专题练习）已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.15（2023秋贵州六盘水高一校考阶段练习）（1）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；（2）已知，若是的充分条件，求实数的取值范围.专题02常用逻辑用语知识聚焦考点聚焦知识点1 充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件【注意】（1）前提pq，有方向，条件在前，结论在后；（2
20、）p是q的充分条件或q是p的必要条件；（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”知识点2 充要条件1、充要条件的定义如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。2、充要条件的含义若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。知识点3 全称量词与全称量词命题1、全称量词：短语“所有的
21、”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”2、全称量词命题（1）定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题（2）符号表示：通常，将含有变量的语句用，表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。如：命题“平行四边形对角线互
22、相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。知识点4 存在量词与存在量词命题1、存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；2、存在量词命题（1）定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。（2）符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题知识点5 命
23、题的否定1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定（1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： （2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： 2、常见正面词语的否定：正面词语等于（）大于（）小于（）是都是否定不等式（）不大于（）不小于（）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个 考点剖析考点1 充分不必要条件的判断【例1】（2023春江西宜春高一校联考期中）“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也
24、不必要条件【答案】A【解析】因为，此时当且仅当，又因为“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-1】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）对于实数，或，那么是的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要【答案】A【解析】“若，则或”的逆否命题为“若且，则”为真命题，所以当时，或成立，而当或时，不一定成立，如时，所以是的充分不必要条件，故选：A【变式1-2】（2023秋宁夏银川高一银川一中校考阶段练习）设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的充分不必要条件的电路图是（ ）A（1） B（2） C（3） D（4
25、）【答案】AD【解析】图（1），开关闭合，灯泡亮，灯泡亮，开关不一定闭合，则是的充分不必要条件；图（2），是的充要条件；图（3），开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，开关一定闭合，所以是的必要不充分条件；图（4），开关闭合，灯泡亮，灯泡亮，开关不一定闭合，则是的充分不必要条件；故选：AD.【变式1-3】（2023秋重庆高一校考阶段练习）（多选）已知p：，则p的充分不必要条件有（ ）A B C D【答案】BD【解析】由，解得，对于A，因为，则是p的必要不充分条件，A不是；对于B，因为，则是p的充分不必要条件，B是；对于C，是p的充要条件，C不是；对于D，因为，则是p的充分不必要条件，D是.故选：BD
26、【变式1-4】（2023秋安徽亳州高一校考阶段练习）（多选）已知，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A B C D【答案】BCD【解析】因为，若“”是真命题，当时，则，即，解得或，当时，则由题意可得方程有两个非负实数根，所以，解得，综上，的取值范围是，即是真命题的充要条件为，故其充分不必要条件为它的真子集，故B、C、D均符合题意.故选：BCD考点2 必要不充分条件的判断【例2】（2023秋安徽合肥高一校联考期末）已知p：，q：，则p是q的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为，所以p是q的必要不充分条件.故选：B.【变式2-1】
27、（2022秋湖北鄂州高一校联考期中）设，则“”是“”的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】能推出，故必要性成立，当时，取，则，不能推出，故充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C.【变式2-2】（2023秋山西运城高一校考阶段练习）设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，解得或，由于或，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【变式2-3】（2023秋北京高一校考阶段练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期
28、的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.故选：B【变式2-4】（2023陕西榆林高一校考阶段练习）（多选）命题p：的必要不充分条件是（ ）A B C D【答案】AC【解析】由必要不充分的定义和形式可知本题正确的表达形式应为：四个选项中哪些正确的范围所对应的命题是命题的必要不充分条件即命题是四个选项中哪些正确的范围所对应的命题的充分不必要条件，
29、则命题的范围被四个选项中正确选项的范围真包含，易得AC满足题意，B选项对应的是充要条件，D选项对应的是既不充分也不必要条件.故选：AC.考点3 充要条件的判断与证明【例3】（2023江苏高一专题练习）点是第二象限的点的充要条件是（ ）A B C D【答案】B【解析】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点是第二象限的点的充要条件是故选：B【变式3-1】（2023江苏高一专题练习）“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由可得，由可得，所以“”是“”的充要条件.故选：C.【变式3-2】（2022秋福建泉州高一统考期中）已知
30、实数x，y，则“”是“”的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为函数在R上单调递增，由，有，可得；由，可得，即则“”是“”的充要条件故选：C.【变式3-3】（2023高一课时练习）（多选）设全集为，在下列条件中，是的充要条件的为（ ）A B C D 【答案】ABD【解析】对于A，当时，当时，所以是的充要条件，所以A正确，对于B，当时，当时，所以是的充要条件，所以B正确，对于C，当时，所以C错误，对于D，当时，当时，所以是的充要条件，所以D正确，故选：ABD【变式3-4】（2023全国高一专题练习）设集合，若集合，则的充要条件是（ ）A，
31、 B， C， D，【答案】A【解析】由题意，可得，因为，所以，解得，反之亦成立，所以的充要条件是故选：A考点4 由充分不必要条件求参【例4】（2022秋河南商丘高一校考阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（ ）A B C D【答案】B【解析】设集合或，集合，因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 故，所以B选项符合要求，ACD选项不符合要求.故选：B.【变式4-1】（2023秋甘肃武威高一校考阶段练习）已知不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数m的取值范围是 【答案】【解析】由，解得，由题意可知：，则，解得，所以实数m的取值范围是故答案为：.
32、【变式4-2】（2023秋北京高一校考阶段练习）已知表示不大于的最大整数，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 .【答案】【解析】对于集合，不失一般性我们不妨设，此时由的定义可知，有，所以，若是的充分不必要条件，则 ，所以的取值范围是.故答案为：.【变式4-3】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）已知集合，（1）当时，求；（2）是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，；（2），由是的充分不必要条件得是的真子集，若，则，解得，满足是的真子集，符合题意；当时，满足是的真子集，符合题意；当时，得，解得，综上可得：，故实数的取值范围为：【变式4-4】（2022秋
33、湖北荆州高一校考阶段练习）已知全集，集合，（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，所以，又，则当时，所以.（2）若“”是“”的充分不必要条件,则,则有，所以实数的取值范围是考点5 由必要不充分条件求参【例5】（2023秋全国高一专题练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】由，解得，所以，又由，解得，所以，因为是的必要不充分条件，所以集合真包含于，所以，解得，经检验，时，满足题意；时，满足题意；所以实数的取值范围是.故选:A.【变式5-1】（2022秋福建福州高一校考期中）已知
34、的必要不充分条件是或，则实数的最大值为 .【答案】1【解析】由，得或，因为的必要不充分条件是“或”，所以，解得，所以实数a的最大值为1；故答案为：【变式5-2】（2023秋重庆铜梁高一校考阶段练习）已知，.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，而，所以（2）由“”是“”的必要不充分条件，得，于是或，解得或，因此，所以实数a的取值范围.【变式5-3】（2023全国高一专题练习）已知集合，.（1）若，求实数k的取值范围；（2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1
35、）由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则；由，则，即，解得.（2）p是q的必要不充分条件等价于.当时，解得，满足.当时，原问题等价于（不同时取等号）解得.综上，实数k的取值范围是.【变式5-4】（2021秋高一课时练习）已知方程在上有解.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的必要条件，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由，得到令，因为，所以，又因为方程在上有解，所以，所以.（2）因为是的必要条件，所以，又由（1）知，当，即时，所以，解得；当，即时，所以，解得；当，即时，所以此时不满足题意.综上可得，实数的取值范围是或.考点6 由充要条件判断求参
36、【例6】（2022秋福建宁德高一统考期中）“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）A B C D或【答案】B【解析】当时，恒成立；当时，即，解得；综上：.故选：B【变式6-1】（2023江苏高一专题练习）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .【答案】【解析】解不等式得，因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，所以，.【变式6-2】（2023江苏高一专题练习）设集合，；（1）用列举法表示集合；（2）若是的充要条件，求实数的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）集合，即；（2）由已知，若是的充要条件，则，.【变式6-3】（2023全国高一专题练习）已知方程，求使方程有两个大于的
37、实数根的充要条件【答案】【解析】方程，有两个大于的实数根，.由于上述变型过程是等价的，所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是.【变式6-4】（2023全国高一专题练习）方程与有一个公共实数根的充要条件是（ ）A B C D【答案】D【解析】方程有实根，故，解得或.方程有实根，故，解得.综上所述，只有D选项符合.若方程与有一个公共实数根，设公共实根为，则，两式相减得，由于，所以，所以.当时，两个方程分别为、，方程的两个根为；方程的两个根为；即方程与有一个公共实数根.综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.故选：D考点7 全称/存在量词命题的判断【例7】（2023秋贵州遵义高一校考阶段练习）判断下列命题是存在量词命题的个数（ ）每一个一次函数都是增函数；至少有一个自然数小于1；存在一个实数x，使得；两直线平行，内错角相等.A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】因为“每一个”是全称量词，所以每一个一次函数都是增函数是全称量词命题；因为“至少有一个”是存在量词，所以至少有一个自然数小于1是存在量词命题；因为
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