1、2024年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）1. 下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 02. 据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 4. 某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是，对于这组数据，下列判断错误的是（ ）A. 众数是B. 中位数是C. 平均数是D. 方差是5. 在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A.
2、12B. 15C. 20D. 246. 我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ji）生其中，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深几何”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度是多少？则水深为（ ）A. 10尺B. 12尺C. 13尺D. 15尺7. 王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图、第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，重合于折痕上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上已知，则长是（
3、）A. B. C. D. 8. 如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，连接，且满足，则的值可能是（）A. 6B. 6.8C. D. 二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）9. 64的立方根是_10. 使代数式有意义的x的取值范围是_11. 若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的中位数为_12. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为_ 13. 已知正六边形的内切圆半径为，则它的周长为_14. 已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为_15. 如图，O、
4、B两点是线段的三等分点，以为直径作，连接，交于点D，若点D恰为线段中点，则为 _16. 如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则 _三、解答题（本题满分0分）17. 计算：18. 解方程组：19. 先化简，再求值：，其中a满足20. 如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为、，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐 （1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在号窗口取餐的概率是_；（2）若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）21.
5、 2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：根据以上信息，回答下列问题： （1）这60天的日平均气温的中位数为 ；众数为 ；（2）若日平均气温在至的范围内（包括和）为“舒适温度”，请估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数22. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，求证： 23. 如图，从灯塔C处观测轮船A、B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西的方向，轮船B在灯塔C北偏东的方向，且海里，海里，已知，求
6、A、B两艘轮船之间的距离（结果保留根号）24. 如图，以x轴上长为1的线段为宽作矩形，矩形长、交直线于点F、E，反比例函数的图像正好经过点F、E （1）线段长 （2）求k值25. 如图，在中，点为边上的一个动点，过点作，交于点连接，是的切线（1）求证：；（2）若，求直径的长26. 如图1，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B（1）求抛物线L解析式；（2）点C在抛物线上，若的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；（3）如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点NP为线段上一点若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值27. 已知矩
7、形中，是的中点，于点（1）如图，若，求值；（2）如图，连接交于点，若，求的值；（3）如图，延长交于点，若点恰好为中点，过作交于，设的面积为，的面积为，则的值为 2024年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）1. 下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】【分析】根据无理数的定义解答即可【详解】解：，0有理数；是无理数故选：B【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键2. 据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为（）A. B. C. D.
8、【答案】A【解析】【分析】用科学记数法表示成形式，其中，代入可得结果【详解】解：的绝对值大于表示成的形式，表示成，故选A【点睛】本题考查了科学记数法解题的关键在于确定的值3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过计算对各选项进行判断即可【详解】解：A中，错误，故不符合题意；B中，错误，故不符合题意；C中，错误，故不符合题意；D中，正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方等知识解题的关键在于正确的运算4. 某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是，对于这组数据，下列判断错误的是（ ）A. 众数是B. 中位数是
9、C. 平均数是D. 方差是【答案】D【解析】【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义求解判断即可【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数是8，这组数据的中位数为8，故B不符合题意；这组数据中8出现了3次，出现的次数最多，这组数据的众数为8，故A不符合题意；这组数据的平均数为，故C不符合题意；这组数据的方差为 ，故D符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，方差，熟知平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键5. 在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A. 12B. 15C. 2
10、0D. 24【答案】C【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB，再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积【详解】解：C=90，AC=3，BC=4，AB=5，以直线AC为轴，把ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=245=20故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长6. 我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ji）生其中，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深几何”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇
11、拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度是多少？则水深为（ ）A. 10尺B. 12尺C. 13尺D. 15尺【答案】B【解析】【分析】设水深为h尺，则芦苇高为尺，根据勾股定理列方程，求出h即可【详解】解: 设水深为h尺，则芦苇高为尺，由题意知芦苇距离水池一边的距离为尺，根据勾股定理得：，解得，即水深为12尺，故选：B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键7. 王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图、第一步：将长方形纸片沿对称轴对折后展开，折出折痕；第二步：将和分别沿翻折，重合于折痕上；第三步：将和分别沿翻折，重合于折痕上已知，则的长是（）A.
12、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据第一、二步折叠易得四边形为正方形，以此得出，根据勾股定理求出，根据第三步折叠可得，进而得到，则，于是，即可求解【详解】解：四边形为矩形，由第一步折叠可得，由第一步折叠可得，四边形为平行四边形，平行四边形为正方形，在中，根据第三步折叠可得，故选：D【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键8. 如图，已知矩形的一边长为12，点P为边上一动点，连接，且满足，则的值可能是（）A. 6B. 6.8C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，矩形
13、的性质，三角形的面积等知识，考虑的两个临界点，如图1，当点P与点A重合时，最小，此时的值最大；如图2，当点P是的中点时，最大，此时最小；分别计算的值，确定的最大值和最小值，可得结论【详解】解：如图1，当点P与点A重合时，四边形是矩形，此时是满足题意的最大值；如图2，当点P是的中点时，此时最小，此时，过点B作于E，设，则，解得：（舍）或，综上，即故选：B二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）9. 64的立方根是_【答案】-4【解析】【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数，可知
14、-64的立方根为-4故答案为：-4【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数10. 使代数式有意义的x的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案【详解】解：代数式有意义， 故答案为：11. 若一组数据1、3、x、5、8的众数为8，则这组数据的中位数为_【答案】5【解析】【分析】根据众数和中位数的概念求解【详解】解：数据1、3、x、5、8的众数为8，x8，则数据重新排列为1、3、5、8、8，所以中位数为5，故答案为5【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数
15、据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数12. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为_ 【答案】【解析】【分析】用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率【详解】解：设正方形的边长为，黑色区域面积为正方形的内切圆的面积的一半，针尖落在黑色区域内的概率故答案为：【点睛】本题考查了几何概率：某事件的概率某事件所占有的面积与总面积之比13. 已知正六边形
16、的内切圆半径为，则它的周长为_【答案】【解析】【分析】此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形及特殊角的三角函数值，根据已知得出六边形是边长等于正六边形的半径是解题关键根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可【详解】解：如图，连接、，；六边形是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为，是等边三角形，解得，它的周长故答案为：14. 已知点P是半径为4的上一点，平面上一点Q到点P的距离为2，则线段的长度a的范围为_【答案】【解析】【分析】如图，当点在圆外且，三点共线时，线段的长度的最大，当点在圆内且，三点共线时，线段的长度的最小，据此得到结论【详解】解：如图，当点在圆外且，三点共
17、线时，线段的长度的最大，最大值为；当点在圆内且，三点共线时，线段的长度的最小，最小值为，所以，线段的长度的范围为故答案为：【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确的作出图形是解题的关键15. 如图，O、B两点是线段的三等分点，以为直径作，连接，交于点D，若点D恰为线段中点，则为 _【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理和解直角三角形连接，如图，设的半径为r，先证明为的中位线，则，再根据圆周角定理得到，再利用勾股定理计算出，然后根据正切的定义求解【详解】解：连接，如图，设的半径为r，O、B两点是线段的三等分点，点D恰为线段中点，为的中位线，为直径，在中，故答案为：16. 如图，已知的两条直
18、角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则 _【答案】【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，连接，根据，可说明，从而求出的长，再利用，得，设，则，进而得出x的值【详解】解：如图，连接，由勾股定理得，点G为的中点，的锐角顶点D恰好落在的斜边上，设，则，解得，经检验，是方程的解，故答案为：三、解答题（本题满分0分）17. 计算：【答案】7【解析】【分析】根据零指数幂法则，负整数指数幂法则，立方根的性质进行计算便可【详解】解：【点睛】本题考查了零指数幂，负数整数指数幂，熟记实数的混合运算的顺序和运算法则是解题的关
19、键18. 解方程组：【答案】【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可【详解】由得，将代入，得，解得，将代入，得，所以方程组的解为【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键19. 先化简，再求值：，其中a满足【答案】【解析】【分析】原式化简得，由去分母变形得，进而即可求解.【详解】=原式=【点睛】本题主要考查分式的化简、运算及等式的基本性质；对题设的等式作恒等变形得出代数式的值是解题关键20. 如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，食堂开设了4个窗口，分别记为、，学生可以从这4个窗口中任意选取一个窗口取餐 （1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择
20、在号窗口取餐的概率是_；（2）若小红和小丽-起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；（2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可求解【小问1详解】若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在号窗口取餐的概率是，故答案为：【小问2详解】画出树状图如图， 共有16种等可能结果，符合题意的有6种，小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式与画树状图法求概率是解题的关键21. 2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中
21、心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估计一下苏州今年4月份日平均气温情况他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：根据以上信息，回答下列问题： （1）这60天的日平均气温的中位数为 ；众数为 ；（2）若日平均气温在至的范围内（包括和）为“舒适温度”，请估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数【答案】（1）中位数19.5；众数19 （2）20天【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解即可；（2）用样本中气温在的范围内的天数所占比例乘以4月份的天数即可【小问1详解】解：因为这60天的日平均气温按从小到大排列，第30天的气温是
22、，第31天的气温是，所以这60天的日平均气温的中位数为，因为气温是的天数最多，所以众数为19【小问2详解】解：（天）估计苏州今年4月份日平均气温为“舒适温度”的天数大约为20天【点睛】本题主要考查众数和中位数、样本估计总体，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数22. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，求证： 【答案】见解析【解析】【分析】先证明可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对边平行即可解答【详
23、解】解：，即，四边形是平行四边形，【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，灵活运用平行四边形的判定与性质是解答本题的关键23. 如图，从灯塔C处观测轮船A、B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西的方向，轮船B在灯塔C北偏东的方向，且海里，海里，已知，求A、B两艘轮船之间的距离（结果保留根号）【答案】海里【解析】【分析】利用勾股定理及三角函数解直角三角形即可【详解】解：过点A、B分别作东西方向的垂线于点E、D，作于点F则四边形为矩形在中，海里（海里）在中，海里海里由勾股定理得：解得：海里 海里则海里即：A、B两艘轮船之间的距离为海里【点睛】本题考查
24、三角函数的应用根据已知条件构造直角三角形是解题关键24. 如图，以x轴上长为1的线段为宽作矩形，矩形长、交直线于点F、E，反比例函数的图像正好经过点F、E （1）线段长为 （2）求k值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）表示出、的坐标，然后利用勾股定理即可求得的长度；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得即可【小问1详解】解： 点、在直线图象上，设，则，即，【小问2详解】解：反比例函数的图象正好经过点、，解得，【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，正确表示出点的坐标是解题的关键25. 如图，在
25、中，点为边上一个动点，过点作，交于点连接，是的切线（1）求证：；（2）若，求直径的长【答案】（1）详见解析 （2）【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键（1）由平行线的性质结合已知得出，再结合圆周角定理即可得证；（2）连接，并延长和相交于，证明得出，再结合勾股定理计算即可得出答案【小问1详解】证明：，是的切线，是圆的直径，；【小问2详解】解：连接，并延长和相交于，四边形为圆内接四边形，又，为的直径，是的切线，在中，设，则，即26. 如图1
26、，抛物线经过点，对称轴为直线与x轴的交于点B（1）求抛物线L的解析式；（2）点C在抛物线上，若内心恰好在x轴上，求点C的坐标；（3）如图2，将抛物线L向上平移个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点NP为线段上一点若与相似，并且符合条件的点P恰有2个，求k的值【答案】（1） （2） （3）当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线且抛物线过点求解可得；（2）由题意易得x轴平分，即，且点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，设，然后可得，进而问题可求解；（3）设抛物线的解析式为，知、，再设，分和两种情况，由对应边成比例得出
27、关于与的方程，利用符合条件的点恰有2个，结合方程的解的情况求解可得【小问1详解】解：由题意知，解得：，抛物线的解析式为；【小问2详解】解：由题意得：x轴平分，即，的内心恰好在x轴上，的三个内角的角平分线交点在x轴上，由此可知点C在y轴的左侧，过点C作轴于点D，如图所示：由题意知：，设，则有，解得：（不符合题意，舍去），点；【小问3详解】解：如图2，设抛物线的解析式为，、，设，当时，；当时，；（）当方程有两个相等实数根时，解得：（负值舍去），此时方程有两个相等实数根，方程有一个实数根，（）当方程有两个不相等的实数根时，把代入，得：，解得：（负值舍去），此时，方程有两个不相等的实数根、，方程有一个
28、实数根，综上，当与相似，并且符合条件的点P恰有2个，则或2【点睛】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角形的内心是解题的关键27. 已知矩形中，是的中点，于点（1）如图，若，求的值；（2）如图，连接交于点，若，求的值；（3）如图，延长交于点，若点恰好为的中点，过作交于，设的面积为，的面积为，则的值为 【答案】（1）； （2）； （3）【解析】【分析】（）证明，得到，即可求解；（）延长交的延长线于，连接，证明，得到，推出，进而得到四边形是菱形，得到，得出，即可得，得到，据此得到，再由即可求解；（）过作于，交于，作于，
29、证明，得到，推导出四边形是正方形，得到，设，则，可得，由三角形面积得到，证明，得到，进而得到，由，设，则，证明，得到，由可得方程，解方程得，即，再由三角形面积公式即可求解【小问1详解】解：是的中点，四边形是矩形， ，；【小问2详解】解：延长交的延长线于，连接，如图，四边形是矩形， ，是的中点，四边形是平行四边形，四边形是菱形，；【小问3详解】解：过作于，交于，作于，如图，则，是的中点，是的中点，四边形是矩形，即，四边形是正方形，设， 则，即解得，设，则，又，即，解得， 解得， 的面积为，的面积为，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键
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