2024年陕西省汉中市中考二模数学试卷（含答案解析）

1、2024年陕西省汉中市中考二模数学试卷一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分）1. 的绝对值是（ ）A. B. 8C. D. 2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 计算：（ ）A. B. C. D. 4. 一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后经过点，则b的值是（ ）A. 1B. C. 5D. 5. 如图，在等边中，延长BC到点E，连接AE，若，则的长为（ ）A B. C. D. 36. 如图，内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 7. 二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于，两点，则二次

2、函数的最小值为（ ）A. 4B. C. 2D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）8. 实数，0，1，中，最小的数是_9. 已知与互余，则 _10. 如图，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为_11. 如图，在菱形中，对角线相交于点，为边的中点，连接，若，则线段的长为_12. 如果反比例函数（是常数）的图象在第二、四象限，那么的取值范围是_13. 如图，在矩形中，点M是边上的动点，点N是射线上的动点，且，连接，则的最小值为_ 三、解答题（共14小题，计81分，解答应写出过程）14. 解不等式组：15. 计算：1

3、6 先化简，再求值：，其中17. 如图，已知，分别延长，请利用尺规作图法在的延长线上求作一点D，使得平分（不写作法，保留作图痕迹）18. 观察下列各个式子的规律：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，请用上述等式反应出的规律解决下列问题：（1）请直接写出第4个等式_；（2）智慧小组的同学猜想第n个等式是：，请你验证智慧小组同学的猜想是否正确19. 如图，点E、F在正方形的边上，点G、H分别在边上，且，连接交于点Q，求证： 20. 一个不透明的盒子里装有3枚黑棋子，2枚白棋子，这些棋子除颜色外都相同小华和小溪利用这些棋子做游戏，他们设计的游戏规则为：将棋子搅匀，小华先从盒子里随机摸出1枚棋子

4、，记下颜色，放回搅匀，小溪再从盒子里随机摸出1枚棋子，记下颜色摸出黑棋子得1分，摸出白棋子得2分若他们的得分之和为2，则小华胜，若他们的得分之和为3，则小溪胜，其他情况视为平局 （1）从盒子中随机摸出1枚棋子，则摸出的这枚棋子是_棋子的可能性较小；（填“黑”或“白”）（2）这个游戏规则对小华和小溪双方公平吗？请利用画树状图法或列表法说明理由21. 张丘建算经是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？22. 张悦

5、和李玲合作测量天汉楼的高度AB，如图，张悦在D处竖立标杆CD，然后她向后退，恰好退到F处、此时她的眼睛E看到点C和点A在一条直线上，张悦的眼睛到地面的高度，；李玲站在H处，在G处用测角仪测得点A的仰角，已知点B、D、F、H在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程及数据求出天汉楼的高度AB（参考数据：，） 23. 【问题背景】尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程【收集信息】张梅从景区发宣传册中发现了他们所走的线路图，如图 【建立模型】张梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，

6、在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点折线表示观光车到终点的路程与行驶时间之间的关系【解决问题】（1）请求出线段表示的函数表达式；（2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间24. 水是人体细胞的主要成分之一喝水是维持生命体新陈代谢的重要一环，科学饮水很重要某实践小组想了解全校学生喝水情况，随机抽取该校25位学生调查他们平均每天的饮水量（单位：L）【数据收集】随机抽取的25位学生平均每天的饮水量：1，1，1.5，2，1，2，1，1.5，2.5，2.5，3，1.5， 1.5，2，1.5，2.5，2，2，2，2.5，2，2.5，3，2，1.5【数据整理】将收集的数据进行整理统计并绘制了如图所示不

7、完整的统计图：【任务要求】请根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）所抽取学生平均每天饮水量众数是_L，中位数是_L；（3）该校共有1200名学生，请你估计这1200名学生平均每天的饮水总量25. 如图，是的外接圆，AB是的直径，的弦、交于点G，于点E，过点D作的切线交的延长线于点H， （1）求证：；（2）若，求直径的长26. 已知抛物线：与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于另一点D（1）求抛物线L的对称轴及点D的坐标；（2）将抛物线L沿x轴向右平移得到新抛物线，点A、B平移后的对应点分别是E、F，是否存在新抛物线使得以点C、D、E、B为

8、顶点的四边形是平行四边形；若存在，请求出所有符合条件的新抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由27. （1）如图，矩形面积为S，请在矩形内部找一点E，并画出点E，使得的面积为；（画出一点即可）（2）如图，在等腰中，顶角，点D是的中点，连接，过点D作于点B，交于F求证：；（3）如图，李师傅有一块形如五边形的钢板，其中，点P是钢板内的一动点，的面积为，连接，点M是的中点，现要从该钢板上切割出一个四边形部件，点G、F分别在上，切痕分别为，现要对切痕进行处理，需要知道切痕的总长，请你帮李师傅求出切痕的长2024年陕西省汉中市中考二模数学试卷一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分）1. 的绝对值是

9、（ ）A. B. 8C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据绝对值的定义作答即可【详解】的绝对值是，故选D【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别；根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿

10、某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案【详解】解：由题意可得，A选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意，B选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，C选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意，D选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意，故选：C3. 计算：（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的计算法则求解即可【详解】解：，故选：B4. 一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后经过点，则b的值是（ ）A. 1B. C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了一次

11、函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，明确坐标特征是解题的关键根据关于轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数得到，把点代入即可求得的值【详解】解：根据题意，一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后所求的函数解析式是所得的图象经过点，解得：，故选：A5. 如图，在等边中，延长BC到点E，连接AE，若，则的长为（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键过点A作于D，利用等边三角形的性质得出，从而得出是等腰直角三角形，即可求得，在中，则，利用勾股定理即可求出的长【详解

12、】解：过点A作于D，如图，等边，在中，故选：C6. 如图，内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆周角的计算，熟练运用等弧所对圆周角相等、利用垂径定理得出点F是弧的中点是解题关键连接，设交于点D，先求出，再求出，再利用三角形外角定理即可求解【详解】连接，设交于点D，为的直径，点F是弧的中点， ，是的外角 故选：A7. 二次函数（b、c为常数）图象与x轴交于，两点，则二次函数的最小值为（ ）A. 4B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关

13、键先用待定系数法求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求解【详解】解：把，分别代入，得，解得：，当时，y有最小值，最小值为，故选：B二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）8. 实数，0，1，中，最小的数是_【答案】【解析】【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握实数大小比较方法正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可【详解】解：最小的数是故答案为：9. 已知与互余，则 _【答案】35【解析】【分析】本题考查了余角的知识，根据互余的两角之和为，即可得出答案【详解】与互余，故答案为：3510. 如图，

14、用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，若正八边形的边长为2，则中间空白四边形的面积为_【答案】4【解析】【分析】本题考查正方形的判定，正多边形的性质，多边形内角和定理正确判定出中间空白四边形为正方形是解题的关键先根据正八边形边长为2得出中间空白四边形的边长为2，再根据多边形内角和与正多边形的性质，得出中间空白四边形的每个内角为【详解】解：正八边形的边长为2，中间空白四边形的边长为2，中间空白四边形的每个内角为：，中间空白四边形为正方形，中间空白四边形面积为，故答案为：411. 如图，在菱形中，对角线相交于点，为边的中点，连接，若，则线段的长为_【答案】3【解析】【分析

15、】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，解答本题的关键掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质先根据菱形的性质得到，然后根据中位线的性质可得，即可求解【详解】解：菱形，为边中点，故答案为：312. 如果反比例函数（是常数）的图象在第二、四象限，那么的取值范围是_【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限根据反比例函数的图象和性质，由即可解得答案【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，解得故答案为：13. 如图，在矩形中，点M是边上的动点，点N是射线上的动点，且，连接，则的最小值为_ 【答案】【解析

16、】【分析】先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将转化为，然后做关于的对称线段，当点M为与的交点时，取最小值利用勾股定理求解【详解】解：连接， ，延长至点，使，连接，则，当点M为与的交点时，取最小值即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，利用轴对称求最短距离，两点之间线段最短，勾股定理掌握利用轴对称求最短距离是解题的关键三、解答题（共14小题，计81分，解答应写出过程）14. 解不等式组：【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式确定出不等式组的解集是解题的关键先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取

17、较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组的解集即可【详解】解：解不等式得，解不等式得，不等式组的解集为15. 计算：【答案】【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法根据平方差公式，负整数指数幂和二次根式的乘法、加减法可以解答本题【详解】解：原式16. 先化简，再求值：，其中【答案】，【解析】【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键先运用分式加法法则计算括号内的，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把值代入计算即可【详解】解：原式当时，原式17. 如图，已知，分别延长，请利用尺规作图法在的延长线上求作一点D

18、，使得平分（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查尺规作图，根据作一个角等于已知角的方法作图即可，熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图是解题的关键【详解】解：点D如图所示如图，以B为圆心，任意长度为半径画弧，交于点O，交与E；以O为圆心，长度为半径画弧，交弧于点M；连接，延长，交于点D；18. 观察下列各个式子的规律：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，请用上述等式反应出的规律解决下列问题：（1）请直接写出第4个等式_；（2）智慧小组的同学猜想第n个等式是：，请你验证智慧小组同学的猜想是否正确【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】本题考查了数字的变化规律

19、，发现规律是解答本题的关键（1）根据规律，写出第四个等式即可；（2）证明左侧等于右侧即可【小问1详解】解：；【小问2详解】观察智慧小组的同学猜想的等式符合所给的三个等式，左边，右边，左边=右边，智慧小组的同学猜想正确19. 如图，点E、F在正方形的边上，点G、H分别在边上，且，连接交于点Q，求证： 【答案】见解析【解析】【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟记正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键根据正方形的性质得出，得到，再根据垂直的定义进而得出，即可根据证明，根据全等三角形的性质即可得解【详解】证明：在正方形中，即，即，20. 一个不透明的盒子里装有3枚

20、黑棋子，2枚白棋子，这些棋子除颜色外都相同小华和小溪利用这些棋子做游戏，他们设计的游戏规则为：将棋子搅匀，小华先从盒子里随机摸出1枚棋子，记下颜色，放回搅匀，小溪再从盒子里随机摸出1枚棋子，记下颜色摸出黑棋子得1分，摸出白棋子得2分若他们的得分之和为2，则小华胜，若他们的得分之和为3，则小溪胜，其他情况视为平局 （1）从盒子中随机摸出1枚棋子，则摸出的这枚棋子是_棋子的可能性较小；（填“黑”或“白”）（2）这个游戏规则对小华和小溪双方公平吗？请利用画树状图法或列表法说明理由【答案】（1）白 （2）不公平，见解析【解析】【分析】本题考查事件发生可能性大小的判断，用画树状图法或列表法说明游戏公平性

21、（1）直接用概率公式求出其概率，比较即可；（2）用画树状图法或列表法求出小华胜与小溪胜的概率，再比较即可得出结论【小问1详解】解：盒子里装有3枚黑棋子，2枚白棋子，P（黑），P（白），从盒子中随机摸出1枚棋子，则摸出的这枚棋子是白棋子的可能性较小故答案为：白【小问2详解】解：画树状图如下 由图可得，共有25种等可能的结果，其中得分之和为2的情况有9种，得分之和为3的情况有12种，P（小华胜），P（小华胜 ），这个游戏规则对小华和小溪双方不公平21. 张丘建算经是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱现

22、在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只），根据题意列方程为：解得，公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只22. 张悦和李玲合作测量天汉楼的高度AB，如图，张悦在D处竖立标杆CD，然后她向后退，恰好退到F处、此时她的眼睛E看到点C和点A在一条直线上，张悦的眼睛到地面的高度，；李玲站在H处，在G处用测角

23、仪测得点A的仰角，已知点B、D、F、H在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程及数据求出天汉楼的高度AB（参考数据：，） 【答案】69米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点G作于点，交CD于点P，由正切的定义得，由相似的判定方法可证 ，由相似的性质得，即可求解；掌握解法是解题的关键【详解】解：过点G作于点，交于点P， 由题可得，点E在上，在中，即，解得，天汉楼的高度为69米23. 【问题背景】尽享春日好时光，张梅和家人去某自然景区游玩，在欣赏美景的同时张梅用所学过的知识来记录他们的行程【收集信息】张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线路图，如图 【建立模型】张

24、梅通过乘坐的观光车所走的路程，绘制了如图所示的函数图象，观光车从入口出发，经过景点甲，在景点甲停留一段时间，然后继续行驶到达终点折线表示观光车到终点的路程与行驶时间之间的关系【解决问题】（1）请求出线段表示的函数表达式；（2）请通过计算求观光车在景点甲停留的时间【答案】（1） （2）1小时【解析】【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，函数图象，从函数图象获取有用信息是解题关键（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的时间，即可求得线段表示的时间，即可求解【小问1详解】解：设线段表示的函数表达式为，把，分别代入，得，解得：，线段表示的函数表达式为【小问2详解】解：由图可得，当时，解得

25、，(小时），观光车在景点甲停留了1小时24. 水是人体细胞的主要成分之一喝水是维持生命体新陈代谢的重要一环，科学饮水很重要某实践小组想了解全校学生喝水情况，随机抽取该校25位学生调查他们平均每天的饮水量（单位：L）【数据收集】随机抽取的25位学生平均每天的饮水量：1，1，1.5，2，1，2，1，1.5，2.5，2.5，3，1.5， 1.5，2，1.5，2.5，2，2，2，2.5，2，2.5，3，2，1.5【数据整理】将收集的数据进行整理统计并绘制了如图所示不完整的统计图：【任务要求】请根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）所抽取学生平均每天饮水量的众数是_L，中位数是_L；（

26、3）该校共有1200名学生，请你估计这1200名学生平均每天的饮水总量【答案】（1）见解析 （2）2，2 （3）【解析】【分析】本题考查了数据统计与分析；（1）统计随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中，平均每天的饮水量为2 L、2 .5L的人数，再补全条形图；（2）根据众数和中位数的定义分别求解即可；（3）根据调查的25人的平均每天的饮水量乘以总人数即可解答【小问1详解】解：随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中，平均每天的饮水量为2 L的有8人，平均每天的饮水量为2 .5L的有5人，补全统计图如下：【小问2详解】解：随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中出现次数最多的是2，故众数是2把这组

27、数据从小到大排列后，第13个是2，故中位数为2，故答案为：2，2；【小问3详解】1200名学生平均每天的饮水总量.25. 如图，是的外接圆，AB是的直径，的弦、交于点G，于点E，过点D作的切线交的延长线于点H， （1）求证：；（2）若，求直径的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，利用切线的性质得到，利用垂直的定义得到，利用等腰三角形性质得到，推出，再利用等腰三角形性质推出，即可证明；（2）利用平行线性质得到，从而得到，利用圆周角定理得到，从而得到，即可求得直径的长【小问1详解】证明：连接， 是的切线，即，于点E，即，【小问2详解】解：，是的直径，【点睛】本题考查了切线的性

28、质、圆周角定理、解直角三角形相关计算、等腰三角形性质、平行线性质解题的关键熟练掌握相关性质定理26. 已知抛物线：与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于另一点D（1）求抛物线L的对称轴及点D的坐标；（2）将抛物线L沿x轴向右平移得到新抛物线，点A、B平移后的对应点分别是E、F，是否存在新抛物线使得以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形；若存在，请求出所有符合条件的新抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由【答案】（1）， （2）存在，或【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，平行四边形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是

29、解题的关键（1）根据抛物线对称轴为即可求出对称轴，由点C、D关于抛物线的对称轴的对称，可得点D的坐标；（2）以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形时，需要，然后分当点E在点B的左侧时，；当点E在点B的右侧时，两种情况求解即可【小问1详解】解：抛物线的对称轴为直线，当时，由题意可得，点C、D关于抛物线的对称轴的对称，【小问2详解】，点B、E都在x轴上，当时，以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形令，则，解得，将抛物线L化顶点式为，I当点E在点B左侧时，将抛物线L向右平移4个单位长度时，以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形，此时平移后的抛物线为II当点E在点B的右侧时，将抛物线

30、L向右平移12个单位长度时，以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形，此时平移后的抛物线为综上，存在新抛物线使得以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形，新抛物线的函数表达式为或27. （1）如图，矩形的面积为S，请在矩形内部找一点E，并画出点E，使得的面积为；（画出一点即可）（2）如图，在等腰中，顶角，点D是的中点，连接，过点D作于点B，交于F求证：；（3）如图，李师傅有一块形如五边形的钢板，其中，点P是钢板内的一动点，的面积为，连接，点M是的中点，现要从该钢板上切割出一个四边形部件，点G、F分别在上，切痕分别为，现要对切痕进行处理，需要知道切痕的总长，请你帮李师傅求出切痕的长【答案

31、】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接交于点E，点E即为所求过点E作的平行线分别交于点F、G，点E在上任意一点均正确，端点除外（2）如图，过点D作于点H，根据，D是的中点，运用等腰三角形的性质得出平分，再根据，运用角平分线的性质得出根据即可得出，根据直角三角形的性质即可得出，即可证明（3）延长交于点S，如图，证明四边形是平行四边形，得出，在四边形中，得出，过点P作于点H，于点N，由，点M是的中点，证得，设点P到的距离为h，根据的面积为即可求出过点A作的平行线交于点R，过点B作于点Q，过点P作的垂线交的延长线于点T，则，得出在中，即可得出点P在上运动解出，过点D作交的延长

32、线于点，则，在中，求出，即可求解【详解】解：（1）连接交于点E，点E即为所求过点E作的平行线分别交于点F、G，如图，点E在上任意一点均正确，端点除外（2）证明：如图，过点D作于点H，D是的中点，平分，（3）延长交于点S，如图，四边形是平行四边形，在四边形中，过点P作于点H，于点N，点M是的中点，设点P到的距离为h，的面积为，点P到所在直线的距离为1过点A作的平行线交于点R，过点B作于点Q，过点P作的垂线交的延长线于点T，则，在中，点P在上运动，点T、P、N在一条直线上，且的长为平行线与之间的距离在中，过点S作交于点，过点D作交的延长线于点，则四边形是矩形，在中，的长为【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线的性质，矩形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点