1、1.已知全集0Ux x=，集合12Axx=在R上没有零点，则实数 a 的取值范围是（）A.(),10 B.(),1 C.()1,+D.()0,+7.函数()()222 3sinsin 23f xxx=+，其中0，其最小正周期为，则下列说法错误的是（）A.1=学科网（北京）股份有限公司 B.函数()f x图象关于点,33对称 C.函数()f x图象向右移()0 个单位后，图象关于 y 轴对称，则的最小值为512 D.若0,2x，则函数()f x的最大值为31+8.若不等式21exbxax+对一切xR恒成立，其中,a bR，e为自然对数的底数，则ab+的取值范围是（）A.(,1 B.(),1 C.
2、(,1 D.(),2 二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对得全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.设 A，B 为随机事件，且()P A，()P B是,A B发生的概率.()()(),0,1P AP B，则下列说法正确的是（）A.若 A，B 互斥，则()()()P ABP AP B=+B.若()()()P ABP A P B=，则,A B相互独立 C.若,A B互斥，则,A B相互独立 D
3、.()()()()P A BP B AP A BP B A与()()()()P A BP B AP B AP A B相等 10.设()33f xxx=，则下列说法正确的是（）A.函数()yf x=的图象与圆221xy+=有且只有两个公共点 B.存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数()yf x=的图象上 C.存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数()yf x=的图象上 D.存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数()yf x=的图象上 11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽
4、线.已知在平面直角坐标系xOy中，到两定点()1,0Fa，()2,0Fa距离之积为常数2a的点的轨迹 C 是双纽线.若()3,0M是曲线 C 上一点，则下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司 A.曲线 C 的图象关于原点对称 B.曲线 C 经过 5 个整点（横纵坐标均为整数的点）C.曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 3 D.曲线 C 上有且仅有 3 个点 P 满足12PFPF=三三填空题：本题共填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.直线eyax=与曲线:lnC yxx=相切，则a=_.13.已知点P在双曲线22:16436x
5、yC=上，1F，2F分别是双曲线 C 的左右焦点，若12PFF的面积为 45，则12PFPF+=_.14.甲乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班 50 人，乙班 40 人.甲班的平均成绩为 72 分，方差为 90 分2；乙班的平均成绩为 90 分，方差为 60 分2.那么甲乙两班全部 90 名学生的平均成绩是_分，方差是_分2.四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（13 分）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c其中(),ma b=，3cos,sin4nBA=，且m nc
6、=.（1）求sin A的值；（2）若ABC的外接圆半径为 5，求ABC面积的最大值.16.（15 分）如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11ABB A 底面ABC，12ABAAAC=，12 260BCABB=，点 D 是棱11AB的中点.（1）证明：ADBC；学科网（北京）股份有限公司（2）求面ABC与面1ABC夹角的正切值.17.（15 分）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的左右焦点分别为1F，2F，且124 2FF=，点2 32 2,3M在椭圆 C 上，直线:l yxt=+.（1）若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数 t 的取值范围；（2）当2t=时，记直线l与x轴，y轴
7、分别交于,A B两点，,P Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值.18.（17 分）设函数()1lnf xxx=+，()0.1x.（1）试判断()fx的单调性；（2）证明：对任一()00,1x，有()()()()000f xfxxxf x+，当且仅当0 xx=时等号成立.（3）已知1(1,2,3,),1njiiXinX+=R，证明：2111nniiinxxn=+（其中1231niniaa aaa=）19.（17 分）对于数列 na，若存在常数 T，()*00,nT n N，使得对任意的正整数0nn，恒有n Tnaa+=成立，则称数列 na是从第0n项起的周期为 T 的周期数列.当0
8、1n=时，称数列 na为纯周期数列；当02n 时，称数列 na为混周期数列.记 x为不超过 x 的最大整数，设各项均为正整数的数列 na满足：21log,212,.2nnnnannaaaaa+=+为偶数为奇数（1）若对任意正整数n都有1na，请写出三个满足条件的1a的值；（2）若数列 na是纯周期数列，请写出满足条件的1a的表达式，并说明理由；（3）证明：不论1a为何值，总存在*,m nN使得21mna=.学科网（北京）股份有限公司 启用前注意保密启用前注意保密 珠海市珠海市 2025 届高三第一次摸底考试答案（详解版）届高三第一次摸底考试答案（详解版）数学数学 本答案共本答案共 15 页，分
9、第页，分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分分.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】B【解析】因为全集0Ux x=，集合 12Axx=，由补集的运算可得U 01Axx=或2x或2x，对应区间为()0,12,+.2.【答案】B【解析】法一：()23i10|3i|z +=+，且2|,3izzz
10、z=+.法二：()()()103i103i,3i3i3i3izz=+.3.【答案】C【解析】M是AD的中点，1122BMBABD=+，又33,4BDDCBDBC=从而得到1328BMBABC=+，进而可知137,288=+=.4.【答案】D【解析】由()()1,0,0,3AB可得：22(1)310AB=+=，直线AB方程为33yx=+，圆22(3)1xy+=的圆心()3,0C，半径1r=，点C到直线:330ABxy+=的距离221212103(1)d=+，因此点P到直线AB距离的最小值为12110dr=，所以PAB面积的最小值是1121010162210=.学科网（北京）股份有限公司 5.【答
11、案】C【解析】如图所示，如图所示，Rt ABC中30BAC=，不妨设1,3,2BCACAB=.绕BC旋转得到圆锥，其体积为211(3)13V=，绕AC旋转得到圆锥，其体积为2213 1333V=，绕AB旋转得到两个共底面的圆锥，其体积为23132322V=，显然2312313,:3:2:2 323VVVVVV图象如图，函数122,0()log(1),0 xaxf xxax+=+()Ra在R上没有零点，可转化为()g x图象与函数ya=图象没有交点，学科网（北京）股份有限公司 数形结合可得1a 或0a=，实数a的取值范围是(),10.7.【答案】D【解析】对于选项 A：()()222 3sins
12、in 23sin 233f xxxx=+=+，最小正周期为，而22T=，所以1=；对于选项 B：由三角函数的对称性可知，函数()f x的对称中心为,326k；对于选项 C：函数()f x的图像向右平移(0)个单位后得到()g x，即()3sin 223g xx=+；又()3sin 223g xx=+关于y轴对称，所以2,Z32kk=+，可得,122kk=Z，所以，当1k=时，512=是最小的；对于选项 D：因为0,2x，则 42,333x+，所以3sin 2,132x+，函数()f x的最大值为33 3322=.8.【答案】A【解析】法一：不等式21 exbxax+对一切Rx恒成立 不等式()
13、21 e1xaxbx+对一切Rx恒成立，故，今()()21 exf xaxbx=+，则有()01f=；故，不等式21 exbxax+对一切Rx恒成立()()0f xf恒成立，显然，0a.又()()2e21xfxaxab xb=+，则()0101fbb=+=，()()()2e21e21,xxf xaxaxxaxa=+=+当0a=时，()f x在(),0上递增，()0,+上递减，()()0f xf符合题意；学科网（北京）股份有限公司 当0a 时，()f x在1 2,aa上递减，1 2,0aa上递增，()0,+上递减，易知当12axa时，()2100axxf x+，故()()0f xf符合题意.综上
14、，0,1ab=，因此(,1ab+.法二：不等式()21 e1xaxbx+可化为21 exaxbx+，令()()21,exf xaxbxg x=+=，当0a=时，()211f xaxbxbx=+=+，此时，直线()f x恒过点()0,1，故，只需直线()1f xbx=+为()exg x=在点()0,1处的切线即可，易得1b=，此时1ab+=.当0a 时，()f x亦恒过点()0,1，为使21exaxbx+对一切xR恒成立，只需()21f xaxbx=+开口向下，且在点()0,1处与()exg x=有公切线即可，故()001aPb，当()1,1x 时，()0fx，则()f x在()(),1,1,+
15、上单调递增，在()1,1上单调递减，又()()11 32,11 32ff=+=，对于选项 A：函数()yf x=与圆221xy+=的图象如图所示：故，函数()yf x=与圆221xy+=有且只有两个公共点，故，A 正确；对于选项 B，C：由于函数()yf x=的图象关于坐标原点O中心对称，过点O作直线交()f x的图象于,B D两点，过点O作BD的垂线交()f x的图象于AC两点，则ABD为等腰三角形，四边形ABCD为菱形，当线段BD绕点O转动时，ABD仍为等腰三角形，四边形ABCD仍为菱形，故选项 B，C 均正确；对于选项 D：由于()()33fxxxf x=+=，故，要使得正方形存在，则A
16、OB为等腰直角三角形.显然，当()1,2B 时，5OB=，点()2,1在函数图象外侧，则5OA.利用极限思想，当0OB 时，3OA，此时OBOA；当3OB 时，OA+，此时OBOA；如图所示，故至少存在两个正方形.故 D 错误.学科网（北京）股份有限公司 11.【答案】AC【解析】对于选项 A：2222212()(),PFPFxayxaya=+=化简得到：()()2222222xyaxy+=，将()3,0M代入可得229a=，所以曲线()()22222:9Cxyxy+=.把(),xy代入()()222229xyxy+=得()()222229xyxy+=，所以，曲线C的图象关于原点对称，故，A
17、正确；对于选项 B：令0y=解得0,3xx=，即：曲线经过()()()0,0,3,0,3,0，结合图象，得33x .今1x=，得21115312y+=，令2x=，得217369122y+=解得44t ，实数t的取值范围为()4,4.（2）当2t=时，直线l的方程为2yx=+，()()2,0,2,0,2 2ABAB=.由题意可知，点P或Q到直线I距离的最大值 与直线l平行且与椭圆C相切的直线l与直线l间的距离.由（1）中的()22364 43120tt=，解得4t=或4t=，此时得直线1:40lxy=或直线2:40lxy+=与椭圆C相切，1l与l之间的距离()12243 2,2dl=与l之间的距
18、离22422d=，所以，四边形PAQB面积的最大值为()12182SABdd=+=.18.【解答】解：（1）()()1ln,0,1f xxxx=+()()()()()()()22224222233411141,1xxxxxxfxfxx xxxxx+=+01x()()()()222234110 xxxfxxx+=+故，()fx在()0,1上单调递增.学科网（北京）股份有限公司（2）令()()()()()000g xf xfxxxf x=+，则()()()()()()()()00000000,g xf xfxxxf xgxfxfx=+=.又()fx在()0,1上单调递増，当001xx时，()()(
19、)()()000fxfxgxfxfx=；当101xx时，()()()()()000fxf xgxf xP x；当0 xx=时，()()()00gxf xfx=；故，()g x在0 xx=处取最小值()0g x，即：()()00g xg x=，从而，()()()()0000f xfxxxf x+，即：()()()()000f xfxxxf x+.（3）10ijxx+，要证111nniiixnxn=+，只需证111lnlnnniiixnxn=+，即证111lnlnniijxnnxn=+.（*）显然，当()11,2,iXinn=时，不等式（*）中等号成立.令()()1ln,0,1f xxxx=+，由
20、（2）可知：111()f xfxfnnn+成立，即：111()lnf xfxnnnn+成立，即：学科网（北京）股份有限公司 而111()lnnniiiif xxx=+11111111lnlnnniiiifxnfxnnnnnnnn=+=+1111lnniifXnnnnnn=+1lnnnn=+111lnlnniiixnnxn=+成立，从而111nnjjixnxn=+成立，19.【解答】解：（1）对任意正整数n都有1na，取12a=，则1212aa=，不符合题意；取13a=，则122loglog 3123413 122123,3,22anaaaaa=+=+=+=此时，数列 na为常值数列 3；取14
21、a=，则12232,122aaaa=，不符合题意；取15a=，则21log21223412226,3,322anaaaaaa=+=+=此时，数列 na的通项5,1;6,2;3,3.nnann=取16a=，则222loglog 31223413 13,223,3222anaaaaaa=+=+=，此时，数列 na的通项6,1;3,2nnan=综上所述，满足条件的三个1a分别为3,5,6.（答案不唯一，符合要求即可给分）（2）按（1）的思路，取：学科网（北京）股份有限公司 取11a=，则213l g1o24121,1,2anaaaaa=+=.此时，数列 na为常值数列 1，亦为纯周期数列；取12a=
22、，则12341,12naaaaa=，此时，数列 na的通项2,1;1,2nnan=为混周期数列；取13a=，则2 12loglog 3123413 122123,322anaaaaa=+=+=+=，此时，数列 na为常值数列 3，亦为纯周期数列；取14a=，则122342,1,122naaaaaa=，此时，数列 na的通项4,1;2,2;1,3.nnann=为混周期数列；取15a=，则2 1log21223412226,3,322anaaaaaa=+=+=，此时，数列 na的通项5,1;6,2;3,3.nnann=为混周期数列；取16a=，则222loglog 31223413 13,223,
23、3222anaaaaaa=+=+=，此时，数列 na的通项6,1;3,2.nnan=为混周期数列；取17a=，则2 12loglog 7212417 122327,722anaaaa=+=+=+=，此时，数列 na为常值数列 7，为纯周期数列.根据上述计算，得出猜想：当()*121kak=N时，数列 na为常值数列（亦为纯周期数列）()*21.kkN 下面进行验证：当121ka=时，()22 1log21log1112121 1222122122kkakkkaa=+=+=+=，()*3421knaaak=N 此时，数列 na的每一项均为21k，该数列此时为常值数列，亦为纯周期数列.学科网（北京
24、）股份有限公司（3）首先，根据（2）的分析，发现当()*121kak=N时，数列 na为常值数列（亦为纯周期 数列()*)21kkN，满足题意；接下来，证明：当()*121kakN时，也存在mn，使得21mna=.1121=，只需要证明数列 na中始终存在值为 1 的项即可.当()*12kak=N时，显然存在值为 1 的项；当()()1*12,21kkak+N时，有122aa=或2 1log12122aaa=+.（i）若1a为偶数，则122aa=；（ii）若1a为奇数，则()122 11log21log112121 12.2212222kkakkkaa+=+=+=()11122222,2kkk
25、kaaa+所以，无论1a为奇数还是偶数，均有122ka+；特别的，当1a为奇数时，()122,2kka+且12aa 类似的，可得：无论2a为奇数还是偶数，均有132ka+；特别的，当2a为奇数时，()132,2kka+且(1123221kaaaa+=取等).所以，无论1a为奇数还是偶数，均有12kna+；若()()12,22kknar+，则na恒为奇数且1234naaaaa 12(21ka+=取等)于是，假设数列 na的()*121kakN且()()12,22kknan，所以，na恒为奇数且11232(21knaaaa+=取等).由于()12,2kk+中仅有有限个正整数，故数列 na从某项起恒为常数121k 学科网（北京）股份有限公司 设ia为第一个值为121k+的项，而21log111112222iakiiaaa=+=+，故，11111221212kkkiiiaaa+=+=，这与“ia是第一个值为121k+的项”相矛盾，所以，数列 na除第一项外，还存在不属于区间()12,2kk+的项.假设这些不属于区间()12,2kk+的项全部属于区间()12,2kk，那么也会出现类似的矛盾，所以，数列 na除第一项外，存在不属于区间()12,2kk+和()12,2kk的项.
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