1、专题训练(四) 巧用抛物线的对称性解题 类型一 利用抛物线的对称性求对称轴或点的坐标1二次函数的图象与 x 轴的交点坐标分别为(2，0) 和(4，0)，则该二次函数图象的对称轴是直线( )Ax1 Bx1Cx2 Dx22已知抛物线 yax 2bxc 的对称轴为直线 x2，且经过点 P(3，0)，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为( )A(1，0) B(0，0)C(1，0) D(3，0)3抛物线 yax 2bxc 经过点 A(2，7)，B(6，7) ，C(3，8)，求该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标 类型二 利用抛物线的对称性比较函数值的大小4已知(1，y 1)，( 2，y 2)，(4，y
2、3)是抛物线 y2x 28xm 上的点，则( )Ay 1y2y3 By 3y2y1Cy 3y1y2 Dy 2y3y15若二次函数 yx 26xc 的图象经过 A(1，y 1)，B(2，y 2)，C(3 ，y 3)三点，2则 y1，y 2，y 3 从大到小排列是_ 类型三 利用抛物线的对称性求代数式的值6已知 P(a，m)，Q(b ，m)是抛物线 y2x 24x3 上的两个不同的点，则ab_ 7当 xm 或 xn(mn)时，代数式 x22x3 的值相等，则当 xmn 时，代数式 x22x3 的值为_ 类型四 利用抛物线的对称性确定自变量的取值范围8二次函数 yax 2bxc 中 x，y 的部分对
3、应值如下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 0 4 6 6 4 0 6则当 y0 时，x 的取值范围为_9二次函数 y(x1) 21，当 2y5 时，相应 x 的取值范围为_ 类型五 利用抛物线的对称性求面积10如图 4ZT1，O 的半径为 2，C 1 是函数 y2x 2 的图象，C 2 是函数 y2x 2的图象，则图中阴影部分的面积为_图 4ZT111已知二次函数 y2x 2m(m 为常数) (1)若点(2 ，y 1)与(3，y 2)在此二次函数的图象上，则 y1_y2(填“” “”或“”) ；(2)如图 4ZT2，此二次函数的图象经过点(0 ，4)，正方形 ABCD 的顶点 A，
4、B 在抛物线上，顶点 C，D 在 x 轴上，求图中阴影部分的面积图 4ZT2 类型六 巧用抛物线的对称性求二次函数的表达式12已知二次函数 y 有最大值 4，且图象与 x 轴两交点间的距离是 8，对称轴为直线x3，则此二次函数的表达式为_13已知二次函数的图象与 x 轴的两个交点 A，B 关于直线 x1 对称，且 AB6，顶点在函数 y2x 的图象上，则这个二次函数的表达式为_14二次函数的图象经过点 A(0，0) ，B(12，0)，且顶点 P 到 x 轴的距离为 3，求该二次函数的表达式 类型七 利用对称性解决线段和最短问题15已知二次函数 yax 2bx6 的图象与 x 轴交于 A， B
5、两点(点 A 在点 B 的左侧) ，与 y 轴交于点 C，点 A，B 的横坐标是一元二次方程 x2 4x120 的两个根(1)请直接写出点 A、点 B 的坐标(2)请求出该二次函数的表达式及图象的对称轴和顶点坐标(3)如图 4ZT3，在二次函数图象的对称轴上是否存在点 P，使APC 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由图 4ZT316如图 4ZT4，已知抛物线 yax 2bxc 的对称轴为直线 x1，且经过A(1，0)，C(0， 3)两点，它与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线 ymxn 经过 B，C 两点，求直线 BC 和抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴
6、 x1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴直线 x1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的坐标图 4ZT4详解详析1解析 B 二次函数的图象与 x 轴的交点坐标分别为(2 ，0)和(4，0) ，图象的对称轴是直线 x 1.故选 B.2 （ 4）22解析 C 由于抛物线的对称轴为直线 x2，而点 P(3，0)位于 x 轴上，设抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为( m，0)，根据题意得 2，解得 m1，则抛物线与 x 轴m 32的另一个交点的坐标为(1，0)，故选 C.3解：由点 A(2，7) ，B
7、(6，7)的纵坐标相同，可知点 A，B 关于抛物线的对称轴对称，且对称轴方程为 x 2.设该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标为(x 2，8)， 2 62则有 2 ，从而得 x2 1，故该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标为(1 ，8)3 x224解析 C 抛物线 y2x 28xm 的对称轴为直线 x2，且开口向下，当x2 时 y 取得最大值41，且4 到2 的距离大于1 到2 的距离，根据抛物线的对称性，知y3y 1.y 3y 1y 2.故选 C.5答案 y1y 3y 26答案 2解析 已知点 P(a，m)和 Q(b，m )是抛物线 y2x 24x3 上的两个不同的点，因为点P(a， m)和
8、 Q(b，m)的纵坐标相等，所以它们关于抛物线的对称轴对称，而抛物线y2x 24x3 的对称轴为直线 x1，故 ab2.故答案为2.7答案 3解析 设 yx 22x3，当 xm 或 xn(mn)时，代数式 x22x 3 的值相等， ，mn2，当 xmn，即 x2 时，x 22x32 22233.m n2 221故答案为 3.8答案 2x 39答案 1x 0 或 2x3解析 当 y2 时，(x 1) 212，解得 x0 或 x2；当 y5 时，(x1) 215，解得 x3 或 x1，又抛物线的对称轴为直线 x1， 1x0 或 2x 3.10答案 2解析 利用图形的对称性可知图中阴影部分的面积为半
9、圆面积O 的半径为 2，图中阴影部分的面积为 2 22.1211解：(1)y2x 2m，图象开口向上，对称轴为直线 x0，则当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，y 1y 2，故答案为：.(2)二次函数的图象经过点(0 ，4)，将(0，4) 代入 y2x 2m 可得 m4，二次函数的表达式为 y2x 24.设 AB 与 y 轴交于点 E，四边形 ABCD 为正方形，ABx 轴由抛物线的对称性知 AEEB，BC2OC.设点 C 的坐标为(p，0)(p0) ，则点 B 的坐标为(p，2p)，将(p，2p) 代入二次函数表达式，得 2p2p 24，解得 p 1(舍去)或 p2，点 B 的坐标为(2
10、，4) ，BC4.由图形的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，S 阴影 S 正方形 ABCD BC2 168.12 12 1212答案 y x2 x14 32 74解析 该函数图象与 x 轴两交点间的距离是 8，对称轴为直线 x3，二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标分别是(7，0) ，(1，0)，故设该二次函数的表达式为 ya(x7)(x1)把顶点坐标(3，4)代入，得 4a(37)(31) ，解得 a .14则该二次函数的表达式为 y (x7)(x1)，即 y x2 x .14 14 32 7413答案 y x2 x29 49 169解析 对称轴为直线 x 1，且图象与 x 轴交于
11、 A，B 两点，AB6，直线与 x 轴交于( 4，0)， (2，0)，顶点的横坐标为1.顶点在函数 y2x 的图象上，y2(1)2，顶点坐标为(1，2)设二次函数的表达式为 ya(x1) 22，把(2，0)代入，得 09a2，解得 a .29y (x1) 2 2 x2 x .29 29 49 16914解：A，B 两点关于二次函数图象的对称轴对称，二次函数图象的对称轴为直线 x6.顶点 P 到 x 轴的距离为 3，顶点 P 的坐标为(6，3) 或(6，3)当二次函数图象的顶点 P 的坐标为(6，3) 时，设二次函数的表达式为 ya(x6) 23，把 A(0，0) 代入表达式 ，得 a(06)
12、230，解得 a ，112二次函数的表达式为 y (x6) 23，即 y x2x；112 112当二次函数图象的顶点 P 的坐标为(6，3) 时，同理可求得二次函数的表达式为 y (x6) 23，即 y x2x.112 112故二次函数的表达式为 y x2x 或 y x2x.112 11215解：(1)解方程 x24x120 得 x12，x 26，即 A(2，0) ，B(6，0)(2)将 A， B 两点的坐标代入 yax 2bx 6，得 解得4a 2b 6 0，36a 6b 6 0， ) a 12，b 2， )二次函数的表达式为 y x22x 6.12y x22x 6 (x2) 28，12 1
13、2二次函数图象的对称轴为直线 x2，顶点坐标为(2，8)(3)存在如图，作点 C 关于二次函数图象的对称轴的对称点 C，连接 AC，交二次函数图象的对称轴于点 P，此时APC 的周长最小C(0，6)，C(4，6)设直线 AC的表达式为 ykxn，则 解得 2k n 0，4k n 6， ) k 1，n 2， )yx2，当 x2 时，y4，即 P(2，4) 16解：(1)依题意，得 b2a 1，a b c 0，c 3， )解之，得 a 1，b 2，c 3. )抛物线的表达式为 yx 22x 3.抛物线的对称轴为直线 x1，且经过点 A(1，0)，B(3，0) 把 B(3，0) ， C(0，3)分别
14、代入 ymxn，得 解之，得 3m n 0，n 3， ) m 1，n 3. )直线 BC 的表达式为 yx3.(2)点 A，B 关于对称轴对称，点 M 在对称轴上，MAMB，MAMCMBMC.使 MAMC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x1 的交点把 x1 代入 yx 3，得 y2，M(1，2) (3)设 P(1，t)，结合 B(3，0)，C(0，3) ，得 BC218，PB 2(13)2t 24t 2，PC 2(1) 2(t 3) 2t 26t10.若 B 为直角顶点，则 BC2PB 2PC 2，即 184t 2t 26t10，解之，得 t2；若 C 为直角顶点，则 BC2PC 2PB 2，即 18t 26t104t 2，解之，得 t4；若 P 为直角顶点，则 PB2PC 2BC 2，即 4t 2t 26t1018，解之，得 t1 ，t 2 .3 172 3 172综上所述，满足条件的点 P 共有四个，坐标分别为 P1(1，2) ，P 2(1，4)，P3( 1， )，P 4(1， ) 3 172 3 172
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