1、专题训练 (二) 二次函数与几何的综合问题 类型一 二次函数与三角形的结合1如图 6ZT1，直线 l 过 A(4，0)和 B(0，4) 两点，它与二次函数 yax 2 的图象在第一象限内相交于点 P， 若 SAOP ，求二次函数的表达式92图 6ZT12如图 6ZT2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 2bxc 与 x 轴相交于点A(1， 0)和点 B，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x1.(1)求点 C 的坐标( 用含 a 的代数式表示)；(2)连接 AC，BC，若ABC 的面积为 6，求此抛物线的表达式图 6ZT2 类型二 二次函数与平行四边形的结合3如图 6ZT3，四边形
2、 ABCD 是平行四边形，过点 A，C ，D 作抛物线 yax 2bxc，点 A，B ，D 的坐标分别为(2，0)，(3 ，0)，(0 ，4)求抛物线的表达式图 6ZT3 类型三 二次函数与特殊平行四边形的结合4如图 6ZT4，直线 y3x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B ，抛物线 ya(x 2) 2k经过点 A，B，且与 x 轴交于另一点 C，其顶点为 P.(1)求 a，k 的值；(2)抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求点 Q 的坐标；(3)在抛物线及其对称轴上分别取点 M，N ，使以 A，C，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长图
3、 6ZT452017邵阳如图 6ZT5 所示，顶点坐标为( ， )的抛物线 yax 2bxc 过点12 94M(2，0) (1)求抛物线的表达式；(2)点 A 是抛物线与 x 轴的交点 (不与点 M 重合) ，点 B 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是直线yx1 上一点(位于 x 轴下方 )，点 D 是反比例函数 y (k0)图象上一点若以点 A，B，C，Dkx为顶点的四边形是菱形，求 k 的值图 6ZT5 类型四 二次函数与几何变换的综合6如图 6ZT6 所示，已知抛物线 E：y2x 24x， 将其向右平移 2 个单位长度后得到抛物线 F.(1)求抛物线 F 的表达式；(2)设抛物线 F
4、和 x 轴相交于点 O，B(点 B 位于点 O 的右侧) ，顶点为 C，点 A 位于 y 轴的负半轴上，且到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距离的 2 倍，求 AB 所在直线的表达式图 6ZT67已知二次函数 y2x 24xk1.(1)当二次函数的图象与 x 轴有交点时，求 k 的取值范围；(2)若 A(x1，0)与 B(x2，0)是二次函数图象上的两个点 ，且当 xx 1x 2 时，y6，求二次函数的表达式，并在所提供的直角坐标系中画出它的大致图象；(3)在(2)的条件下，将抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线 y xm(m3) 与新图象
5、有两个公共点，且 m 为整数时，求 m 的值12图 6ZT7详解详析1解：设直线 l 的表达式为 ykxb.直线 l 过点 A(4，0) ，B(0，4) ， 4k b 0，b 4， ) k 1，b 4， )yx4.设点 P 的纵坐标为 yP，S AOP ， 4yP ，92 12 92y P ， x4，解得 x ，点 P 的坐标为( ， )94 94 74 74 94把 代入 yax 2，解得 a ，(74， 94) 3649二次函数的表达式为 y x2.36492解：(1)抛物线 yax 2bxc 的对称轴为直线 x1，而抛物线与 x 轴的一个交点 A 的坐标为(1，0)，抛物线与 x 轴的另
6、一个交点 B 的坐标为(3，0)设抛物线的表达式为 ya( x1)(x3)，即 yax 22ax 3a，当 x0 时，y3a，C(0 ，3a)(2)由(1)可得 AB4，OC3a，S ABC ABOC6a， 6a6，解得 a1，12抛物线的表达式为 yx 22x 3.3解：由题意可得点 C 的坐标为 (5，4)把(2，0) ，(0，4)，(5，4)代入 yax 2bxc 中，得 解得0 4a 2b c，4 c，4 25a 5b c， ) a 27，b 107，c 4. )抛物线的表达式为 y x2 x4.27 1074解：(1)直线 y3x3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，A(1，0)
7、 ，B (0，3)又抛物线 ya( x2) 2k 经过点 A(1，0) ，B(0，3)， 解得a k 0，4a k 3， ) a 1，k 1.)即 a，k 的值分别为 1，1.(2)设点 Q 的坐标为 (2，m)，对称轴 x2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE直线 x2 于点 E.在 Rt AQF 中，AQ2AF 2QF 21m 2.在 Rt BQE 中，BQ2BE 2EQ 24(3m) 2.AQBQ ，1m 24(3m )2，m2.点 Q 的坐标为(2，2)(3)当点 N 在对称轴上时，NC 与 AC 不垂直，AC 应为正方形的对角线又对称轴直线 x2 是线段 AC 的垂直平分线，点
8、M 与顶点 P(2，1)重合，点 N 为点 P 关于 x 轴的对称点，其坐标为(2，1)此时，MFNFAFCF1，且 ACMN，四边形 AMCN 为正方形在 Rt AFN 中，AN ，即正方形的边长为 .AF2 NF2 2 25解：(1)依题意可设抛物线的表达式为 ya(x )2 ，将点 M(2，0)代入可得 a1，抛12 94物线的表达式为 y( x )2 x 2x2.12 94(2)当 y0 时，x 2x 20， 解得 x11，x 22，A(1，0) 当 x0 时，y2，B(0，2)在 Rt OAB 中，OA1，OB2，AB .设直线 yx1 与 y 轴的交点为点 G，易求5G(0，1)，
9、RtAOG 为等腰直角三角形，AGO 45.点 D 是反比例函数 y (k0)图象上kx一点，点 D 只能在第一、三象限 ，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况：此菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如图所示，过点 D 作 DNy 轴于点 N.在 Rt BDN 中 ，DBN AGO45，DNBN ，D( ， 2)102 102 102点 D 在 y 的图象上，k ( 2) .kx 102 102 52 10此菱形以 AB 为对角线，如图所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 yx1 于点 C，交y 的图象于点 D，再分别过点 D，B 作 DEx 轴于点 F，BEy 轴，DE 与 BE 相交
10、于点 E.kx在 Rt BDE 中，同可证AGO DBOBDE45，BEDE.可设点 D 的坐标为(x ，x 2)BE 2DE 2BD 2，BD BE x.2 2四边形 ACBD 是菱形，ADBD x.2在 RtADF 中，AD 2AF 2DF 2，即( x)2(x 1)2(x2) 2，解得 x .252点 D 的坐标为( ， )52 12点 D 在 y 的图象上，k .kx 54综上所述，k 的值为 或 .52 10 546解：(1)方法一：原抛物线 y2x 24x2(x1) 22，其顶点坐标为( 1，2)，向右平移2 个单位长度后抛物线 F 的顶点坐标为(1，2) ，抛物线 F 的表达式为
11、 y2(x1) 22，即 y2x 24x.方法二：当 y0 时，即2x 24x 0，解得 x0 或 x2，原抛物线与 x 轴的交点坐标为(2，0)和(0 ， 0)平移后抛物线 F 与 x 轴的交点坐标为 (0，0)和(2，0) ，抛物线 F 的表达式为 y2x (x2)，即 y2x 24x.方法三：根据抛物线平移之间的关系，可得抛物线 F 的表达式为 y2(x 2) 24(x2)2x 24x.方法四：抛物线 E 与抛物线 F 关于 y 轴对称，抛物线 F 的表达式为 y2( x) 24(x )2x 24x.(2)抛物线 F 的表达式为 y2x 24x 2( x1) 22，顶点 C 的坐标为(1
12、，2)当 y0 时，2x 24x 0，解得 x0 或 x2，点 B 的坐标为(2，0)设点 A 的坐标为(0，y)，且 y0.点 A 到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距离的 2 倍，y22，解得 y4，点 A 的坐标为(0，4) 设 AB 所在直线的表达式为 ykxb.由题意，得 解得b 4，2k b 0， ) k 2，b 4.)AB 所在直线的表达式为 y2x 4.7解：(1)二次函数的图象与 x 轴有交点，b 24ac0，即 4242(k1)0，解得 k3.(2)二次函数 y2x 24x k1 图象的对称轴为直线 x1，x 1x 22(1)2，当 x2 时，y 6，即 2(2) 24( 2)k1 6，解得 k5，二次函数的表达式为 y2x 24x 6，图象如图所示：(3)设(2)中二次函数 y2x 24x6 的图象与 x 轴交于 A， B 两点，即 A(3，0)，B(1，0) 依题意可画出翻折后的图象如图所示：当直线 y xm 经过点 A 时，可得 m ，12 32当直线 y xm 经过点 B 时，可得 m ，12 12根据图象可知，符合题意的 m 的取值范围为 m .12 32m 为整数，m 的值为 0 或 1.
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