1、2017-2018 学年福建省泉州市惠安县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1 （4 分）下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D2 （4 分）下列计算正确的是（ ）A B C D3 （4 分）方程 x216=0 的解是（ ）Ax=4 Bx 1=4，x 2=4 Cx=8 Dx 1=8，x 2=84 （4 分）一元二次方程 x26x6=0 配方后化为（ ）A （x 3） 2=15 B （x3） 2=3 C （x+3） 2=15 D （x+3） 2=35 （4 分）顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是（ ）A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形6 （4 分）若
2、 = ，则 的值为（ ）A1 B C D7 （4 分）如图，已知1=2 ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADE 的是（ ）A B CB=D DC=AED8 （4 分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 56 0 元降为 315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）A560 （1+x） 2=315 B560（1 x） 2=315 C560 （1 2x） 2=315D560 （1x 2）=3159 （4 分）如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，若 CD=2，AC=6，且CDB CBA，则 BC 的值为（ ）A3
3、B2 C6 D1210 （4 分）已知 P=x23x， Q=x5（x 为任意实数） ，则 P、Q 的大小关系为（ ）APQ BP=Q CPQ D无法确定二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 12 （4 分）如果两个相似三角形对应高的比是 3：2，那么它们的面积比是 13 （4 分）如果一个 4 米高的旗杆在太阳光下的影长为 6 米，同它临近的一个建筑物的影长是 24 米，那么这个建筑物的高度是 米14 （4 分）若 x1，x 2 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根，则（x 1+1） （x 2+1）的值是 15 （4
4、分）如图，AD BECF，直线 l1、l 2 与这三条平行线分别交于点A、B 、C 和 D、E、F，若 AB=1，BC=3，DE=2 ，则 DF 的长为 16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，B 的平分线 BE 与 AD 交于点 E，BED的平分线 EF 与 DC 交于点 F，若 AB=9，DF=2FC ，则 BC= （结果保留根号）三、解答题（共 86 分）17 （8 分）计算： + 18 （8 分）先化简，再求值：（1 ） ，其中 a= +119 （8 分）用配 方法解方程： 3x26x+2=020 （8 分）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选
5、定点 B 和 C，使 ABBC ，然后，再选点 E，使 ECBC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D此时如果测得 BD=120 米，DC=60 米，EC=50 米，求两岸间的大致距离 AB21 （8 分）如图，在方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 A 的坐标为 （ 3，5） （1）作出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；（2）以点 A 为位似中心，将ABC 放大到 2 倍得到A 2B2C2，并直接写出点 C2的坐标22 （10 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数
6、a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根23 （10 分）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？24 （13 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2 ，BC=5，BP=1，MPN=90 ，将MPN 绕点 P 从 PB 处开始顺
7、时针方向旋转，PM 交边 AB 于点 E，PN 交边 AD于点 F，当 PE 旋转至 PA 处时，MPN 的旋转随即停止（1）如图 2，在旋转中发现当 PM 经过点 A 时，PN 也经过点 D，求证：ABPPCD ；（2）如图 3，在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设 AE=m，连结 EF，则在旋转过程中，当 m 为何值时，BPE 与PEF 相似25 （13 分）如图，已知一次函数 y=x+7 与正比例函数 y= x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B，过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴动点 P从点 O 出发，沿 OC
8、A 的路线以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动；同时点 R从点 B 出发，以相同的速度向点 O 运动，在运动过程中，过点 R 作直线 lx 轴，交线段 AB 或 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和点 R 都停止运动在运动过程中，设动点 P 的运动时间为 t 秒（t0）（1）求点 A 与点 B 的坐标；（2）若点 P 在线段 OC 上运动，当 t 为何值时，以 A、P 、R 为顶点的三角形的面积为 8？（3）若点 P 线段 CA 上运动，是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由2017-2018 学年福建省泉州市惠安县九年
9、级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1 （4 分）下列根式 是最简二次根式的是（ ）A B C D【解答】解：A、 =2 ，此选项不符合题意；B、 = ，此选项不符合题意；C、 = ，此选项不符合题意；D、 是最简二次根式，此选项符合题意；故选：D2 （4 分）下列计算正确的是（ ）A B C D【解答】解：A、 =3，此选项错误；B、 =2，此选项正确；C、 + =2 ，此选项错误；D、 + = + ，此选项错误故选：B3 （4 分）方程 x216=0 的解是（ ）Ax=4 Bx 1=4，x 2=4 Cx=8 Dx 1=8，x 2=8【解答】解：x
10、 216=0x2 =16，x=4，x 1=4，x 2=4，故选：B4 （4 分）一元二次方程 x26x6=0 配方后化为（ ）A （x 3） 2=15 B （x3） 2=3 C （x+3） 2=15 D （x+3） 2=3【解答】解：方程整理得：x 26x=6，配方得：x 26x+9=15，即（x 3） 2=15，故选：A5 （4 分）顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是（ ）A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形【解答】解：如图，连接 AC、BD，来源:Z。xx。k.ComE 、F、G、H 分别是矩形 ABCD 的 AB、BC、CD、AD 边上的中点，EF=GH= AC，FG=EH= BD（
11、三角形的中位线等于第三边的一半） ，矩形 ABCD 的对角线 AC=BD，EF=GH=FG=EH，四边形 EFGH 是菱形故选：B6 （4 分）若 = ，则 的值为（ ）A1 B C D【解答】解： = ，设 x=3k，y=4k， = = 故选：D7 （4 分）如图，已知1=2 ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADE 的是（ ）A B CB=D DC=AED【解答】解：1=2DAE= BACA，C，D 都可判定ABCADE选项 B 中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：B来源 :学。科。网8 （4 分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由 560 元降为 315 元，已知两次降
12、价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）A560 （1+x） 2=315 B560（1 x） 2=315 C560 （1 2x） 2=315D560 （1x 2）=315【解答】解：设每次降价的百分率为 x，由题意得：560（1x） 2=315，故选：B9 （4 分）如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，若 CD=2，AC=6，且CDB CBA，则 BC 的值为（ ）A3 B2 C6 D12【解答】解：CDB CBA，CD：CB=CB ：CA ，BC 2=CDCA=26=12BC=2 ，故选：B10 （4 分）已知 P=x23x， Q=x5（x
13、 为任意实数） ，则 P、Q 的大小关系为（ ）APQ BP=Q CPQ D无法确定【解答】解：PQ=x 23xx+5=x24x+5=（ x2） 2+11PQ故选：A二 、填空题（每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x3 【解答】解：代数式 在实数范围内有意义，x30，解得：x3，x 的取值范围是：x3故答案为：x312 （4 分）如果两个相似三角形对应高的比是 3：2，那么它们的面积比是 9：4 【解答】解：两个相似三角形对应高的比是 3：2，它们的相似比是 3：2，它们的面积比是 9：4故答案为：9：413 （4 分）如果一个 4
14、 米高的旗杆在太阳光 下的影长为 6 米，同它临近的一个建筑物的影长是 24 米，那么这个建筑物的高度是 16 米【解答】解：设建筑物的高为 h 米，由题意可得：则 4：6=h：24，解得：h=16（米） 故答案为：1614 （4 分）若 x1，x 2 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根，则（x 1+1） （x 2+1）的值是 2 【解答】解：x 1，x 2 是一元二次方程 x2+2x1=0 的两个根，x 1+x2=2，x 1x2=1，（x 1+1） （x 2+1）=x 1x2+x1+x2+1=1+（ 2）+1= 2，故答案为：215 （4 分）如图，AD BECF，直线 l1、l 2
15、 与这三条平行线分别交于点A、B 、C 和 D、E、F，若 AB=1，BC=3，DE=2 ，则 DF 的长为 8 【解答】解：AD BECF， ， ，EF=6，DF=EF +DE=8，故答案为：8；16 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，B 的平分线 BE 与 AD 交于点 E，BED的平分线 EF 与 DC 交于点 F，若 AB=9，DF =2FC，则 BC= （结果保留根号）【解答】解：延长 EF 和 BC，交于点 G矩形 ABCD 中，B 的角平分线 BE 与 AD 交于点 E，ABE=AEB=45 ，AB=AE=9，直角三角形 ABE 中，BE= = ，又BED 的角平分线 EF
16、与 DC 交于点 F，BEG=DEFADBCG=DEFBEG=GBG=BE=由G=DEF，EFD=GFC，可得EFDGFC设 CG=x，DE=2x，则 AD=9+2x=BCBG=BC+CG =9+2x+x解得 x=BC=9+2（ 3）=故答案为：三、解答题（共 86 分）17 （8 分）计算： + 【解答】解：原式=4+ =4+2 3=418 （8 分）先化简，再求值：（1 ） ，其中 a= +1【解答】解：原式= = = ， 来源:学科网当 a= +1 时，原式= = = 19 （8 分）用配方法解方程：3x 26x+2=0【解答】解：移项，得3x26x=2，二次项系数化为 1，得x22x=
17、 ，配方，得（x1） 2= ，开方，得x1= ，x 2= 20 （8 分）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选定点 B 和 C，使 ABBC ，然后，再选点 E，使 ECBC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D此时如果测得 BD=120 米，DC=60 米，EC=50 米，求两岸间的大致距离 AB【解答】解：ADB=EDC ，ABC= ECD=90，ABD ECD， ， ，解得= （米） 答：两岸间的大致距离为 100 米21 （8 分）如图，在方格纸中每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 A
18、的坐标为 （ 3，5） （1）作出ABC 关于 y 轴对称的A 1B1C1；（2）以点 A 为位似中心，将ABC 放大到 2 倍得到A 2B2C2，并直接写出点 C2的坐标【解答】解：（1）如图所示，A 1B1C1 即为所求；（2）如图所示，A 2B2C2 即为所求，点 C2 的坐标为（1，3） 22 （10 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根【解答】解：（1）b 24ac=（2） 241（a 2）=124a0，解得：a3a 的取值范围是 a3；（2）设方程的另一
19、根为 x1，由根与系数的关系得：，解得： ，则 a 的值是1，该方程的另一根为 323 （10 分）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 2x 件，每件商品盈利 （50x） 元（用含 x 的代数式表示） ；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？【解答】解：（1） 降价 1 元，可多售出 2 件，降价 x 元，可多售出 2x 件，盈利的钱数=50x，故答案
20、为 2x；50 x；（2）由题意得：（50x） （30+2x ）=2100 （0x 50）化简得：x 235x+300=0，即（x 15） （x 20）=0，解得：x 1=15， x2=20该商场为了尽快减少库存，降的越多，越吸引顾客，选 x=20，答：每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2100 元24 （13 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2 ，BC=5，BP=1，MPN=90 ，将MPN 绕点 P 从 PB 处开始顺时针方向旋转，PM 交边 AB 于点 E，PN 交边 AD于点 F，当 PE 旋转至 PA 处时，MPN 的旋转随即停止（1）如图 2，在旋转中发现当 PM
21、经过点 A 时，PN 也经过点 D，求证：ABPPCD ；（2）如图 3，在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）设 AE=m，连结 EF，则在旋转过程中，当 m 为何值时，BPE 与PEF 相似【解答】解：（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，B= C=90，BAP+BPA=90，MPN=90，CPD+BPA=90 ，BAP=CPD，ABPPC D； （2） 的值为定值如图，过点 F 作 FGBC 于 G，FGP=90 ，FGP= B ，PFG +FPG=90 ，易知四边形 ABGF 是矩形，FG=AB=2，MPN=90，EPB+FPG=90 ，EPB=
22、FPG，EBPPGF， = = ， 的值是定值，该定值为 ；（3）AE=m，BE=2m，当 时，B= EPF=90，BPEPFE， 来源: 学科网 ， ，m= ；当 时，B= EPF=90，BPEPEF， ， ，m=0，综上，当 m=0 或 时，BPE 与PEF 相似25 （13 分）如图，已知一次函数 y=x+7 与正比例函数 y= x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B，过点 A 作 ACy 轴于点 C，过点 B 作直线 ly 轴动点 P从点 O 出发，沿 OCA 的路线以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动；同时点 R从点 B 出发，以相同的速度向点 O 运动，在运动过程中，过点
23、R 作直线 lx 轴，交线段 AB 或 AO 于点 Q当点 P 到达点 A 时，点 P 和点 R 都停止运动在运动过程中，设动点 P 的运动时间为 t 秒（t0）（1）求点 A 与点 B 的坐标；（2）若点 P 在线段 OC 上运动，当 t 为何值时，以 A、P 、R 为顶点的三角形的面积为 8？（3）若点 P 线段 CA 上运动，是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）一次函数 y=x+7 与正比例函数 y= x 的图象交于点 A，且与 x 轴交于点 B ，解得： ，A 点坐标为：（3，4） ；y= x+7=0，解得：
24、x=7，B 点坐标为：（7，0） （2）当 P 在 OC 上运动时，0t4 时，PO=t ，PC=4 t，BR=t ，OR=7 t，当以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8，S 梯形 ACOBSACP SPOR S ARB=8， （AC+BO）CO ACCP PORO AMBR=8，（AC+BO）CO ACCPPOROAMBR=16，（3+7）43（4 t） t（7t）4t=16，t 28t+12=0，来源: 学,科,网解得：t 1=2，t 2=6（舍去） ，当 t=4 时，无法构成三角形，当 4t7 时，S APR = APOC=2（7 t）=8 ，解得 t=3，不符合 4t 7；综上所
25、述，当 t=2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为 8；存在延长 CA 到直线 l 交于一点 D，当 l 与 AB 相交于 Q，一次函 数 y=x+7 与 x 轴交于（7，0）点，与 y 轴交于（0，7）点，NO=OB，OBN=ONB=45，直线 ly 轴，RQ=RB，CDL，当 0t4 时，如图 1，RB=OP=QR=t， DQ =AD=（4t） ，AC=3，PC=4t，以 A、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则 AP=AQ，AC 2+PC2=AP2=AQ2=2AD2，9+（4t ） 2=2（4t ） 2，解得：t 1=1，t 2=7（舍去） ，当 AP=PQ 时 32+（4t
26、） 2=（7 t） 2，解得 t=4 （舍去）当 PQ=AQ 时， 2（4t） 2=（7t） 2，解得 t1=1+3 （舍去） ，t 2=13 （舍去） ，当 t=4 时，无法构成三角形，当 4t7 时，如图（备用图） ，过 A 作 ADOB 于 D，则 AD=BD=4，设直线 l 交 AC 于 E，则 QEAC，AE=RD=t 4，AP=7t，由 cosOAC= = ，得 AQ= （t4） ，若 AQ=AP，则 （t 4）=7 t，解得 t= ，当 AQ=PQ 时， AE=PE， 即 AE= AP，得 t4= （7t） ，解得：t=5，当 AP=PQ 时，过 P 作 PFAQ 于 F，AF= AQ= （t4） ，在 RtAPF 中，由 cosPAF= = ，得 AF= AP，即 （t 4）= （7t） ，解得：t= 综上所述，当 t=1、5、 、 秒时，存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形
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