1、第12讲 实数及其运算,总纲目录,泰安考情分析,基础知识过关,知识点一 二次函数的定义 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a0) 的函数叫做二次函数,其中x是自变量,a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示 二次函数的一般形式的结构分析:(1)含自变量的代数式,是整式;(2)自变量x的最高次数为2;(3)二次项系数a0.,知识点二 二次函数的图象和性质,1.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质,2.二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象与性质,知识点三 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图 特征与系数a、b、c的关系,知识点四 二次函
2、数图象的平移 1.平移步骤 (1)将二次函数的一般式变形为顶点式y=a(x-h)2+k(a0); (2)保持抛物线的形状不变,依据平移规律,平移顶点坐标(h,k)即 可.,2.平移规律,知识点五 二次函数解析式的求法(必考考点) 1.一般式y=ax2+bx+c(a0) 若已知条件是图象上的三个点的坐标,则设为一般式y=ax2+bx+c (a0),将已知条件代入,求出a、b、c的值,进而得到解析式. 2.顶点式y=a(x-h)2+k(a0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值或最小值,则 设为顶点式y=a(x-h)2+k(a0),将已知条件代入,求出待定系数的 值,进而得到解析式.,3
3、.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0) 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设为交点式y=a (x-x1)(x-x2)(a0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a的值,进而得到解析式.,知识点六 二次函数的实际应用(高频考点,复习重点,难点) 1.实际应用的类型 (1)涉及拱桥、隧道、投篮等问题,一般情况下用待定系数法设二 次函数的顶点式解答. (2)涉及利润增长(或下降)等问题,一般情况下设总利润为y,根据 总利润y=单位利润销售数量列函数关系式,求得函数最值. (3)涉及图形面积问题,以三角形为例,可设三角形的底边长为自 变量x,面积为函数S,根据三角形面积公
4、式列函数关系式进而求解 实际问题.,2.解答的一般步骤 (1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系; (2)列出函数关系式,并确定自变量的取值范围; (3)应用二次函数的图象及性质解决实际问题; (4)检验结果的合理性,看其是否符合实际意义.,3.二次函数与几何知识的综合应用 二次函数与几何知识的综合应用题型非常广泛,常见的类型有存 在性问题,动点问题,动手操作问题,关联知识点有方程,函数,三角 形,相似,四边形等,解决这类综合题,关键是分析题目中隐含的数 形结合思想,转化与化归思想,方程思想等建立数学模型,具体策 略如下: (1)存在性问题注意灵活运用数形结合思想,可以先假设存在,借
5、 助条件求解.(2)动点问题通常利用数形结合,分类和化归思想,借助于图形,把握图形运动的全过程,选取特殊点作为研究的突破口,建立函数或者方程模型求解.,泰安考点聚焦,考点一 二次函数的图象和性质 中考解题指导 常考题型归纳如下: 题型一:确定二次函数图象上点的坐标 题型二:确定二次函数图象的最值和对称轴 题型三:根据二次函数的性质比较函数值的大小 题型四:二次函数的图象和性质的综合考查 考向1 二次函数的图象及性质,例1 (2017泰安)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的y与x的部分对应值如下表:,有下列结论:抛物线的开口向下;其图象的对称轴为x=1; 当x1时,函数值y随x的增大而增
6、大;方程ax2+bx+c=0(a0)有 一个根大于4,其中正确的结论有( B ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析 由题表可知,二次函数y=ax2+bx+c(a0)有最大值,当x= = 时,函数取得最大值,抛物线的开口向下,故正确;其图 象的对称轴是直线x= ,故错误;当x4时,y随x的增大而减小,即小球与O点的水平距离超过4米 后呈下降趋势,B正确,不符合题意;,解得 则小球落地点与O点的水平距离为7米,C正确,不符合题意; 斜坡可以用一次函数y= x刻画, 斜坡的坡度为12,D正确,不符合题意; 故选A.,变式1-2 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)中的
7、x与y的 部分对应值如下表:,有下列结论: ac1时,y随x的增大而减小, 3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根; 当-10. 其中正确的个数为 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1,考向2 比较函数值的大小 例2,二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1y2,解析 二次函数y=-x2+bx+c图象的对称轴为x=1,且开口向下,x1 y1.,变式2-1 (2017连云港)已知抛物线y=ax2(a0)过A(-2,y1),B(-1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是 ( C ) A.y10y2 B.y20y1 C.y1
8、y20 D.y2y10,解析 抛物线y=ax2(a0)的对称轴为x=0,且开口向上,-2y20.,考向3 二次函数的图象与系数的关系,例3 (2018滨州)如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的对称 轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(-1,0),则 二次函数的最大值为a+b+c; a-b+c0时,-1x0,故错误; 图象的对称轴为x=1,与x轴交于点A、点B(-1,0),A(3,0), 故当y0时,-1x0,根据对称轴在y轴的 左侧,得b0,反比例在第一、三象限,一次函数图象过第一、 二、三象限,故选C.,考点二 二次函数图象的平移 例4 将抛物线y=2(x-1)2
9、+2向左平移3个单位,再向下平移4个单 位,那么得到的抛物线的解析式为 y=2(x+2)2-2 .,解析 根据抛物线的平移规律知,将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位得到的抛物线的解析式为 y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.,变式4-1 抛物线y=x2+4x+1可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平 移过程正确的是 ( B ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,解析 抛物线y=x2+4x+1可转化为y=(x
10、+2)2-3,把抛物线y=x2先向左平移2个单位,再向下平移3个单位即可得到抛物线y=(x+2)2-3,故选B.,考点三 待定系数法求二次函数表达式 例5 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标 为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E、B,求该抛物线的解析式.,解析 设抛物线解析式为y=a(x-2)2+9, 抛物线与y轴交于点A(0,5), 4a+9=5,a=-1, y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.,变式5-1 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2(a0)过B (-2,6),C(2,2)两点.试求抛物线的解析式.,解析 由题意得
11、解得 抛物线的解析式为y= x2-x+2.,考点四 函数与方程(组)、不等式的关系 例6 若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为 ( C ) A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1,解析 二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0), 方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1, 易知抛物线的对称轴为直线x=1, 二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0), 方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.,变式6-1,二次函数y=
12、x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1.若方程x2+bx-t=0 (t为实数)在-1x4上有解,则t的取值范围是 ( C ) A.t-1 B.-1t3 C.-1t8 D.3t8,解析 抛物线的对称轴为x=1, - =1,b=-2,二次函数的解析式为y=x2-2x,即y=(x-1)2-1, 方程x2+bx-t=0在-1x4上有解, 等解y=x2-2x的图象与y=t的图象在-1x4时有交点, 由y=x2-2x(-1x4)得-1y8,即-1t8.,考点五 二次函数的应用 例7 (2018滨州)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出, 小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行 高
13、度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+2 0x,请根据要求解答下列问题. (1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行时间是多少? (2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少? (3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?,解析 (1)当y=15时, 15=-5x2+20x, 解得x1=1,x2=3, 答:在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行时间是1 s或3s. (2)当y=0时, 0=-5x2+20x, 解得x3=0,x4=4, 4-0=4, 在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是4 s.,(3)y=-5x2+20
14、x=-5(x-2)2+20, 当x=2时,y取得最大值,此时y=20. 答:在飞行过程中,小球飞行高度在第2 s时最大,最大高度是20 m.,变式7-1 (2017济宁)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)的关系为y=-x+60(30x60).设这种双肩包每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式; (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最 大销售利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不得高于42元,该商 店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销
15、售单价应定 为多少元?,解析 (1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+90x-1 800. w与x之间的函数关系式为w=-x2+90x-1 800(30x60). (2)w=-x2+90x-1 800=-(x-45)2+225. -142,x2=50不符合题意,舍去.,答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单 价应定为40元.,一、选择题 1.抛物线y=2x2-2 x+1与坐标轴的交点个数是 ( C ) A.0 B.1 C.2 D.3,随堂巩固训练,2.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度, 然后绕原点旋转180得到抛物线y=x2+5
16、x+6,则原抛物线的解析式 是 ( A ) A.y=- - B.y=- - C.y=- - D.y=- +,3.(2018河北)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0x3)与直 线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果 是 c=1,乙的结果是c=3或4,则 ( D ) A.甲的结果正确 B.乙的结果正确 C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确,二、填空题 4.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点, 则c的值为 .,解析 将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中, 得4x=3x2+c,即3x2
17、-4x+c=0. 两函数图象只有一个交点, 方程3x2-4x+c=0有两个相等的实数根, =(-4)2-43c=0,解得c= .,5.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,且关于x的一元二 次方程-x2+2x+k=0的一个解为x1=3,则另一个解为x2= -1 .,解析 因为二次函数图象为轴对称图形,根据图象,以x=1为对称 轴,与x轴的一个交点坐标为(3,0),所以另一个交点坐标为(-1,0),所以x2=-1.,6.(2017日照)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=2,与 x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,有下列结论:,抛物线过原点; 4a
18、+b+c=0; a-b+c0; 抛物线的顶点坐标为(2,b); 当x0,故结论错误; 当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,抛物线的顶点 坐标为(2,b),故结论正确;,观察函数图象可知,当x2时,y随x增大而减小,故结论错误. 综上所述,正确的结论是.,三、解答题 7.(2018江西)某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植 某品种蜜柚.到了收获季节,已知该蜜柚的成本价为8元/千克,投入 市场销售时,调查市场行情,发现该蜜柚销售不会亏本,且每天销 售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示. (1)求y与x的函数关系式,并写出x的取
19、值范围; (2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大?最大 利润是多少? (3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克,该品种蜜柚的保质期为40 天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批蜜 柚?请说明理由.,解析 (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k0), 将(10,200)和(15,150)代入,得解得 y与x的函数关系式为y=-10x+300. 由-10x+3000,得x30, x的取值范围为8x30. (2)设该品种蜜柚定价为x元/千克时,每天销售获得的利润为W元, 依题意,得W=(x-8)(-10x+300)=-10(x-19)2+1 210, -10
20、0,当x=19时,W最大值=1 210.,因此,该品种蜜柚定价为19元/千克时,每天销售获得的利润最大, 最大利润为1 210 元. (3)不能. 理由:按(2)中每天获得最大利润的方式销售, 由(1)得y=-1019+300=110, 11040=4 4004 800, 该农户不能销售完这批蜜柚.,8.某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每 千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元,不低于每 千克30元.经市场调查发现:日销售量y(千克)是销售单价x(元)的 一次函数,且当x=60时,y=80;当x=50时,y=100.在销售过程中,每天 还要支付其他费用450元. (1)求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函 数关系式; (3)当销售单价为多少元时,该公司日获利最大?最大获利是多少 元?,解析 (1)设y=kx+b(k0,30x60),根据题意得 解 得 y=-2x+200(30x60). (2)w=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6 450=-2(x-65)2+2 000. (3)w=-2(x-65)2+2 000, 30x60,当x=60时,w有最大值,为1 950元,当销售单价为 60元时,该公司日获利最大,为1 950元.,
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