1、第 12 讲 二次函数A组 基础题组一、选择题1.(2018陕西)对于抛物线 y=ax2+(2a-1)x+a-3,当 x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.(2018威海)抛物线 y=ax2+bx+c(a0)如图所示,下列结论错误的是( )A.abc4ac D.2a+b03.(2017甘肃兰州)将抛物线 y=3x2-3向右平移 3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为( )A.y=3(x-3)2-3 B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-64.如图,一次函数 y1=kx+n(k0)与二次函数 y2=ax2+bx+
2、c(a0)的图象相交于 A(-1,5),B(9,2)两点,则关于 x的不等式 kx+nax 2+bx+c的解集为( )A.-1x9 B.-1x1)的图象与 x轴交点的判断,正确的是( )A.没有交点B.有一个交点,且它位于 y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于 y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于 y轴右侧2.(2018枣庄)下图是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线 x=1,下列结论正确的是( )A.b20C.2a-b=0 D.a-b+c=03.(2018潍坊)已知二次函数 y=-(x-h)2(h为常数),当自变量 x的值满足 2x5 时
3、,与其对应的函数值 y的最大值为-1,则 h的值为( )A.3或 6 B.1或 6 C.1或 3 D.4或 64.(2018菏泽)已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数 y=bx+a与反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象大+致是( )二、填空题5.(2017青岛)若抛物线 y=x2-6x+m与 x轴没有交点,则 m的取值范围是 . 6.(2018淄博)已知抛物线 y=x2+2x-3与 x轴交于 A,B两点(点 A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移 m(m0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于 C,D两点(点 C在点 D的左侧),若 B,C是线段 AD的三等分点,
4、则 m的值为 . 三、解答题7.(2017广东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=-x2+ax+b交 x轴于 A(1,0),B(3,0)两点,点 P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与 y轴相交于点 C.(1)求抛物线 y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点 P是线段 BC的中点时,求点 P的坐标;(3)在(2)的条件下,求 sinOCB 的值.8.(2018陕西)已知抛物线 L:y=x2+x-6与 x轴相交于 A、B 两点(点 A在点 B的左侧),并与 y轴相交于点 C.(1)求 A、B、C 三点的坐标,并求ABC 的面积;(2)将抛物线 L向左或向右平移,得到抛物线 L,且 L与
5、 x轴相交于A、B两点(点 A在点 B的左侧),并与 y轴相交于点 C,要使ABC和ABC 的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.向上发射一枚炮弹,经 x秒后的高度为 y千米,且时间与高度的关系为 y=ax2+bx.若此炮弹在第 7秒与第 14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的 ( )A.第 9.5秒 B.第 10秒C.第 10.5秒 D.第 11秒2.烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 h=- t2+12t+30,若这种礼炮在32升空到最高点时引爆,则从点火升空
6、到引爆需要的时间为( )A.3 s B.4 s C.5 s D.6 s3.二次函数 y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分如图所示,x=-1 是对称轴,下列结论: y2;将抛物线沿 x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为 y=a(x2-9).其中正确的是( )A. B.C. D.二、填空题4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度 t/ -4 -2 0 1 4植物高度增长量l/mm41 49 49 46 25科学家经过猜想并推测出 l与 t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这
7、种植物生长的温度为 . 5.如图,直线 y=mx+n与抛物线 y=ax2+bx+c交于 A(-1,p),B(4,q)两点,则关于 x的不等式 mx+nax2+bx+c的解集是 . 三、解答题6.旅游公司在景区内配置了 50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金 x(元)是 5的倍数.发现每天的运营规律如下:当 x不超过 100元时,观光车能全部租出;当 x超过 100元时,每辆车的日租金每增加 5元,租出去的观光车就会减少 1辆.已知所有观光车每天的管理费是 1 100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为
8、多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?7.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是 200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是 400元/台时,可售出 200台,且售价每降低 10元/台,就可多售出 50台.供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300元/台,代理销售商每月要完成不低于 450台的销售任务.(1)试确定月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式;(2)求售价 x的范围;(3)当售价 x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种
9、空气净化器所获得的利润 w(元)最大?最大利润是多少?8.如图,直线 y=x+2与抛物线 y=ax2+bx+6(a0)相交于 A 和(12,52)B(4,m)两点,点 P是线段 AB上异于 A、B 的动点,过点 P作 PCx 轴于点 D,交抛物线于点 C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的 P点,使线段 PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.9.如图,直线 y=-x+3与 x轴,y 轴分别交于 B(3,0),C(0,3)两点,抛物线 y=ax2+bx+c过 A(1,0),B,C三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点 M是抛物线在 x轴下方的一个动点,过点
10、M作 MNy 轴交直线 BC于点 N,求线段 MN的最大值;(3)在(2)的条件下,当 MN取得最大值时,在抛物线的对称轴 l上是否存在点 P,使PBN 是以 BN为腰的等腰三角形?若存在,求出点 P的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图,在矩形 OABC中,点 O为原点,点 A的坐标为(0,8),点 C的坐标为(6,0).抛物线 y=- x2+bx+c经过点 A、C,与 AB交于点 D.49(1)求抛物线的函数解析式;(2)点 P为线段 BC上一个动点(不与点 C重合),点 Q为线段 AC上一个动点,AQ=CP,连接 PQ,设 CP=m,CPQ 的面积为 S.求 S关于 m的函数表达式;当
11、 S最大时,在抛物线 y=- x2+bx+c的对称轴 l上是否存在点 F,使49DFQ 为直角三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点 F的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图 1,平面直角坐标系中,二次函数 y=- x2+bx+c的图象与坐标14轴分别交于点 A、B、C,其中点 A(0,8),OB= OA.12(1)求二次函数的表达式;(2)若 OD=OB,点 F为该二次函数在第二象限内图象上的动点,E 为 DF的中点.当CEF 的面积最大时,求出点 E的坐标;如图 2,将CEF 绕点 E旋转 180,C点落在 M处,若 M点恰好在该抛物线上,求出此时CEF 的面积.12.如图,直线 y
12、=-x+2与 x轴交于 B点,与 y轴交于 C点,A 点坐标为(-1,0).(1)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式;(2)在直线 BC上方的抛物线上有一点 D,过 D作 DEBC 于 E,作DFy 轴交 BC于 F,求DEF 周长的最大值;(3)在满足第(2)问的条件下,在线段 BD上是否存在一点 P,使DFP=DBC.若存在,求出点 P的坐标;若不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,直线 y= x+2与 x轴交于点 A,与 y轴12交于点 C.抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴是 x=- 且经过 A、C 两点,与32x轴的另一交点为点 B.(1)求二次函数 y=ax2+b
13、x+c的表达式;(2)若点 P为直线 AC上方的抛物线上的一点,连接 PA,PC,BC.求四边形 PABC面积的最大值,并求出此时点 P的坐标;(3)抛物线上是否存在点 M,过点 M作 MN垂直 x轴于点 N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与ABC 相似?若存在,求出点 M的坐标;若不存在,请说明理由.第 12 讲 二次函数A组 基础题组一、选择题1.C 当 x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得 a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得- 0,2b0,由抛物线与 y轴的交点可知:c0,abc2,4-24a4ac,故 C正确;D.对称轴 x=- 1,=(-2a) 2-4a=4a(a-1)0,a
14、x 2-2ax+1=0有两个不相等的实数根,即函数图象与 x轴有两个交点,x= 0,故选 D.2-4(-1)22.D 抛物线与 x轴有两个交点,b 2-4ac0,即 b24ac,所以 A选项错误;抛物线开口向上,a0,抛物线与 y轴的交点在 x轴下方,c5.当 h5,2x5时,y 随 x的增大而增大,故当 x=5时,y 有最大值,此时-(5-h) 2=-1,解得 h1=6,h2=4(舍去),综上可知 h=1或 6.故选 B.4.B 二次函数 y=ax2+bx+c的图象开口向上,a0,该抛物线对称轴位于 y轴的右侧,a、b 异号,即 b9解析 抛物线 y=x2-6x+m与 x轴没有交点,9.6.
15、答案 2解析 如图,B,C 是线段 AD的三等分点,AC=BC=BD,由题意得:AC=BD=m,当 y=0时,x 2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,A(-3,0),B(1,0),AB=3+1=4,AC=BC=2,m=2,故答案为 2.三、解答题7.解析 (1)把 A(1,0),B(3,0)代入抛物线 y=-x2+ax+b,得 解得0=-1+,0=-9+3+, =4,=-3.抛物线的解析式为 y=-x2+4x-3.(2)当点 P是线段 BC的中点时,易得点 P的横坐标为 ,32当 x= 时,y= ,32 34所以点 P的坐标为 .(32,34)(3)由(2)得点
16、C的坐标为 ,(0,32)OC= ,又 OB=3,32BC= = .2+2352sinOCB= = = .33522558.解析 (1)令 y=0,得 x2+x-6=0,解得 x=-3或 x=2,A(-3,0),B(2,0).AB=5,令 x=0,得 y=-6,C(0,-6),OC=6,S ABC = ABOC= 56=15.12 12(2)由题意得 AB=AB=5.要使 SABC =SABC ,只要抛物线 L与 y轴的交点为 C(0,-6)或C(0,6)即可.设所求抛物线 L:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.抛物线 L与抛物线 L的顶点的纵坐标相同, = , = ,24-24 -24
17、-14 -24-24 -24-14解得 m=7,n=1(n=1舍去).抛物线 L的函数表达式为 y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或 y=x2-x-6.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.C 当 x=7时,y=49a+7b;当 x=14时,y=196a+14b.根据题意得 49a+7b=196a+14b,b=-21a,根据二次函数图象的对称性及抛物线的开口方向,得当 x=- =10.5时,y 最大,即高度最高.2故选 C.2.B 礼炮在升空到最高点时引爆,且二次函数图象的开口向下,高度 h取最大值时,t=- ,2即 t=- =4.122(-32)故选 B.3.D 二次函数的图象开口向下
18、,a0, y2,故正确;设抛物线的解析式为 y=a(x+1)2+k,将抛物线沿 x轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式 y=ax2+k,c=-8a,a+k=-8a,k=-9a,将抛物线沿 x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=ax2-9a,即 y=a(x2-9),故正确.正确结论为.故选 D.二、填空题4.答案 -1解析 设 l=at2+bt+c(a0),将(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程组 =49,+=46,16+4+=25,解得 =-1,=-2,=49,所以 l与 t之间的二次函数解析式为 l=-t2-2t+49,当 t=- =-1时,l 有最大值 50,
19、2即最适合这种植物生长的温度是-1 .5.答案 x4解析 由题图可知,当 x4时,直线 y=mx+n的图象在抛物线y=ax2+bx+c的上方,不等式 mx+nax2+bx+c的解集为 x4.三、解答题6.解析 (1)由题意知,若观光车能全部租出,则 00,解得 x22,x 是 5的倍数,每辆车的日租金至少应为 25元.(2)设每天的净收入为 y元,当 0100时,y2= x-1 100(50-1005 )=50x- x2+20x-1 10015=- x2+70x-1 10015=- (x-175)2+5 025,15当 x=175时,y 2的最大值为 5 025,5 0253 900,故当每辆
20、车的日租金为 175元时,每天的净收入最多,是 5 025元.7.解析 (1)根据题中条件售价每降低 10元/台,月销售量就可多售出 50台,则月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式为 y=200+50,化简得 y=-5x+2 200.400-10(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300元/台,代理销售商每月要完成不低于 450台的销售任务,则 300,-5+2 200450,解得 300x350.所以售价 x的范围为 300x350.(3)w=(x-200)(-5x+2 200),整理得 w=-5(x-320)2+72 000.x=320 在 300x350 内
21、,当 x=320时,w 有最大值,为 72 000,即售价定为 320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w最大,最大利润是 72 000元.8.解析 (1)B(4,m)在直线 y=x+2上,m=6,即 B(4,6),A 和 B(4,6)在抛物线 y=ax2+bx+6上,(12,52) (12)2+12+6=52,16+4+6=6,解得 =2,=-8,抛物线的解析式为 y=2x2-8x+6.(2)存在.设动点 P的坐标为(n,n+2),点 C的坐标为(n,2n 2-8n+6),PC=(n+2)-(2n 2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2 + ,(-94)2498-20,抛物
22、线开口向下,有最大值,当 n= 时 ,线段 PC的长有最大值 .94 4989.解析 (1)由题意将点 A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得 解得+=0,9+3+=0,=3, =1,=-4,=3,抛物线的解析式为 y=x2-4x+3.(2)设点 M的坐标为(m,m 2-4m+3),MNy 轴,点 N的坐标为(m,-m+3).A(1,0),B(3,0)在抛物线上且点 M是抛物线在 x轴下方的一个动点.1m3.线段 MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m=- + ,(-32)294当 m= 时 ,线段 MN取最大值,最大值为 .32 94(3)假设
23、存在.设点 P的坐标为(2,n).当 m= 时,点 N的坐标为 ,32 (32,32)PB= = ,(2-3)2+(-0)2 1+2PN= ,(2-32)2+(-32)2BN= = .(3-32)2+(0-32)2322PBN 以 BN为腰的等腰三角形,分二种情况:当 PB=BN,即 = 时,1+2322解得 n= ,142此时点 P的坐标为 或 .(2,-142) (2,142)当 PN=BN,即 = 时,(2-32)2+(-32)2322解得 n= ,3172此时点 P的坐标为 或 .(2,3-172 ) (2,3+172 )综上可知:在抛物线的对称轴 l上存在点 P,使PBN 是以 BN
24、为腰的等腰三角形,点 P的坐标为 或 或 或(2,-142) (2,142) (2,3-172 ).(2,3+172 )10.解析 (1)将 A、C 两点坐标代入抛物线解析式,得=8,-4936+6+=0,解得 =43,=8,抛物线的解析式为 y=- x2+ x+8.49 43(2)OA=8,OC=6,AC= =10,2+2过点 Q作 QEBC 与 E点,则 sinACB= = = ,35 = ,10-35QE= (10-m),35S= CPQE= m (10-m)=- m2+3m.12 12 35 310S= CPQE= m (10-m)=- m2+3m=- (m-5)2+ ,12 12 3
25、5 310 310 152当 m=5时,S 取最大值;在抛物线对称轴 l上存在点 F,使DFQ 为直角三角形,抛物线 y=- x2+ x+8 的对称轴为 x= ,D的坐标为(3,8),49 43 32Q的坐标为(3,4),当FDQ=90时,F 1 ,(32,8)当FQD=90时,则 F2 ,(32,4)当DFQ=90时,设 F ,(32,)则 FD2+FQ2=DQ2,即 +(8-n)2+ +(n-4)2=16,94 94解得 n=6 ,72F 3 ,F4 ,(32,6+72) (32,6- 72)满足条件的点 F共有四个,分别为F1 ,F2 ,(32,8) (32,4)F3 ,F4 ,6- .
26、(32,6+72) 32 7211.解析 (1)OA=8,OB= OA=4,12B(4,0),y=- x2+bx+c的图象过点 A(0,8),B(4,0),14 -1442+4+=0,=8, 解得 =-1,=8,二次函数的表达式为 y=- x2-x+8.14(2)当 y=0时,- x2-x+8=0,14解得 x1=4,x2=-8,C 点坐标为(-8,0),D 点坐标为(0,4),设直线 CD的解析为 y=kx+d(k0),故 -8+=0,=4, 解得 =12,=4,故直线 DC的解析为 y= x+4.12如图,过点 F作 y轴的平行线交 DC于点 P,设 F点坐标为 ,则 P点坐标为 ,(,-
27、142-+8) (,12+4)则 FP=- m2- m+4,14 32S FCD = FPOC= - m2- m+4 8=-m2-6m+16,12 12 14 32E 为 FD中点, = =- m2-3m+8=- (m+3)2+ , 12 12 12 252当 m=-3时, 有最大值, - m2-m+8=- 9+3+8= ,14 14 354E点纵坐标为 = ,12 (354+4)518F ,(-3,354)E .(-32,518)F 点坐标为 ,(,-142-+8)C点坐标为(-8,0),D 点坐标为(0,4),M ,(+8,-142-+12)又M 点在抛物线上,- (m+8)2-(m+8)
28、+8=- m2-m+12,14 14解得 m=-7,故 =- m2-3m+8= . 12 9212.解析 (1)直线 y=-x+2与 x轴交于 B(2,0),与 y轴交于 C(0,2),设过 A、B、C 的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c(a0),把 A(-1,0),B(2,0),C(0,2)的坐标代入,解得 a=-1,b=1,c=2,抛物线的解析式为 y=-x2+x+2.(2)设 D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2),DF=(-x 2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,所以 x=1时,DF 最大 =1,OB=OC,OBC 为等腰直角三角形,DEBC,DFy 轴,DFE=OC
29、B=45,DEF 为等腰直角三角形,DEF 周长的最大值为 1+ .2(3)存在.如图,当DEF 周长最大时,D(1,2),F(1,1).延长 DF交 x轴于 H,作 PMDF于 M,则 DB= ,DH=2,OH=1,5当DFP=DBC 时,DFPDBF, = ,DP= ,55 = = = ,15PM= ,DM= ,15 25P 点的横坐标为 OH+PM=1+ = ,1565P点的纵坐标为 DH-DM=2- = ,2585P .(65,85)13.解析 (1)对于 y= x+2,当 x=0时,y=2,当 y=0时,x=-4,C(0,2),12A(-4,0),由抛物线的对称性可知:点 A与点 B
30、关于 x=- 对称,点 B的坐标为32(1,0).抛物线 y=ax2+bx+c过 A(-4,0),B(1,0),可设抛物线解析式为 y=a(x+4)(x-1),又抛物线过点 C(0,2),2=-4a,a=- ,12y=- x2- x+2.12 32(2)设 P .(,-122-32+2)过点 P作 PQx 轴交 AC于点 Q,Q ,(,12+2)PQ=- m2- m+2-12 32 (12+2)=- m2-2m,12 = PQ(xC-xA)= PQ4 12 12=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,当 m=-2时,PAC 的面积有最大值 4,易知 SACB = OCAB12= 2512=5.则四边形 PABC面积的最大值是 9,此时 P(-2,3).(3)存在.在 RtAOC 中,tanCAO= ,12在 RtBOC 中,tanBCO= ,12CAO=BCO,BCO+OBC=90,CAO+OBC=90,ACB=90,
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