1、第 18 讲 直角三角形与三角函数A组 基础题组一、选择题1.(2017日照)在 RtABC 中,C=90,AB=13,AC=5,则 sin A的值为( )A. B. C. D.513 1213 512 1252.(2018滨州)在直角三角形中,若勾为 3,股为 4,则弦为 ( )A.5 B.6 C.7 D.83.(2018临沂)如图,利用标杆 BE测量建筑物的高度.已知标杆 BE高1.2 m,测得 AB=1.6 m.BC=12.4 m.则建筑物 CD的高是( )A.9.3 m B.10.5 m C.12.4 m D.14 m4.(2017泰山模拟)直角三角形纸片的两直角边长分别为 6,8,现
2、将ABC如图那样折叠,使点 A与点 B重合,折痕为 DE,则 tanCBE 的值是( )A. B. C. D.247 73 724 135.如图,斜面 AC的坡度(CD 与 AD的比)为 12,AC=3 米,坡顶有旗5杆 BC,旗杆顶端 B点与 A点有一条彩带相连.若 AB=10米,则旗杆 BC的高度为( )A.5米 B.6米C.8米 D.(3+ )米5二、填空题6.如图,在 RtABC 中,C=90,AB=13,AC=7,则 sin B= . 7.(2018泰安模拟)如图,是矗立在泰安岱庙前的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4 米,AB=8 米,MAD=45,MBC=30,则警示牌的高
3、 CD为 米(结果精确到 0.1米,参考数据:1.41, 1.73). 2 38.(2018德州)如图,在 44的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点.ABC 的顶点都在格点上,则BAC 的正弦值是 . 三、解答题9.(2018东营)关于 x的方程 2x2-5xsin A+2=0有两个相等的实数根,其中A 是锐角三角形 ABC的一个内角.(1)求 sin A的值;(2)若关于 y的方程 y2-10y+k2-4k+29=0的两个根恰好是ABC 的两边长,求ABC 的周长.B组 提升题组一、选择题1.如图,在矩形 ABCD中,BC=6,CD=3,将BCD 沿对角线 BD翻折,点 C落在点 C处
4、,BC交 AD于点 E,则线段 DE的长为( )A.3 B.154C.5 D.1522.(2018枣庄)如图,在矩形 ABCD中,点 E是边 BC的中点,AEBD,垂足为 F,则 tanBDE 的值是( )A. B.24 14C. D.13 23二、填空题3.如图,一只蚂蚁沿着棱长为 2的正方体表面从点 A出发,经过 3个面爬到点 B,如果它运动的路径是最短的,则 AC的长为 . 4.如图,在ABC 中,BAC=60,ABC=90,直线 l1l 2l 3,l1与l2之间距离是 1,l2与 l3之间距离是 2.且 l1、l 2、l 3分别经过点A、B、C,则边 AC的长为 . 三、解答题5.如图
5、,在矩形 ABCD中,AB=5,AD=3,点 P是 AB边上一点(不与 A,B重合),连接 CP,过点 P作 PQCP 交 AD边于点 Q,连接 CQ.(1)当CDQCPQ 时,求 AQ的长;(2)取 CQ的中点 M,连接 MD,MP,若 MDMP,求 AQ的长.6.如图,在四边形 ABCD中,ADBC,B=90,AB=8 cm,AD=12 cm,BC=18 cm,点 P从点 A出发以 2 cm/s的速度沿 ADC 运动,点P从点 A出发的同时点 Q从点 C出发,以 1 cm/s的速度向点 B运动,当点 P到达点 C时,点 Q也停止运动.设点 P,Q运动的时间为 t秒.从运动开始,当 t取何值
6、时,PQC 为直角三角形?第 18 讲 直角三角形与三角函数A组 基础题组一、选择题1.B 在 RtABC 中,由勾股定理得 BC= =12,sin A= =2-2.故选 B.12132.A 在直角三角形中,勾为 3,股为 4,弦为 =5.32+42故选 A.3.B EBCD,A=A,ABEACD, = ,即 = ,1.61.6+12.41.2CD=10.5 m.故选 B.4.C 根据题意可知 BE=AE.设 CE=x,则 BE=AE=8-x.在 RtBCE 中,根据勾股定理得 BE2=BC2+CE2,即(8-x) 2=62+x2,解得 x= .74tanCBE= = = .746724故选
7、C.5.A 设 CD=x米,则 AD=2x米,由勾股定理可得,AC= = x米.2+(2)2 5AC=3 米,5 x=3 ,5 5x=3,即 CD=3米,AD=23=6 米.在 RtABD 中,BD= =8米,102-62BC=8-3=5 米.故选 A.二、填空题6.答案 713解析 在 RtABC 中,C=90,AB=13,AC=7,sin B= = .7137.答案 2.9解析 由题意可得:AM=4 米,MAD=45,DM=4 米,AM=4 米,AB=8 米,MB=12 米,MBC=30,BC=2MC,MC 2+MB2=(2MC)2,MC2+122=(2MC)2,MC=4 6.92(米),
8、CD=MC-42.9 米.38.答案 55解析 AB 2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AC 2+BC2=AB2,ABC 为直角三角形,且ACB=90,则 sinBAC= = .55三、解答题9.解析 (1)关于 x的方程 2x2-5xsin A+2=0有两个相等的实数根,=25sin 2A-16=0,sin 2A= ,1625sin A= ,45A 为锐角,sin A= .45(2)由题意知,方程 y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根,则 0,100-4(k 2-4k+29)0,-(k-2) 20,(k-2) 20,又(k-2) 20,k=2.
9、把 k=2代入方程,得 y2-10y+25=0,解得 y1=y2=5,ABC 是等腰三角形,且腰长为 5.分两种情况:A 是顶角时:如图 1,过点 B作 BDAC 于点 D,在 RtABD 中,AB=AC=5,sin A= ,45AD=3,BD=4,DC=2,BC=2 .5ABC 的周长为 10+2 .5A 是底角时:如图 2,过点 B作 BDAC 于点 D,在 RtABD 中,AB=5,sin A= ,45AD=DC=3,AC=6.ABC 的周长为 16.综上,ABC 的周长为 10+2 或 16.5B组 提升题组一、选择题1.B 设 ED=x,则 AE=6-x.四边形 ABCD为矩形,AD
10、BC,EDB=DBC.由题意得:EBD=DBC,EDB=EBD,EB=ED=x.由勾股定理得:BE2=AB2+AE2,即 x2=32+(6-x)2,解得:x= ,154ED= .故选 B.1542.A 四边形 ABCD是矩形,AD=BC,ADBC,点 E是边 BC的中点,BE= BC= AD,12 12BEFDAF, = ,EF= AF,12EF= AE,13点 E是边 BC的中点,由矩形的对称性得:AE=DE,EF= DE,设 EF=x,则 DE=3x,13DF= =2 x,2-2 2tanBDE= = = .22 24故选 A.二、填空题3.答案 2103解析 将正方体展开,右边与后面的正
11、方形及前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时 AB最短,BCMACN, = ,即 = =2,即 MC=2NC,42CN= MN= ,13 23在 RtACN 中,根据勾股定理得:AC= = .2+221034.答案 2321解析 过点 B作 DEl 2,交 l1于 D,交 l3于 E,如图,DEl 2,l1l 2l 3,DEl 1,DEl 3,ABD+DAB=90,ADB=BEC=90,又ABC=90,ABD+EBC=90,DAB=EBC,在ABD 和BCE 中,ADB=BEC,DAB=EBC,ABDBCE, = = .在ABC 中,BAC=60,tanBAC= = ,3 = = = ,
12、3DB=1,BE=2,EC= ,AD= .3233在 RtABD 中,AD= ,DB=1,233AB 2= ,73EC= ,BE=2,3在 RtBCE 中,BC 2=7,AC 2=BC2+AB2=7+ = .73283AC= .2321三、解答题5.解析 (1)CDQCPQ,DQ=PQ,PC=DC,AB=DC=5,AD=BC=3,PC=5,在 RtPBC 中,PB= =4,2-2PA=AB-PB=5-4=1,设 AQ=x,则 DQ=PQ=3-x,在 RtPAQ 中,(3-x) 2=x2+12,解得 x= ,43AQ= .43(2)如图,过 M作 EFCD 于 F,则 EFAB,MDMP,PMD
13、=90,PME+DMF=90,FDM+DMF=90,MDF=PME,M 是 QC的中点,DM=PM= QC,12在MDF 和PME 中,=,=,=, MDFPME(AAS),DF=ME,MF=PE,EFCD,ADCD,EFAD,QM=MC,DF=CF= DC= ,12 52ME= ,52ME 是梯形 ABCQ的中位线,2ME=AQ+BC,即 5=AQ+3,AQ=2.6.解析 过 P点作 PEBC 于 E,过 D点作 DFBC 于 F,DF=AB=8 cm.FC=BC-AD=18-12=6 cm.当 PQBC 时,BE+CE=18 cm.即 2t+t=18,t=6;当 QPPC 时,当 P在 DC边上时,可得 PC=22-2t,QC=t,此时满足 = ,22-2 610则 t= .11013当 P在 AD边上时,CE=BC-2t=(18-2t)cm,PE=8 cm,QE=t-CE=(3t-18)cm,易知 PE2=QECE,64=(3t-18)(18-2t),无解.当 PCBC 时,因为DCB90,所以此种情形不存在.当 t=6或 时,PQC 是直角三角形.11013
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