1、2016-2017 学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分）求值：sin1440= 2 （5 分）计算 10lg3+log525= 3 （5 分）设向量 =（k， 2） ， =（1， 1） ，且 ，则实数 k 的值为 4 （5 分）满足1A1，2，3，4的集合 A 的个数为 5 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 f（f （2） ）= 6 （5 分）已知 （0，） ，sin+cos= ，则 tan= 7 （5 分）若函数 f（x ） =3x+b 的图象不经过第二象限，则 b 的取值范围为 8 （5 分）已知 si
2、n= ， （0， ） ，则 sin（2 ）= 9 （5 分）平面向量 ，| |=2，则 = 10 （5 分）已知函数 y=f（x） ，x R，对于任意的 x，yR ，f（x+y）=f（x）+f（ y） ，若 f（1）= ，则 f（2016）= 11 （5 分）若 （ ，2） ，化简 + = 12 （5 分）函数 f（x ）=log 2（ax 2x2a）在区间（，1）上是单调减函数，则实数 a 的取值范围是 13 （5 分）若 ， 是单位向量，且 = ，若向量 满足 = =2，则| |= 14 （5 分）已知函数 f（ x）=2sin（2x ）1 在区间a ，b（a，b R，且a b）上至少含有
3、 10 个零点，在所有满足条件的a，b中，b a 的最小值为 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15 （14 分）设函数 f（x）= + 的定义域是 A，集合B=x|mx m+2（1）求定义域 A；（2）若 AB=A，求 m 的取值范围16 （14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，P，Q 分别是 BC 和 CD 的中点（1）若 AB=2，AD=1，BAD=60，求 及 cosBAC 的余弦值；（2）若 = + ，求 + 的值17 （14 分）已知函数 y=f（x）是 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）=log （1x）+x（1）求 f（1）的值；（2）求函数 y=f（x）的
4、表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明） ；（3）若 f（lga）+20，求实数 a 的取值范围18 （16 分）已知 aR，函数 f（x ）=x 22ax+5（1）若 a1，且函数 f（x ）的定义域和值域均为1，a ，求实数 a 的值；（2）若不等式 x|f（x）x 2|1 对 x ， 恒成立，求实数 a 的取值范围19 （16 分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为 1 百米的正方形地块 ABCD上划出一个三角形地块 APQ 种植草坪，两个三角形地块 PAB 与 QAD 种植花卉，一个三角形地块 CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边 BC 上，点 Q 在边
5、 CD 上，记PAB=a（1）当PAQ= 时，求花卉种植面积 S 关于 a 的函数表达式，并求 S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求 PB+DQ=PQ，请探究PAQ 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由20 （16 分）已知函数 f（ x）= sinxcosx+sin2x （1）求 f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数 g（x）=f（ + ） ，其中常数 0，| （i）当 =4，= 时，函数 y=g（x ） 4f（x）在 ， 上的最大值为 ，求 的值；（ii）若函数 g（x）的一个单调减区间内有一个零点 ，且其图象过点 A（，1） ，记函数 g（x）的最小
6、正周期为 T，试求 T 取最大值时函数 g（x）的解析式2016-2017 学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，满分 70 分）1 （5 分）求值：sin1440= 0 【解答】解：sin1440=sin（4360）=sin0=0故答案为：02 （5 分）计算 10lg3+log525= 5 【解答】解：原式=3+2=5故答案为：53 （5 分）设向量 =（k， 2） ， =（1， 1） ，且 ，则实数 k 的值为 2 【解答】解： ，k 2=0，解得 k=2故答案为：24 （5 分）满足1A1，2，3，4的集合 A 的个数
7、为 7 【解答】解：若1A1，2，3，4，则 A=1，2或1，3或1，4或1，2，3 或1，2，4 或1，3，4或1，2 ，3 ，4显然这样的集合 A 有 7 个，故答案为：75 （5 分）设函数 f（x ） = ，则 f（f （2） ）= 3 【解答】解：函数 f（x ）= ，f（ 2）=2 2+2=2，f（f（2） ）=f（2）=（ ） 21=3故答案为：36 （5 分）已知 （0，） ，sin+cos= ，则 tan= 【解答】解： （0 ， ） ，sin +cos= ， 为钝角，结合 sin2+cos2=1，可得 sin= ，cos= ，则 tan= = ，故答案为： 7 （5 分）若
8、函数 f（x ） =3x+b 的图象不经过第二象限，则 b 的取值范围为 （，1 【解答】解：由函数 y=3x+b 的图象不经过第二象限，可得 1+b0，求得 b1，故答案为：（，18 （5 分）已知 sin= ， （0， ） ，则 sin（2 ）= 【解答】解：sin= ， （0， ） ，cos= ，sin （2 ）= = = 故答案为： 9 （5 分）平面向量 ，| |=2，则 = 4 【解答】解： ，且| |=2， =0，则 故答案为：410 （5 分）已知函数 y=f（x） ，x R，对于任意的 x，yR ，f（x+y）=f（x）+f（ y） ，若 f（1）= ，则 f（2016）=
9、1008 【解答】解：函数 y=f（x ） ，x R，对于任意的 x，yR ，f（x+y）=f（x）+f（ y） ，令 x=0，y=0 得 f（0） =f（0）+f（0）即 f（0）=0，令 y=x 代入得 f（0）=f（x）+f （ x）=0 所以原函数是奇函数，f（ x+y）=f（x）+f（y） ，f（ 2）=2f（1） ，f（3）=f（2）+f（1）=3f （1） ，f（ n）=nf（1 ） ，f（ 1）= ，f（ 2016）= f（2016）=2016f（1）= 2016 =1008故答案为：1008 11 （5 分）若 （ ，2） ，化简 + = 【解答】解： （ ，2 ） ， （
10、） ， + = 故答案为： 12 （5 分）函数 f（x ）=log 2（ax 2x2a）在区间（，1）上是单调减函数，则实数 a 的取值范围是 0，1） 【解答】解：令 g（x）=ax 2x2a，a=0 时，g （x）=x，在（ ，1）递减，故 f（x）在（，1）递减，符合题意，a 0 时，则 a0，g （x）的对称轴 x= 0，故 g（ x）在（，1）递减，只需 g（1）=a+12a 0 即 a1 即可，综上：0a1，故答案为：0，1） 13 （5 分）若 ， 是单位向量，且 = ，若向量 满足 = =2，则| |= 【解答】解： ， 是单位向量，且 = ，不妨设 =（1，0） ， = 设
11、 =（ x，y） = =2，x=2， y=2，解得 y= =（2， ） 则| |= = 故答案为： 14 （5 分）已知函数 f（ x）=2sin（2x ）1 在区间a ，b（a，b R，且a b）上至少含有 10 个零点，在所有满足条件的a，b中，b a 的最小值为 【解答】解：函数 f（x） =2sin（2x ） 1，令 f（x）=0，即 2sin（2x ） 1，sin（ 2x ）= ，解得：x= 或 x= ， （k Z） 故相邻的零点之间的间隔依次为 ， y=f（x）在a，b上至少含有 10 个零点，等价于 ba 的最小值为 4 +5= 故答案为： 二、解答题（共 6 小题，满分 90
12、分）15 （14 分）设函数 f（x）= + 的定义域是 A，集合B=x|mx m+2（1）求定义域 A；（2）若 AB=A，求 m 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x ）= + 的定义域是 A，定义域 A=x| =x|1x4 （2）A=x|1x4，B=x|mxm+2，AB=A，BA，当 B=时，mm+2，无解；当 B时， ，解得 1m2m 的取值范围是1，216 （14 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，P，Q 分别是 BC 和 CD 的中点（1）若 AB=2，AD=1，BAD=60，求 及 cosBAC 的余弦值；（2）若 = + ，求 + 的值【解答】解：（1）平行四边形 AB
13、CD 中，AB=2，AD=1 ，BAD=60， = （ + ）= 2+ =22+21cos60=5，| |2= 2=（ + ） 2= 2+2 + 2=22+221cos60+1=7，| |= ，cosBAC= = = ； （2）P ，Q 分别是 BC 和 CD 的中点 = + ， = ， = + ， + =（ + ）+ （ ） ， ，解得： ，+=17 （14 分）已知函数 y=f（x）是 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）=log （1x）+x（1）求 f（1）的值；（2）求函数 y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明） ；（3）若 f（lga）+20，求实数 a 的取
14、值范围【解答】解：（1）f（1 ） =f（ 1）= 2；（2）令 x0，则x0，则 f（x ）= （1+x） x=f（x ） ，故 x0 时，f（x）= （1+x ） x，故 f（x）= ；故 f（x）在（，0递增，在（0，+）递减；（3）若 f（lga）+20，即 f（lga） 2，lga0 时，f （lga）f（1） ，则 lga1，lga0 时，f （lga）f（ 1） ，则 lga 1，故 lga1 或 lga 1，解得：a10 或 0a 18 （16 分）已知 aR，函数 f（x ）=x 22ax+5（1）若 a1，且函数 f（x ）的定义域和值域均为1，a ，求实数 a 的值；（2
15、）若不等式 x|f（x）x 2|1 对 x ， 恒成立，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x ）的图象开口向上，对称轴为 x=a1，f（ x）在1，a上单调递减，f（ 1）=a，即 62a=a，解得 a=2（2）不等式 x|f（x）x 2| 1 对 x ， 恒成立，即 x|2ax5|1 对 x ， 恒成立，故 a 且 a 在 x ， 恒成立，令 g（ x）= ，x ， ，则 g（x）= ，令 g（x）0 ，解得： x ，令 g（x ）0，解得： x ，故 g（ x）在 ， ）递增，在（ ， 递减，故 g（ x） max=g（ ）= ，令 h（x）= ，x ， ，h（x ）= 0，故
16、h（x）在 x ， 递减，h（x） min=h（ ）=7 ，综上： a719 （16 分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为 1 百米的正方形地块 ABCD上划出一个三角形地块 APQ 种植草坪，两个三角形地块 PAB 与 QAD 种植花卉，一个三角形地块 CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边 BC 上，点 Q 在边 CD 上，记PAB=a（1）当PAQ= 时，求花卉种植面积 S 关于 a 的函数表达式，并求 S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求 PB+DQ=PQ，请探究PAQ 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由【解答】 （本题满分为
17、12 分）解：（1）边长为 1 百米的正方形 ABCD 中，PAB=a，PAQ= ，PB=100tan，DQ=100tan（ ）=100tan（ ） ，S 花卉种植面积 =SABP +SADQ= = 100100tan+ 100tan（ ）= = ，其中 0， ，当 sin（2+ ）=1 时，即 = 时，S 取得最小值为 5000（2 ） （8 分）（2）设PAB=，QAD=，CP=x，CQ=y，则 BP=100x，DQ=100y ，在ABP 中，tan= ，在ADQ 中，tan= ，tan（ +）= = ，PB +DQ=PQ，100x +100y= ，整理可得：x+y=100 + ，tan（
18、 +）= = =1，+= ，PAQ 是定值，且 PAQ= （12 分）20 （16 分）已知函数 f（ x）= sinxcosx+sin2x （1）求 f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数 g（x）=f（ + ） ，其中常数 0，| （i）当 =4，= 时，函数 y=g（x ） 4f（x）在 ， 上的最大值为 ，求 的值；（ii）若函数 g（x）的一个单调减区间内有一个零点 ，且其图象过点 A（，1） ，记函数 g（x）的最小正周期为 T，试求 T 取最大值时函数 g（x）的解析式【解答】解：（1）函数 f（x ）= sinxcosx+sin2x 化简可得：f（x）= sin2x
19、cos2x=sin（2x ）f（x）的最小正周期 T= ，由 2x = ， （kZ） ，可得对称轴方程为：x= ， （k Z） （2）由函数 g（x）=f（ + ）=sin（x +） ，（i）当 =4，= 时，函数 y=g（x ） 4f（x）=sin（4x+ ）4sin （2x ）=cos（4x ）4sin（2x ）=1 2sin2（2x ） 4sin（2x ）=2sin（2x ）+ 2+1+22x ， 上，则 2x 0， 故 sin（2x ） 0，1当 1，0时，则有 1+22= ，解得：= ；当 （ 0，+）时，sin（2x ）=0 时，y 取得最大值，此时2sin （2x ）+2+1+2
20、2=1，与题意不符当 （ ，1）时，sin（2x ）=1 时，y 取得最大值，此时 21+2+1+22=14= ，解得：= ，不在其范围内，故舍去故得满足题意的 的值为 （ii）函数 g（x）=sin（x+ ） ，若函数的周期最大为 T，单调减区间内有一个零点 ，且其图象过点 A（ ，1） ，则有 = =3，解得：T=4，= 点（ ，1）在图象上，可得： +=2k | | = 不符合题意舍去当 = =3，解得：T= = 点（ ，0）在图象上， +=+2k| = ，g （x）的解析式为：g （x）=sin（ x ）点（ ，1）在图象上，验证：sin（ ）=sin =1 符合题意故得 g（x ）的解析式为：g（x）=sin（ x ）
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