1、2016-2017 学年河南省周口市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1 (5 分)已知集合 A=x|1x3,B=x |2x 1,x z,则 AB=( )A0 B1,1 C 1,0,1,2 DD= 2,32 (5 分)函数 y= 的定义域是( )A (1 ,2 B (1,2) C (2,+) D ( ,2)3 (5 分)已知 x=ln ,y=log 52,z=log e 则( )Ax yz Bzxy Czyx Dyz x4 (5 分)函数 f(x )=x+3 x 的零点所在的区间为( )A
2、 ( 2,1) B (1,0) C (0,1) D (1,2)5 (5 分)直线 L1:ax+3y +1=0,L 2:2x +(a+1)y+1=0,若 L1L 2,则 a 的值为( )A 3 B2 C3 或 2 D3 或 26 (5 分)已知直线 l平面 ,直线 m平面 ,有下面四个命题:(1)lm , (2)l m,(3)l m , (4)l m ,其中正确命题是( )A (1 )与(2) B ( 1)与(3) C (2)与( 4) D (3)与(4)7 (5 分)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1平面 ABC若AB=AC=AA1=1,BC= ,则异面直线 A1C 与 B1
3、C1 所成的角为( )A30 B45 C60 D908 (5 分)某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为( )A19+ cm2B22+4cm 2 C10+6 +4cm2 D13+6 +4cm29 (5 分)直线 y=kx+3 被圆(x 2) 2+(y3) 2=4 截得的弦长为 ,则直线的倾斜角为( )A 或 B 或 C 或 D10 (5 分)已知指数函数 f(x )=a x16+7(a0 且 a1)的图象恒过定点 P,若定点 P 在幂函数 g(x)的图象上,则幂函数 g(x)的图象是( )A B CD11 (5 分)已知 在(,+)上满足,则 b 的取值范
4、围是( )A ( ,0 ) B1,+ ) C ( 1,1) D0,1)12 (5 分)在直角坐标系内,已知 A(3,3)是C 上一点,折叠该圆两次使点 A 分别与圆上不相同的两点(异于点 A)重合,两次的折痕方程分别为xy+1=0 和 x+y7=0,若C 上存在点 P,使MPN=90,其中 M、N 的坐标分别为(m,0) (m,0) ,则 m 的最大值为( )A4 B5 C6 D7二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)已知直线 axy+2a=0 和(2a1)x+ay +a=0 互相垂直,则 a= 14 (5 分)在三棱锥 ABCD 中,侧棱 AB,AC,
5、AD 两两垂直,ABC,ACD,ADB 的面积分别为 , , ,则该三棱锥外接球的表面积为 15 (5 分)已知点 P 为线段 y=2x,x2,4 上任意一点,点 Q 为圆 C:(x 3)2+(y+2) 2=1 上一动点,则线段|PQ|的最小值为 16 (5 分)已知函数 ,若方程 f(x ) a=0 有三个不同的实数根,则 a 的取值范围为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 (10 分)设集合 A=x|x2+4x=0,B=x |x2+2(a+1)x+a 21=0,AB=B,求实数 a 的值18 (12 分)某企业生产一种机器的固定成
6、本为 0.5 万元,但每生产 1 百台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25 万元市场对此商品的年需求量为 5 百台,销售的收入(单位:万元)函数为:R(x )=5x x2(0x 5) ,其中 x 是产品生产的数量(单位:百台) (1)将利润表示为产量的函数;(2)年产量是多少时,企业所得利润最大?19 (12 分)分别求出适合下列条件的直线方程:()经过点 P(3,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍;()经过直线 2x+7y4=0 与 7x21y1=0 的交点,且和 A(3,1) ,B (5,7)等距离20 (12 分)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,ACB=90,
7、AC=BC=AA 1=2,D 、E 分别为棱 AB、BC 的中点,点 F 在棱 AA1 上(1)证明:直线 A1C1平面 FDE;(2)若 F 为棱 AA1 的中点,求三棱锥 A1DEF 的体积21 (12 分)已知圆 M 过两点 A(1,1) ,B( 1,1) ,且圆心 M 在直线x+y2=0 上(1)求圆 M 的方程(2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PC 、PD 是圆 M 的两条切线,C、D 为切点,求四边形 PCMD 面积的最小值22 (12 分)已知函数 是奇函数,f(x)=lg(10 x+1)+bx 是偶函数(1)求 a+b 的值(2)若对任意的 t0, +) ,不
8、等式 g(t 22t)+g(2t 2k)0 恒成立,求实数 k 的取值范围(3)设 ,若存在 x( ,1,使不等式 g(x)hlg(10a +9)成立,求实数 a 的取值范围2016-2017 学年河南省周口市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1 (5 分)已知集合 A=x|1x3,B=x |2x 1,x z,则 AB=( )A0 B1,1 C 1,0,1,2 DD= 2,3【解答】解:A=x|1x3,B=x |2x 1,x Z=1,0,AB=0,故选:A2 (5 分)函
9、数 y= 的定义域是( )A (1 ,2 B (1,2) C (2,+) D ( ,2)【解答】解:log 2(x1) ,x 10,x 1根据 ,得出 x2,又在分母上不等于 0,即 x2函数 y= 的定义域是( 1,2)故选 B3 (5 分)已知 x=ln ,y=log 52,z=log e 则( )Ax yz Bzxy Czyx Dyz x【解答】解:x=ln 1,y=log 52(0,1) ,z=log e0zyx故选:C4 (5 分)函数 f(x )=x+3 x 的零点所在的区间为( )A ( 2,1) B (1,0) C (0,1) D (1,2)【解答】解:由函数的解析式可得 f(
10、1)=1+ = 0,f (0)=0+1=10,f( 1)f(0)0,根据函数零点的判定定理可得函数 f(x )=x +3x 的零点所在的区间为( 1,0) ,故选:B5 (5 分)直线 L1:ax+3y +1=0,L 2:2x +(a+1)y+1=0,若 L1L 2,则 a 的值为( )A 3 B2 C3 或 2 D3 或 2【解答】解:直线 L1:ax+3y +1=0 的斜率为: ,直线 L1L 2,所以L2:2x+(a +1)y+1=0 的斜率为:所以 = ;解得 a=3,a=2(舍去)故选 A6 (5 分)已知直线 l平面 ,直线 m平面 ,有下面四个命题:(1)lm , (2)l m,
11、(3)l m , (4)l m ,其中正确命题是( )A (1 )与(2) B ( 1)与(3) C (2)与( 4) D (3)与(4)【解答】解:直线 l平面 , ,l 平面 ,又直线 m平面,lm ,故(1)正确;直线 l平面 , l 平面 ,或 l平面 ,又直线 m平面 ,l与 m 可能平行也可能相交,还可以异面,故(2)错误;直线 l平面 ,lm,m,直线 m平面 ,故(3)正确;直线 l平面 ,lm,m 或 m,又直线 m平面 ,则 与 可能平行也可能相交,故(4)错误;故选 B7 (5 分)如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1平面 ABC若AB=AC=AA1=1,
12、BC= ,则异面直线 A1C 与 B1C1 所成的角为( )A30 B45 C60 D90【解答】解:因为几何体是棱柱,BCB 1C1,则直线 A1C 与 BC 所成的角为就是异面直线 A1C 与 B1C1 所成的角直三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1平面 ABC若 AB=AC=AA1=1,BC= ,BA 1=,CA 1= ,三角形 BCA1 是正三角形,异面直线所成角为 60故选:C8 (5 分)某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为( )A19+ cm2B22+4cm 2 C10+6 +4cm2 D13+6 +4cm2【解答】解:由三视图知,
13、几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,三棱柱的是一个底面是腰为 2 的等腰直角三角形,高是 3,其底面积为:2 22=4,侧面积为: = ;圆柱的底面半径是 1,高是 3,其底面积为:2 1=,侧面积为:3=3;组合体的表面积是 =4+10+6 故选 C9 (5 分)直线 y=kx+3 被圆(x 2) 2+(y3) 2=4 截得的弦长为 ,则直线的倾斜角为( )A 或 B 或 C 或 D【解答】解:由题知:圆心(2,3) ,半径为 2因为直线 y=kx+3 被圆(x 2) 2+(y3) 2=4 截得的弦长为 ,所以圆心到直线的距离为 d= =1= ,k= ,由 k=tan,得 或 故选
14、 A10 (5 分)已知指数函数 f(x )=a x16+7(a0 且 a1)的图象恒过定点 P,若定点 P 在幂函数 g(x)的图象上,则幂函数 g(x)的图象是( )A B CD【解答】解:指数函数 f(x )=a x16+7(a0 且 a 1)的图象恒过定点 P,令 x16=0,解得 x=16,且 f(16)=1+7=8,所以 f( x)的图象恒过定点 P(16,8) ;设幂函数 g( x)=x a,P 在幂函数 g(x)的图象上,可得:16 a=8,解得 a= ;所以 g(x )= ,幂函数 g(x )的图象是 A故选:A11 (5 分)已知 在(,+)上满足,则 b 的取值范围是(
15、)A ( ,0 ) B1,+ ) C ( 1,1) D0,1)【解答】解:由题意, 在(,+)上单调递增, ,2a3,0b1,故选 D12 (5 分)在直角坐标系内,已知 A(3,3)是C 上一点,折叠该圆两次使点 A 分别与圆上不相同的两点(异于点 A)重合,两次的折痕方程分别为xy+1=0 和 x+y7=0,若C 上存在点 P,使MPN=90,其中 M、N 的坐标分别为(m,0) (m,0) ,则 m 的最大值为( )A4 B5 C6 D7【解答】解:由题意,A(3,3)是C 上一点,折叠该圆两次使点 A 分别与圆上不相同的两点(异于点 A)重合,两次的折痕方程分别为 xy+1=0 和x+
16、y7=0,圆上不相同的两点为 B(2,4, ) ,D (4,4) ,A(3,3 ) , BADABD 的中点为圆心 C(3,4) ,半径为 1,C 的方程为( x3) 2+(y 4) 2=1过 P, M,N 的圆的方程为 x2+y2=m2,两圆外切时,m 的最大值为 +1=6,故选:C二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)已知直线 axy+2a=0 和(2a1)x+ay +a=0 互相垂直,则 a= 0 或 1 【解答】解:当 a=0 时,两直线分别为 y=0,和 x=0,满足垂直这个条件,当 a0 时,两直线的斜率分别为 a 和 ,由斜率之积等于 1
17、得:a =1,解得 a=1综上,a=0 或 a=1故答案为 0 或 114 (5 分)在三棱锥 ABCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,ABC,ACD,ADB 的面积分别为 , , ,则该三棱锥外接球的表面积为 6 【解答】解:三棱锥 ABCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,长方体的对角线就是球的直径,侧棱 AC、 AC、AD 两两垂直, ABC、ACD、ADB 的面积分别为 , , ABAC= , ADAC= , ABAD= ,AB= ,AC=1,AD= ,球的直径为: = ,半径为 ,三棱锥外接球的表面积为 =6,故答案为:615 (5 分
18、)已知点 P 为线段 y=2x,x2,4 上任意一点,点 Q 为圆 C:(x 3)2+(y+2) 2=1 上一动点,则线段|PQ|的最小值为 1 【解答】解:设点 P(x ,2x) ,x 2,4,则点 P 到圆 C:(x3) 2+(y+2) 2=1 的圆心距离是:|PC|= = ,设 f(x)=5x 2+2x+13,x2,4,则 f(x)是单调增函数,且 f(x)f(2)=37 ,所以|PC| ,所以线段|PQ|的最小值为 1故答案为: 116 (5 分)已知函数 ,若方程 f(x ) a=0 有三个不同的实数根,则 a 的取值范围为 0a1 【解答】解:函数 ,作出函数 f(x)的图象如右图
19、所示,方程 f(x )a=0 有三个不同的实数根,则函数 y=f(x)的图象与 y=a 的图象有三个不同的交点,根据图象可知,a 的取值范围为 0a1故答案为:0a1三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 (10 分)设集合 A=x|x2+4x=0,B=x |x2+2(a+1)x+a 21=0,AB=B,求实数 a 的值【解答】解:由 A=x|x2+4x=0=0,4,又 AB=B,BA(1)若 B=,则 x2+2(a+1)x +a21=0 的判别式小于 0,即 4(a+1) 24(a 21)0,a 1(2)若 B=0,把 x=0 代入方程得
20、 a=1当 a=1 时,B=4,00当 a=1 时,B=0,a=1(3)若 B=4时,把 x=4 代入得 a=1 或 a=7当 a=1 时,B=0,4 4,a1当 a=7 时,B=4,12 4,a7(4)若 B=0,4,则 a=1,当 a=1 时,B=0,4,a=1 综上所述:a1 或 a=118 (12 分)某企业生产一种机器的固定成本为 0.5 万元,但每生产 1 百台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25 万元市场对此商品的年需求量为 5 百台,销售的收入(单位:万元)函数为:R(x )=5x x2(0x 5) ,其中 x 是产品生产的数量(单位:百台) (1)将利润表示为产量的函数;
21、(2)年产量是多少时,企业所得利润最大?【解答】解:(1)依题意,得:利润函数 G(x)=F (x) R(x)=(5x x2)(0.5+0.25x)= x2+4.75x0.5 (其中 0x5) ;(2)利润函数 G(x)= x2+4.75x0.5(其中 0x5) ,当 x=4.75 时, G(x )有最大值;所以,当年产量为 475 台时,工厂所得利润最大19 (12 分)分别求出适合下列条件的直线方程:()经过点 P(3,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍;()经过直线 2x+7y4=0 与 7x21y1=0 的交点,且和 A(3,1) ,B (5,7)等距离【解答】解:
22、()当直线不过原点时,设所求直线方程为 + =1,将(3,2)代入所设方程,解得 a= ,此时,直线方程为 x+2y1=0当直线过原点时,斜率 k= ,直线方程为 y= x,即 2x+3y=0,综上可知,所求直线方程为 x+2y1=0 或 2x+3y=0 (6 分)()有 解得交点坐标为(1, ) ,当直线 l 的斜率 k 存在时,设 l 的方程是 y =k(x1) ,即 7kx7y+(27k)=0 ,由 A、B 两点到直线 l 的距离相等得 ,解得 k= ,当斜率 k 不存在时,即直线平行于 y 轴,方程为 x=1 时也满足条件所以直线 l 的方程是 21x28y13=0 或 x=1(12
23、分)20 (12 分)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,ACB=90,AC=BC=AA 1=2,D 、E 分别为棱 AB、BC 的中点,点 F 在棱 AA1 上(1)证明:直线 A1C1平面 FDE;(2)若 F 为棱 AA1 的中点,求三棱锥 A1DEF 的体积【解答】解:(1)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,D、E 分别为棱 AB、BC 的中点,DEAC,又 A1C1AC,A 1C1DE;又 DE平面 FDE,A 1C1平面 FDE,直线 A1C1 平面 FDE;(2)如图所示:当 F 为棱 AA1 的中点时,AF= AA1=1,三棱锥 A1ADE 的体积为= SADE AA1= DE
24、ECAA1= 112= ,三棱锥 FADE 的体积为VFADE= SADE AF= DEEC AA1= ;三棱锥 A1DEF 的体积为VFADE= = 21 (12 分)已知圆 M 过两点 A(1,1) ,B( 1,1) ,且圆心 M 在直线x+y2=0 上(1)求圆 M 的方程(2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PC 、PD 是圆 M 的两条切线,C、D 为切点,求四边形 PCMD 面积的最小值【解答】解:(1)设圆心 M(a,b ) ,则 a+b2=0,又 A(1, 1) ,B(1 ,1) ,k AB= =1,AB 的垂直平分线 l 的斜率 k=1,又 AB 的中点为 O(
25、0,0) ,l 的方程为 y=x,而直线 l 与直线 x+y2=0 的交点就是圆心 M(a,b) ,由 解得: ,又 r=|MA|=2,圆 M 的方程为( x1) 2+(y 1) 2=4(2)如图:SPCMD=|MC|PC|=2 =2 ,又点 M(1, 1)到 3x+4y+8=0 的距离 d=|MN|= =3,所以|PM| min=d=3,所以(S PCMD) min=2 =2 22 (12 分)已知函数 是奇函数,f(x)=lg(10 x+1)+bx 是偶函数(1)求 a+b 的值(2)若对任意的 t0, +) ,不等式 g(t 22t)+g(2t 2k)0 恒成立,求实数 k 的取值范围(
26、3)设 ,若存在 x( ,1,使不等式 g(x)hlg(10a +9)成立,求实数 a 的取值范围【解答】解:(1)由 g( 0)=0 得 a=1,则 ,经检验 g(x )是奇函数由 f(1)=f(1 )得 ,则 ,经检验 f(x )是偶函数, (2) ,且 g(x)在(, +)单调递增,且 g(x )为奇函数由 g(t 22t)+g(2t 2k)0 恒成立,得 g(t 22t)g (2t 2k)=g(2t 2+k) ,t 22t2t 2+k,t0,+)恒成立,即 3t22tk ,t 0,+)恒成立,令 F(x)=3t 22t,在0,+)上 F(x)的最小值为 , (3)h(x)=lg(10 x+1) , h(lg (10a+9) )=lg10 lg(10a+9) +1=lg(10a +10) ,则由已知得,存在 x( ,1,使不等式 g(x)lg(10a+10)成立,而 g( x)在(,1单增, , , 又 , , ,