1、2016-2017 学年辽宁省 XX 中学分校高一（上）期末数学试卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U=R，M=x |x0 或 x2 ，N=x|x 24x+30，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）Ax |0x1 Bx|0x2 Cx|1x 2 Dx|x 22 （5 分）在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于 x 轴的对称点的坐标为（ ）A （ 2，1， 4） B （2，1， 4） C （2，1， 4） D （2，1，4）3 （5 分）log 52log425 等于（ ）A 1 B C1 D
2、24 （5 分）设有直线 m，n 和平面 ，下列四个命题中，正确的是（ ）A若 m ，n ，则 mn B若 m，n ，m，l，则 C若 ，m ，则 m D若 ，m，m，则 m5 （5 分）如图，将一个正方体的表面展开，直线 AB 与直线 CD 在原来正方体中的位置关系是（ ） A平行 B相交并垂直C相交且成 60角 D异面6 （5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A B C D7 （5 分） （文）长方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= ，AA 1=1，则顶点 A、B 间的球面距离
3、是（ ）A B C D28 （5 分）若直线 3x4y+12=0 与两坐标轴交点为 A、B，则以 AB 为直径的圆的方程是（ ）Ax 2+y2+4x3y=0 Bx 2+y24x3y=0C x2+y2+4x3y4=0 Dx 2+y24x3y+8=09 （5 分）已知函数 f（x）=ln（ 2x）+3，则 f（lg2）+f（lg ）=（ ）A0 B3 C3 D610 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，f（x ）在0，+）上是增函数，且 f（ ）=0，则不等式 f（ ）0 的解集为（ ）A （0 ， ）（2，+） B （ ，1）（2，+ ） C （0， ）D （2，+）11 （5
4、分）过圆 x2+y24x=0 外一点 P（m，n ）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n 应满足的关系式为（ ）A （m2） 2+n2=4 B （ m+2） 2+n2=4 C （m 2） 2+n2=8 D （m+2） 2+n2=812 （5 分）已知函数 f（ x）= ，若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不等的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）A （0 ，+） B （，1） C （1，+） D （0，1二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）函数 是幂函数，且在 x（0，+）上是减函数，则实数 m= 14 （5 分）已知直线 l 通过直线
5、3x+5y4=0 和直线 6xy+3=0 的交点，且与直线2x+3y+5=0 平行，则直线 l 的方程为 15 （5 分）与直线 x+y2=0 和曲线 x2+y212x12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 16 （5 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点若截面BC1D 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （10 分）记函数 的定义域为集合 A，函数 g（x）=lg（xa +1）（xa1）的定义域为集合 B（）求集合 A；（）若 AB=A，求实数 a
6、 的取值范围18 （12 分）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm） （1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ；（2）求这个几何体的表面积及体积19 （12 分）已知一曲线 C 是与两个定点 O（0，0） ，A （3 ，0）的距离比为的点的轨迹（1）求曲线 C 的方程，并指出曲线类型；（2）过（2，2）的直线 l 与曲线 C 相交于 M，N，且|MN|=2 ，求直线 l 的方程20 （12 分）如图所示，四边形 ABCD 为矩形，AD平面 ABE，AE=EB=BC，F为 CE 上的点，且 BF平面 ACE（1）求证：AEBE；（2）设 M 在线段 AB 上，且满足 AM=2MB，试
7、在线段 CE 上确定一点 N，使得MN平面 DAE21 （12 分）已知函数 f（ x）=2 x+2x（）试写出这个函数的性质（不少于 3 条，不必说明理由） ，并作出图象；（）设函数 g（x）=4 x+4xaf（x ） ，求这个函数的最小值22 （12 分）已知ABC 的顶点 A（0，1） ，AB 边上的中线 CD 所在的直线方程为 2x2y1=0，AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y=0（1）求ABC 的顶点 B、C 的坐标；（2）若圆 M 经过不同的三点 A、B、P（m，0） ，且斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P，求圆 M 的方程参考答案与试题解析一选择题：本大题共 12
8、小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U=R，M=x |x0 或 x2 ，N=x|x 24x+30，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）Ax |0x1 Bx|0x2 Cx|1x 2 Dx|x 2【解答】解：阴影部分为 UMN，而 N=x|x24x+30=x|1x3，UM=x|0x2， UMN= x|1x 2，故选 C2 （5 分）在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于 x 轴的对称点的坐标为（ ）A （ 2，1， 4） B （2，1， 4） C （2，1， 4） D （2，1，4）【解答】解：在空间直角坐标系中，点（x，
9、y ，z ）关于 x 轴的对称点的坐标为：（ x，y ，z ） ，点（2，1，4）关于 x 轴的对称点的坐标为：（2 ，1 ，4） 故选 B3 （5 分）log 52log425 等于（ ）A 1 B C1 D2【解答】解：原式= =1，故选：C4 （5 分）设有直线 m，n 和平面 ，下列四个命题中，正确的是（ ）A若 m ，n ，则 mn B若 m，n ，m，l，则 C若 ，m ，则 m D若 ，m，m，则 m【解答】解：由直线 m、n ，和平面 、，知：对于 A，若 m，n ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误；对于 B，若 m，n ，m，n，则 或 与 相交，故 B 错误；
10、对于中，若 ，m ，则 m 或 m 或 m 与 相交，故 C 错误；对于 D，若 ，m，m，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m，故 D 正确故选：D5 （5 分）如图，将一个正方体的表面展开，直线 AB 与直线 CD 在原来正方体中的位置关系是（ ） A平行 B相交并垂直C相交且成 60角 D异面【解答】解：将正方体还原后如图，A 与 C 重合，连结 BC，则 BDC 是等边三角形，直线 AB 与直线 CD 在原来正方体中的位置关系是相交且成 60角故选：C6 （5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A B C D【解答】
11、解：设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为 111= ，剩余部分体积为 1 = ，截去部分体积与剩余部分体积的比值为 故选：D7 （5 分） （文）长方体 ABCDA1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD= ，AA 1=1，则顶点 A、B 间的球面距离是（ ）A B C D2【解答】解： ， ，设 BD1AC 1=O，则 ， ， ，故选 B8 （5 分）若直线 3x4y+12=0 与两坐标轴交点为 A、B，则以 AB 为直径的圆的方程是（ ）Ax 2+y2+4x3y=0 Bx 2+y24x3y=0C x2+y2+4x3y4
12、=0 Dx 2+y24x3y+8=0【解答】解：由 x=0 得 y=3，由 y=0 得 x=4，A（4 ，0） ，B（0 ，3） ，以 AB 为直径的圆的圆心是（ 2， ） ，半径 r= ，以 AB 为直径的圆的方程是 ，即 x2+y2+4x3y=0故选 A9 （5 分）已知函数 f（x）=ln（ 2x）+3，则 f（lg2）+f（lg ）=（ ）A0 B3 C3 D6【解答】解：f（x）=ln（ 2x）+3，f（ x）+f（ x）=ln（ 2x）+3+ln（ +2x）+3=ln（ ）（ ）+6，=ln1+6=6，f（ lg2）+f（lg ）=f（lg2）+f（ lg2）=6故选：D10 （5
13、 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的偶函数，f（x ）在0，+）上是增函数，且 f（ ）=0，则不等式 f（ ）0 的解集为（ ）A （0 ， ）（2，+） B （ ，1）（2，+ ） C （0， ）D （2，+）【解答】解：方法 1：因为函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，所以不等式 f（ ）0 等价为 ，因为函数 f（x）在0，+ ）上是增函数，且 f（ ）=0，所以 ，即 ，即 或 ，解得 或 x2方法 2：已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x）在0，+）上是增函数，且 f（ ）=0，所以 f（ x）在（，0上是减函数，且 f（ ）=0若 ，则 ，此时解得 若 ，则 ，
14、解得 x2综上不等式 f（ ）0 的解集为（0， ）（2，+） 故选 A11 （5 分）过圆 x2+y24x=0 外一点 P（m，n ）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n 应满足的关系式为（ ）A （m2） 2+n2=4 B （ m+2） 2+n2=4 C （m 2） 2+n2=8 D （m+2） 2+n2=8【解答】解：把圆的方程化为标准方程：（x2） 2+y2=4，故圆心坐标为（2，0） ，半径 r=2，根据题意画出图形，如图所示：连接 MQ，MN，得到MQP= MNP=90 ，又QPN=90 ，PQMN 为矩形，又 MQ=MN=2，PQMN 为边长为 2 的正方形，则|PM|
15、=2 ，即（m2） 2+n2=8故选 C12 （5 分）已知函数 f（ x）= ，若关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不等的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）A （0 ，+） B （，1） C （1，+） D （0，1【解答】解：画出函数 f（x ）= 的图象，和直线 y=k，关于 x 的方程 f（x）=k 有两个不等的实根等价于 f（x）的图象与直线有且只有两个交点观察得出：（1）k 1，或 k0 有且只有 1 个交点；（2）0k 1 有且只有 2 个交点故实数 k 的取值范围是（0，1故选 D二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）函数 是幂函数，
16、且在 x（0，+）上是减函数，则实数 m= 2 【解答】解： 是幂函数m 2m1=1解得 m=2 或 m=1当 m=2 时，f（x）=x 3 在 x（0，+）上是减函数，满足题意当 m=1 时， f（x）=x 0 在 x（0，+）上不是减函数，不满足题意故答案为：214 （5 分）已知直线 l 通过直线 3x+5y4=0 和直线 6xy+3=0 的交点，且与直线2x+3y+5=0 平行，则直线 l 的方程为 6x +9y7=0 【解答】解：联立方程，可得解方程组可得直线 l 与直线 2x+3y+5=0 平行，可设方程为：2x+3y+c=0将 代入，可得方程为：2x+3y =0即 6x+9y7=
17、0故答案为：6x+9y7=015 （5 分）与直线 x+y2=0 和曲线 x2+y212x12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方程是 （x2） 2+（y 2） 2=2 【解答】解：曲线化为（x6） 2+（y 6） 2=18，其圆心到直线 x+y2=0 的距离为 所求的最小圆的圆心在直线 y=x 上，其到直线的距离为 ，圆心坐标为（2，2） 标准方程为（x2） 2+（y2） 2=2故答案为：（x2） 2+（y2） 2=216 （5 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点若截面BC1D 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为 8 【解答】解：设 AC
18、=a，CC 1=b，截面BC 1D 是面积为 6 的直角三角形，则由（a 2+ b2）2=a 2+b2，得 b2=2a2，又 a2=6，a 2=8，V= 84=8 故答案为：8三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （10 分）记函数 的定义域为集合 A，函数 g（x）=lg（xa +1）（xa1）的定义域为集合 B（）求集合 A；（）若 AB=A，求实数 a 的取值范围【解答】解：（）由已知得：A=x|12 x0=x|2 x1= x|x0（4 分）（）由 B=x|（x a+1） （x a1）0=x |x（a 1）x（a+1）0（6 分）a 1
19、a+1B= x|xa1 或 xa +1（8 分）AB，a10，a 1（12 分）18 （12 分）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm） （1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ；（2）求这个几何体的表面积及体积【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示（2）这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1QA1D1P 的组合体由 PA1=PD1= ，A 1D1=AD=2，可得 PA1PD 1故所求几何体的表面积S=522+2 21+2 2=22+4 （cm 2） ，所求几何体的体积 V=23+ （ ） 22=10（cm 3） 19 （12 分）已知一曲线 C 是与两个定点
20、 O（0，0） ，A （3 ，0）的距离比为的点的轨迹（1）求曲线 C 的方程，并指出曲线类型；（2）过（2，2）的直线 l 与曲线 C 相交于 M，N，且|MN|=2 ，求直线 l 的方程【解答】解：（1）设 M（ x，y ）是曲线上任意的一点，点 M 在曲线上的条件是 （2 分）由两点间距离公式，上式用坐标表示为 ，整理得：x 2+y2+2x3=0， （x +1） 2+y2=4（5 分）曲线 C 是以（ 1，0 ）为圆心，以 2 为半径的圆（6 分）（2）当直线 l 斜率不存在时， ，x= 2（8 分）当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2=k（x +2） ，即 kxy+2k+
21、2=0，设圆心到此直线的距离为 ， ，所以直线 l 的方程： ，直线 l 的方程：x= 2 或 3x+4y2=0（12 分）20 （12 分）如图所示，四边形 ABCD 为矩形，AD平面 ABE，AE=EB=BC，F为 CE 上的点，且 BF平面 ACE（1）求证：AEBE；（2）设 M 在线段 AB 上，且满足 AM=2MB，试在线段 CE 上确定一点 N，使得MN平面 DAE【解答】 证明：（1）BF平面 ACE，AE平面ACE，BFAE，BFCE ，EB=BC，F 是 CE 的中点，又AD平面 ABE，AD 平面 ABCD，平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABE=AB，B
22、CABBC 平面 ABE，从而 BCAE，且 BCBF=B，AE 平面 BCE，BE平面 BCE，AE BE ；（2）在ABE 中过 M 点作 MGAE 交 BE 于 G 点，在BEC 中过 G 点作 GN BC 交 EC 于 N 点，连 MN，CN= CEMGAE ， MG平面 ADE，AE 平面 ADE，MG平面 ADE同理，GN平面 ADE，且 MG 与 GN 交于 G 点，平面 MGN平面 ADE又 MN平面 MGN，MN平面 ADE故 N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点21 （12 分）已知函数 f（ x）=2 x+2x（）试写出这个函数的性质（不少于 3 条，不必说明
23、理由） ，并作出图象；（）设函数 g（x）=4 x+4xaf（x ） ，求这个函数的最小值【解答】解：（）偶函数；定义域 R；值域y |y2；单调递增区间：（0，+） ，单调递减区间：（，0）等（4 分）图象如图：（6 分）（）设 2x+2x=t（t2） ，则 4x+4x=t22，设 k（t）=t 22at=t2at2， 时，k（t） min=k（2）=2 2a； 时 所以， 时，g（x） min=22a； 时 （12 分）22 （12 分）已知ABC 的顶点 A（0，1） ，AB 边上的中线 CD 所在的直线方程为 2x2y1=0，AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y=0（1）求ABC
24、 的顶点 B、C 的坐标；（2）若圆 M 经过不同的三点 A、B、P（m，0） ，且斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P，求圆 M 的方程【解答】解：（1）AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y=0，所以直线 AC 的方程为：x=0，又直线 CD 的方程为：2x 2y1=0，联立得 解得 ，所以，设 B（b，0） ，则 AB 的中点 ，代入方程 2x2y1=0，解得 b=2，所以B（2 ，0） ；（2）由 A（0，1） ，B（2，0）可得，圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4x2y3=0，注意到 BP 也是圆 M 的弦，所以，圆心在直线 上，设圆心 M 坐标为 ，因为圆心 M 在直线 4x2y3=0 上，所以 2m2n+1=0，又因为斜率为 1 的直线与圆 M 相切于点 P，所以 kMP=1，即 ，整理得 m2n2=0，由解得 m=3， ，所以，圆心 ，半径 ，则所求圆方程为 + = ，化简得 x2+y2+x+5y6=0
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