1、2017-2018 学年吉林省松原市扶余高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的函数是（ ）Ay=x 2+1 By=2 x Cy=x+ Dy=x 2+12 （5 分）若直线 l 不平行于平面 ，且 l，则（ ）A 内的所有直线都与直线 l 异面B 内不存在与直线 l 平行的直线C 内存在唯一的直线与直线 l 平行D 内存在唯一的直线与直线 l 平行3 （5 分）已知 m、n 为两条不同的直线，、 为两个不同的平面，下列命题中的正确的
2、是（ ）A若 ，m ，则 m B若 m ，mn，则 nC若 ，m，则 m D若 m，m，则 4 （5 分）函数 f（x ）=x 2+lnx4 的零点所在的区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，3） D （3，4）5 （5 分）已知直线 l：x+2y+k+1=0 被圆 C：x 2+y2=4 所截得的弦长为 4，则 k 是（ ）A 1 B2 C0 D26 （5 分）直线 l 经过点 P（3，4）且与圆 x2+y2=25 相切，则直线 l 的方程是（ ）Ay4= （x+3） By4= （x+3） Cy+4= （x 3） Dy+4= （x 3）7 （5 分）如图是一几何体的直观图、
3、正视图和俯视图下列选项图中，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（ ）A B C D8 （5 分）下列命题中正确的是 （ ）A正方形的直观图是正方形B平行四边形的直观图是平行四边形C有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台9 （5 分）已知正方体的体积是 64，则其外接球的表面积是（ ）A32 B192 C48 D无法确定10 （5 分）如图所示，正四棱锥 PABCD 的底面面积为 3，体积为 ，E 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成的角为（ ）A30 B45 C60 D9011 （5 分）如果实数 x，y
4、 满足（x2） 2+y2=3，那么 的最大值是（ ）A B C D12 （5 分）点 M（x 0，y 0）在圆 x2+y2=R2 外，则直线 x0x+y0y=R2 与圆的位置关系是（ ）A相切 B相交 C相离 D不确定二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13 （5 分）直线 x+ y3=0 的倾斜角是 14 （5 分）直线 y=kx 与直线 y=2x+1 垂直，则 k 等于 15 （5 分）已知直线 l 与直线 2x3y+4=0 关于直线 x=1 对称，则直线 l 的方程为 16 （5 分）如图，在三棱锥 PABC
5、中，PA=PB=PC=BC，且BAC= ，则 PA 与底面 ABC 所成角为 三、解答题：（共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17 （10 分）已知ABC 三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x3y+16=0，CA ：2x +y2=0，求 AC 边上的高所在的直线方程18 （12 分）求经过点 P（ 6， 4）且被定圆 O：x 2+y2=20 截得的弦长为 6 的直线 AB 的方程19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，E 是 PC 的中点（1）证明：PA平面 EDB；（2）证明：BCDE
6、20 （12 分）已知曲线方程为：x 2+y22x4y+m=0（1）若此曲线是圆，求 m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线 x+2y4=0 相交于 M，N 两点，且 OMON（O 为坐标原点） ，求 m 的值21 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=AD=1，AA 1=2，点 P 为 DD1的中点求证：（1）平面 BDD1平面 PAC；（2）直线 PB1平面 PAC22 （12 分）已知四棱锥 PABCD 如图所示，ABCD，BCCD，AB=BC=2 ，CD=PD=1，PAB 为等边三角形（1）证明：PD平面 PAB；（2）求二面角 PCBA 的余弦值2017-
7、2018 年吉林省松原市扶余高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的函数是（ ）Ay=x 2+1 By=2 x Cy=x+ Dy=x 2+1【解答】解：对于 A，函数是偶函数，在区间（0，+）上单调递增，符合题意；对于 B，函数不是偶函数，不合题意；对于 C，函数不是偶函数，不合题意；对于 D，函数是偶函数，在区间0，+）上单调递减，不符合题意；故选：A2 （5 分）若直线 l 不平行于平面 ，且 l，则（ ）A
8、内的所有直线都与直线 l 异面B 内不存在与直线 l 平行的直线C 内存在唯一的直线与直线 l 平行D 内存在唯一的直线与直线 l 平行【解答】解：直线 l 不平行于平面 ，且 l，直线 l 与平面 相交， 内不存在与直线 l 平行的直线故选：B3 （5 分）已知 m、n 为两条不同的直线，、 为两个不同的平面，下列命题中的正确的是（ ）A若 ，m ，则 m B若 m ，mn，则 nC若 ，m，则 m D若 m，m，则 【解答】解：A 不正确，因为 ，m 的条件下，m 或 m；B 不正确，因为若 n时，亦有 m，mn；C 不正确，因为 ，m 可得出 mm；D 正确，由 m，m 可得出 故选 D
9、4 （5 分）函数 f（x ）=x 2+lnx4 的零点所在的区间是（ ）A （0 ，1 ） B （1，2） C （2，3） D （3，4）【解答】解：连续函数 f（x ）=x 2+lnx4，f（1） =30，f （2）=ln20，函数 f（x ）=x 2+lnx4 的零点所在的区间是 （1，2） 故选 B5 （5 分）已知直线 l：x+2y+k+1=0 被圆 C：x 2+y2=4 所截得的弦长为 4，则 k 是（ ）A 1 B2 C0 D2【解答】解：设圆心（0，0）到直线 l：x+2y+k+1=0 的距离为 d，则由点到直线的距离公式得d= = |k+1|，再由 4=2 =2 ，k=1，故
10、选 A6 （5 分）直线 l 经过点 P（3，4）且与圆 x2+y2=25 相切，则直线 l 的方程是（ ）Ay4= （x+3） By4= （x+3） Cy+4= （x 3） Dy+4= （x 3）【解答】解：显然点（3，4）在圆 x2+y2=25 上，设切线方程的斜率为 k，则切线方程为 y4=k（x+3） ，即 kxy+3k4=0，圆心（0，0）到直线的距离 d= =5，解得 k= ，则切线方程为 y4= （x+3） 故选：B7 （5 分）如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图下列选项图中，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是（ ）A B C D【解答】解：根据该几何体的直观图、正视
11、图和俯视图，可得它的侧视图为直角三角形 PAD 及其 PA 边上的中线，故选：B8 （5 分）下列命题中正确的是 （ ）A正方形的直观图是正方形B平行四边形的直观图是平行四边形C有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【解答】解：在 A 中，正方形的直观图是平行四边形，故 A 错误；在 B 中，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故正确；在 C 中，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故 C 错误；在
12、 D 中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故 D 错误故选：B9 （5 分）已知正方体的体积是 64，则其外接球的表面积是（ ）A32 B192 C48 D无法确定【解答】解：正方体的体积是 64，正方体的边长为 4，正方体的外接球的半径 R=2 ，正方体的外接球的表面积 S=4R2=48，故选：C10 （5 分）如图所示，正四棱锥 PABCD 的底面面积为 3，体积为 ，E 为侧棱 PC 的中点，则 PA 与 BE 所成的角为（ ）A30 B45 C60 D90【解答】解：连结 AC、BD，交于点 O，连结 OP，则 OP平面 ABCD，正四棱锥 PA
13、BCD 的底面面积为 3，体积为 ，AB= ，OA= = = ，= = ，解得 OP= ，以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 P（ 0，0， ） ，A（ ，0，0） ，B（0， ， 0） ，C （ ，0，0） ，E（ ，0 ， ） ，=（ ，0， ） ， =（ ， ， ） ，设 PA 与 BE 所成的角为 ，则 cos= = = ，=60 PA 与 BE 所成的角为 60故选：C11 （5 分）如果实数 x，y 满足（x2） 2+y2=3，那么 的最大值是（ ）A B C D【解答】解：设 =k，则 y=kx 表示经过原点的直线， k 为直线的斜率
14、所以求 的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角EOC 的正切值易得|OC|=2，|CE|= ，可由勾股定理求得|OE|=1 ，于是可得到 k= = ，即为 的最大值故选：C12 （5 分）点 M（x 0，y 0）在圆 x2+y2=R2 外，则直线 x0x+y0y=R2 与圆的位置关系是（ ）A相切 B相交 C相离 D不确定【解答】解：点 M（x 0，y 0）在圆 x2+y2=R2 外，x 02+y02R 2，圆心（0，0）到直线 x0x+y0y=R2 的距离：d= R，直线 x0x+y0y=R2
15、 与圆相交故选：B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）13 （5 分）直线 x+ y3=0 的倾斜角是 【解答】解：直线 x+ y3=0 即 y= x+ ，故直线的斜率等于 ，设直线的倾斜角等于 ，则 0，且 tan= ，故 = ，故答案为： 14 （5 分）直线 y=kx 与直线 y=2x+1 垂直，则 k 等于 【解答】解：直线 y=kx 与直线 y=2x+1 垂直，2k=1，解得 k= 故答案为： 15 （5 分）已知直线 l 与直线 2x3y+4=0 关于直线 x=1 对称，则直线 l 的方程为 2x+3y8
16、=0 【解答】解：设直线 l 的方程上的点 P（x ，y） ，则 P 关于直线 x=1 对称的点 P为（2x，y） ，P在直线 2x3y+4=0 上，2（2x）3y+4=0，即 2x+3y8=0，故答案为 2x+3y8=016 （5 分）如图，在三棱锥 PABC 中，PA=PB=PC=BC，且BAC= ，则 PA 与底面 ABC 所成角为 【解答】解：PA=PB=PC，P 在底面的射影 E 是ABC 的外心，又故 E 是 BC 的中点，所以 PA 与底面 ABC 所成角为PAE，等边三角形 PBC 中，PE= ，直角三角形 ABC 中，AE= BC= ，又 PA=1，三角形 PAE 中，tan
17、PAE= = PAE= ，则 PA 与底面 ABC 所成角为 三、解答题：（共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.17 （10 分）已知ABC 三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x3y+16=0，CA ：2x +y2=0，求 AC 边上的高所在的直线方程【解答】解：由 得 B（ 4，0） ，设 AC 边上的高为 BD，由 BDCA，可知 BD 的斜率等于 = ，用点斜式写出 AC 边上的高所在的直线方程为 y0= （x +4 ） ，即 x2y+4=018 （12 分）求经过点 P（ 6， 4）且被定圆 O：x 2+y2=20 截得的弦长为 6 的直线
18、 AB 的方程【解答】解：由题意知，直线 AB 的斜率存在，且|AB |=6 ，OA=2 ，作 OCAB 于 C在 RtOAC 中，|OC|= = 设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y+4=k（x6） ，即 kxy6k4=0圆心到直线的距离为 ， = ，即 17k2+24k+7=0，k=1 或 k= 故所求直线的方程为 x+y2=0 或 7x+17y+26=019 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，E 是 PC 的中点（1）证明：PA平面 EDB；（2）证明：BCDE【解答】证明：（1）连结 AC，AC 交 BD 于 O，连结
19、EO（2 分）底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点在PAC 中，EO 是中位线， PAEO （ 4 分）而 EO平面 EDB 且 PA平面 EDB，所以，PA 平面 EDB （6 分）（2）PD底面 ABCD 且 BC底面 ABCD，PDBC 又底面 ABCD 是正方形，有 DCBC 其中 PDDC=DBC平面 PDC （10 分）又DE平面 PDC，BC DE （12 分）20 （12 分）已知曲线方程为：x 2+y22x4y+m=0（1）若此曲线是圆，求 m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线 x+2y4=0 相交于 M，N 两点，且 OMON（O 为坐标原点） ，求 m
20、 的值【解答】解：（1）曲线方程为：x 2+y22x4y+m=0整理得：（x1） 2+（y2） 2=5m，则 5m0，解得：m5（2）直线 x+2y4=0 与圆：x 2+y22x4y+m=0 的交点为 M（x 1，y 1）N（x 2，y 2） 则： ，整理得：5y 216y+8+m=0，则： ， ，且 OMON （ O 为坐标原点） ，则：x 1x2+y1y2=0，x1=42y1，x 2=42y2，则（42y 1） （42y 2）+y 1y2=0解得：m= ，故 m 的值为 21 （12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=AD=1，AA 1=2，点 P 为 DD1的中点求证
21、：（1）平面 BDD1平面 PAC；（2）直线 PB1平面 PAC【解答】证明：（1）长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=AD=1，底面 ABCD 是正方形，ACBD又 DD1平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACDD 1又 BDDD 1=D，BD 平面 BDD1，DD 1平面 BDD1，AC平面 BDD1，AC平面 PAC，平面 PAC平面 BDD1（2）PC 2=2，PB 12=3，B 1C2=5，PC 2+PB12=B1C2，PB 1C 是直角三角形，PB 1PC同理 PB1PA，又 PA PC=P，PA平面 PAC，PC 平面 PAC，直线 PB1平面 PAC22 （12 分
22、）已知四棱锥 PABCD 如图所示，ABCD，BCCD，AB=BC=2 ，CD=PD=1，PAB 为等边三角形（1）证明：PD平面 PAB；（2）求二面角 PCBA 的余弦值【解答】 （1）证明：取 AB 得中点 E，连接 PE，DE AB=BC=2，CD=PD=1，PAB 为等边三角形AE AB ，AE= ，BE=CD，EB CD四边形 BCDE 是平行四边形，DE=CB=2，DECDABED，AB面 PEDABPDDE2=PD2+AE2，PDAE，PD面 PAB（2）解：由（1）得面 PAD面 ABCD，过 P 作 POED 于 O，则 PO面 ABCD，过 O 作 OH CB 于 H，连接 PH，则PHO 为二面角 PCBA 的平面角在 RtPED 中，POED=PEPD，可得 PO=在 RtPED 中，OH=1 ，PH= ， =二面角 PCBA 的余弦值为
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