1、2017-2018 学年吉林省吉林市吉化高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U=Z，A=0，1，2，3，B=x|x 2=2x，则 A（ UB）为（ ）A1 ，3 B0，2 C0，1，3 D22 （5 分）函数 的定义域为（ ）A （ ，1 ） B （0，1 C （0，1） D （0，+）3 （5 分）函数 f（x ）=e x+x2 的零点所在的一个区间是（ ）A （ 2，1） B （1，0） C （0，1） D （1，2）4 （5 分）如图所示，直观图四边形 ABCD
2、是一个底角为 45，腰和上底均为1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A B C D5 （5 分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A B C D6 （5 分）圆台上、下底面面积分别是 、4，侧面积是 6，这个圆台的体积是（ ）A B2 C D 7 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB 的中点 M，DD 1 的中点 N，则异面直线 B1M 与 CN 所成的角是（ ）A30 B45 C60 D908 （5 分）我国古代数学名著数学九章中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长
3、2 丈4 尺，圆周为 5 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1 丈等于 10 尺） （ ）A29 尺 B24 尺 C26 尺 D30 尺9 （5 分）过点（1，2） ，且与原点距离最大的直线方程是（ ）Ax +2y5=0B2x+y4=0 Cx+3y 7=0 Dx2y+3=010 （5 分）与直线 xy4=0 和圆 x2+y2+2x2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是（ ）A （x +1） 2+（y+1） 2=2 B （x+1） 2+（y+1） 2=4 C （x1） 2+（y+1） 2=2D （x 1） 2+（y+1）=411 （5 分）
4、若动点 P 到点 F（1，1）和直线 3x+y4=0 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为（ ）A3x+y6=0 Bx3y+2=0 Cx+3y 2=0 D3xy+2=012 （5 分）若直线 l：ax+by=1 与圆 C：x 2+y2=1 有两个不同交点，则点P（a ，b）与圆 C 的位置关系是（ ）A点在圆上 B点在圆内 C点在圆外 D不能确定二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知直线 5x+12y+a=0 与圆 x2+y22x=0 相切，则 a 的值为 14 （5 分）已知奇函数 f（x ） ，x（0 ，+） ，f（x）=lgx，则不等式 f（x）
5、0的解集是 15 （5 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2，DAB=60，E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则三棱锥 PDCE 的外接球的体积为 16 （5 分）已知圆 C：（x3） 2+（y 4） 2=1 和两点 A（m，0） ，B （m，0）（m0） ，若圆上存在点 P，使得APB=90，则 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知 （1）求 f（x）的定义域；（2）判断 f（x）的奇偶性并予以证明18 （12 分）ABC
6、 的边 AC，AB 上的高所在直线方程分别为2x3y+1=0，x+y=1 ，顶点 A（1，2） ，求 BC 边所在的直线方程19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面 ABC，且ABC 为等边三角形，AA 1=AB=6，D 为 AC 的中点（1）求证：直线 AB1平面 BC1D；（2）求证：平面 BC1D平面 ACC1A1；（3）求三棱锥 CBC1D 的体积20 （12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，EF 平面 ABCD，EF=1，FB=FC，BFC=90，AE= （1）求证：AB平面 BCF；（2）求直线 AE 与
7、平面 BDE 所成角的正切值21 （12 分）如图，已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 OO1 折成直二面角（1）证明：ACBO 1；（2）求二面角 OACO1 的余弦值22 （12 分）已知点 P（2，0）及圆 C：x 2+y26x+4y+4=0（1）设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点，当|MN|=4 时，求以 MN 为直径的圆 Q 的方程；（2）设直线 axy+1=0 与圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点P（2 ，0）的直线 l2 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由2017-2
8、018 学年吉林省吉林市吉化高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U=Z，A=0，1，2，3，B=x|x 2=2x，则 A（ UB）为（ ）A1 ，3 B0，2 C0，1，3 D2【解答】解：全集 U=Z，A=0，1，2，3，B=x|x2=2x=0，2，C UB=x|xZ，且 x0，且 x2 ，AC UB=1，3故选 A2 （5 分）函数 的定义域为（ ）A （ ，1 ） B （0，1 C （0，1） D （0，+）【解答】解：函数 的定义域为：x|
9、，解得x|0x1，故选 C3 （5 分）函数 f（x ）=e x+x2 的零点所在的一个区间是（ ）A （ 2，1） B （1，0） C （0，1） D （1，2）【解答】解：因为 f（0）= 10，f（1）=e 10，所以零点在区间（0，1）上，故选 C4 （5 分）如图所示，直观图四边形 ABCD是一个底角为 45，腰和上底均为1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A B C D【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底 AD=1，高 AB=2AB=2，下底为 BC=1+ ， 故选：A5 （5 分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（
10、）A B C D【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有 D 符合故选 D6 （5 分）圆台上、下底面面积分别是 、4，侧面积是 6，这个圆台的体积是（ ）A B2 C D 【解答】解：S 1=，S 2=4，r=1 ，R=2，S=6=（r+R）l，l=2，h= V= （1+4+2） = 故选 D7 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB 的中点 M，DD 1 的中点 N，则异面直线 B1M 与 CN 所成的角是（ ）A30
11、 B45 C60 D90【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：AB 的中点 M，取 C1E 的中点 P，连接 CP，可得：CPB 1M，NCP 是异面直线 B1M 与 CN 所成的角的平面角连接 NP，设正方体 ABCDA1B1C1D1 的边长为 a可得：CN=CP= NP= = NCP 的三条边满足：CN 2+CP2=NP2NCP=90 即异面直线 B1M 与 CN 所成的角是 90故选：D8 （5 分）我国古代数学名著数学九章中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长 2 丈4 尺，圆周为 5 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，
12、绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1 丈等于 10 尺） （ ）A29 尺 B24 尺 C26 尺 D30 尺【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长 24 尺，另一条直角边长 52=10（尺） ，因此葛藤长 =26（尺） 故选：C9 （5 分）过点（1，2） ，且与原点距离最大的直线方程是（ ）Ax +2y5=0B2x+y4=0 Cx+3y 7=0 Dx2y+3=0【解答】解：根据题意得，当与直线 OA 垂直时距离最大，因直线 OA 的斜率为 2，所以所求直线斜率为 ，所以由点斜式方程得：y2= （x1） ，化简得：x+2y5=0，故选：A
13、10 （5 分）与直线 xy4=0 和圆 x2+y2+2x2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是（ ）A （x +1） 2+（y+1） 2=2 B （x+1） 2+（y+1） 2=4 C （x1） 2+（y+1） 2=2D （x 1） 2+（y+1）=4【解答】解：由题意圆 x2+y2+2x2y=0 的圆心为（1，1） ，半径为 ，过圆心（1，1）与直线 xy4=0 垂直的直线方程为 x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除 A、B ，圆心（1，1）到直线 xy4=0 的距离为 =3 ，则所求的圆的半径为 ，故选 C11 （5 分）若动点 P 到点 F（1，1）和直线 3x+y4=0 的距离
14、相等，则点 P 的轨迹方程为（ ）A3x+y6=0 Bx3y+2=0 Cx+3y 2=0 D3xy+2=0【解答】解：点 F（1，1）在直线 3x+y4=0 上，则点 P 的轨迹是过点 F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线 3x+y4=0 的斜率为 3，所以所求直线的斜率为 ，由点斜式知点 P 的轨迹方程为 y1= （x1）即 x3y+2=0故选 B12 （5 分）若直线 l：ax+by=1 与圆 C：x 2+y2=1 有两个不同交点，则点P（a ，b）与圆 C 的位置关系是（ ）A点在圆上 B点在圆内 C点在圆外 D不能确定【解答】解：直线 l：ax+by=1 与圆 C：x 2+y2
15、=1 有两个不同交点，则 1，a 2+b21，点 P（ a，b）在圆 C 外部，故选 C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知直线 5x+12y+a=0 与圆 x2+y22x=0 相切，则 a 的值为 18 或 8 【解答】解：圆的标准方程为（x1） 2+y2=1，圆心坐标为（1，0） ，半径 R=1，直线和圆相切，圆心到直线的距离 d= = =1，即|a +5|=13，即 a+5=13 或 a+5=13，得 a=8 或 a=18，故答案为：18 或 814 （5 分）已知奇函数 f（x ） ，x（0 ，+） ，f（x）=lgx，则不等式 f（x）0
16、的解集是 （，1）（0，1） 【解答】解：x （0 ，+） ，f（x）=lgx ，不等式 f（x）0 化为lgx0，0x1当 x0 时，函数 f（x）是奇函数，f（x ）= f（x）= lg（x） ，由 f（x）0 即lg（x）0，化为 lg（x）0，x1，解得 x1综上可得不等式 f（x） 0 的解集是：（ ，1）（0，1） 故答案为：（，1）（0，1） 15 （5 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2，DAB=60，E 为 AB 的中点，将ADE 与BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则三棱锥 PDCE 的外接球的体积为 【解答】解：DAB=60
17、三棱锥 PDCE 各边长度均为 1三棱锥 PDCE 为正三棱锥 P 点在底面 DCE 的投影为等边DCE 的中心，设中心为 OOD=OE=OC=在直角POD 中：OP 2=PD2OD2=OP=外接球的球心必在 OP 上，设球心位置为 O，则 OP=OD 设 OP=OD=R则在直角OOD 中：OO 2+OD2=OD2（OPOP） 2+OD2=OD2（ R） 2+（ ）2=R2， R=体积为 R3=故答案为：16 （5 分）已知圆 C：（x3） 2+（y 4） 2=1 和两点 A（m，0） ，B （m，0）（m0） ，若圆上存在点 P，使得APB=90，则 m 的取值范围是 4，6 【解答】解：圆
18、 C：（x3） 2+（y 4） 2=1 的圆心 C（3，4） ，半径为 1，圆心 C 到 O（0，0）的距离为 5，圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6，最小值为 4，再由APB=90，以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，可得 PO= AB=m，故有 4m6，故答案为：4，6三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知 （1）求 f（x）的定义域；（2）判断 f（x）的奇偶性并予以证明【解答】解：（1）由对数函数的定义知 0即 0，解得：1x1；故 f（x）的定义域为（1，1）（2）f（x ）为奇函数，理由如下：f（x
19、）定义域为（1，1）关于原点对称，又f（ x）=log a =loga =f（x） ，f（ x）为奇函数18 （12 分）ABC 的边 AC，AB 上的高所在直线方程分别为2x3y+1=0，x+y=1 ，顶点 A（1，2） ，求 BC 边所在的直线方程【解答】解：因为 AC 边上的高所在直线方程为 2x3y+1=0，所以直线 AC 的斜率为 ；所以直线 AC 的方程为 y2= ，即 3x+2y7=0，同理可求得直线 AB 的方程为 xy+1=0由 ，得顶点 C（7， 7） ，由 ，得顶点 B（ 2，1） 所以直线 BC 的斜率为 ，所以直线 BC 的方程为 y+1= ，即 2x+3y+7=01
20、9 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1底面 ABC，且ABC 为等边三角形，AA 1=AB=6，D 为 AC 的中点（1）求证：直线 AB1平面 BC1D；（2）求证：平面 BC1D平面 ACC1A1；（3）求三棱锥 CBC1D 的体积【解答】 （1）证明：如图所示，连接 B1C 交 BC1 于 O，连接 OD，因为四边形 BCC1B1 是平行四边形，所以点 O 为 B1C 的中点，又因为 D 为 AC 的中点，所以 OD 为AB 1C 的中位线，所以 ODB 1A，又 OD平面 C1BD，AB 1平面 C1BD，所以 AB1平面 C1BD（2）证明：因为ABC 是等
21、边三角形， D 为 AC 的中点，所以 BDAC，又因为 AA1底面 ABC，所以 AA1BD ，根据线面垂直的判定定理得 BD平面 A1ACC1，又因为 BD平面 C1BD，所以平面 C1BD平面 A1ACC1；（3）解：由（2）知，ABC 中，BD AC ，BD=BCsin60=3 ，S BCD = 33 = ， = = 6=9 20 （12 分）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，EF 平面 ABCD，EF=1，FB=FC，BFC=90，AE= （1）求证：AB平面 BCF；（2）求直线 AE 与平面 BDE 所成角的正切值【解答】 （1）证明：取
22、 AB 的中点 M，连接 EM，则 AM=MB=1，EF 平面 ABCD，EF平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEF=AB，EF AB，即 EFMB EF=MB=1四边形 EMBF 是平行四边形EMFB，EM=FB 在 RtBFC 中，FB 2+FC2=BC2=4，又 FB=FC，得 FB= EM= 在AEM 中，AE= ，AM=1，EM= ，AM 2+EM2=3=AE2，AMEMAMFB，即 ABFB四边形 ABCD 是正方形，ABBCFBBC=B，FB 平面 BCF，BC 平面 BCF，AB平面 BCF（2）连接 AC，AC 与 BD 相交于点 O，则点 O 是 AC 的中点，取 B
23、C 的中点 H，连接 OH，EO，FH ，则 OHAB， OH= AB=1由（1）知 EFAB，且 EF= AB，EF OH ，且 EF=OH四边形 EOHF 是平行四边形E0FH，且 EO=FH=1由（1）知 AB平面 BCF，又 FH平面 BCF，FH AB，FH BC，ABBC=B，FH平面 ABCD，BC 平面 ABCD，FH 平面 ABCDE0平面 ABCDAO平面 ABCD，EOAOAOBD， EOBD=O，EO平面 EBD，BD 平面 EBD，AO平面 EBDAEO 是直线 AE 与平面 BDE 所成的角在 RtAOE 中， tanAEO= = 直线 AE 与平面 BDE 所成角
24、的正切值为 21 （12 分）如图，已知 ABCD 是上、下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 OO1 折成直二面角（1）证明：ACBO 1；（2）求二面角 OACO1 的余弦值【解答】证明：（1）由题设知 OAOO 1，OB OO 1，所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB从而 AO平面 OBCO1，OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影因为 tanOO 1A= = ，tanO 1OC= = ，所以OO 1B=60，O 1OC=30，从而 OCBO 1由三垂线定理得 ACBO 1解：（2）由（1）AC BO 1，OC BO 1，知 BO1平面 AOC设
25、 OCO 1B=E，过点 E 作 EFAC 于 F，连结 O1F（如图） ，则 EF 是 O1F 在平面 AOC 内的射影，由三垂线定理得 O1FAC所以O 1FE 是二面角 OACO1 的平面角由题设知 OA=3，OO 1= ，O 1C=1，所以 =2 ，AC= = ，从而 = ，又 O1E=OO1sin30= ，所以 sinO 1FE= = ，cosO 1FE= = ，二面角 OACO1 的余弦值为 22 （12 分）已知点 P（2，0）及圆 C：x 2+y26x+4y+4=0（1）设过 P 直线 l1 与圆 C 交于 M、N 两点，当|MN|=4 时，求以 MN 为直径的圆 Q 的方程；
26、（2）设直线 axy+1=0 与圆 C 交于 A，B 两点，是否存在实数 a，使得过点P（2 ，0）的直线 l2 垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由于圆 C：x 2+y26x+4y+4=0 的圆心 C（3，2） ，半径为 3，|CP|= ，而弦心距 d= ，所以 d=|CP|= ，所以 P 为 MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0） ，半径为 |MN|=2，故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为（x 2） 2+y2=4；（2）把直线 axy+1=0 即 y=ax+1代入圆 C 的方程，消去 y，整理得（a 2+1）x2+6（a1）x+9=0由于直线 axy+1=0 交圆 C 于 A，B 两点，故=36（a1） 236（a 2+1）0，即 2a0，解得 a0则实数 a 的取值范围是（，0） 设符合条件的实数 a 存在，由于 l2 垂直平分弦 AB，故圆心 C（3， 2）必在 l2 上所以 l2 的斜率 kPC=2，k AB=a= ，由于 ，故不存在实数 a，使得过点 P（2，0 ）的直线 l2 垂直平分弦 AB
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