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    2016-2017学年江苏省南通市启东高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

    • 资源ID:29331       资源大小:351KB        全文页数:21页
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    2016-2017学年江苏省南通市启东高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

    1、2016-2017 学年江苏省南通市启东高二(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 (5 分)抛物线 y=x2 的准线方程是 2 (5 分)命题“任意正实数 a,函数 f(x)=x 2+ax 在0,+)上都是增函数”的否定是 3 (5 分)已知复数 z 满足( 3+4i)z=5i 2016(i 为虚数单位) ,则|z |= 4 (5 分)将参加夏令营的 500 名学生编号为:001,002,500,采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003,这 500 名学生分住在三个营区,从 001

    2、 到 200 在第一营区,从 201 到 355 在第二营区,从356 到 500 在第三营区,则第三个营区被抽中的人数为 5 (5 分)如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 1023,则判断框中的整数 M 的值是 6 (5 分)在平面直角坐标系内,二元一次方程 Ax+By+C=0(A 2+B20)表示直线的方程,在空间直角坐标系内,三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(A 2+B2+C20)表示平面的方程在平面直角坐标系内,点 P(x 0,y 0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= ,运用类比的思想,我们可以解决下面的问题:在空间直角坐标系内,点 P(2,1 ,1)到平面 3x+4

    3、y+12z+4=0 的距离 d= 7 (5 分)等轴双曲线的离心率为 8 (5 分) “a1” 是“ (a+1 )x 2 对 x(1,+)恒成立”的 条件(填“充分不必要、必要不充分、充要” ) 9 (5 分)过点 P(5,4)作直线 l 与圆 O:x 2+y2=25 交于 A,B 两点,若PA=2,则直线 l 的方程为 10 (5 分)已知双曲线的渐近线方程为 ,一个焦点为 ,则双曲线的标准方程是 11 (5 分)已知椭圆 的离心率 ,A、B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 、,则= 12 (5 分)已知圆心 C 在抛物线 y2=4x

    4、上且与准线相切,则圆 C 恒过定点 13 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O1,圆 O2 均与 x 轴相切且圆心O1,O 2 与原点 O 共线,O 1,O 2 两点的横坐标之积为 6,设圆 O1 与圆 O2 相交于P,Q 两点,直线 l:2xy 8=0,则点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 14 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,B 是椭圆 的上顶点,直线 y=b 与椭圆右准线交于点 A,若以 AB 为直径的圆与 x 轴的公共点都在椭圆内部,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时

    5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (14 分)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收费,超出 w 立方米的部分按 10 元/ 立方米收费,从该市随机调查了 10000 位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:(1)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/ 立方米, w 至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的人均水费16 (14 分)设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等式 的解集为,命题 q:函数 f(x

    6、)=lgax 2+(a2)x+ 的定义域为 R,若命题“pq”为真,“pq”为假,求实数 a 的取值范围17 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 经过点 A(1,0) ,B (3,0) ,C( 0,1) (1)求圆 M 的方程;(2)若直线 l“mx2y(2m+1)=0 与圆 M 交于点 P,Q,且 =0,求实数 m的值18 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1(a b0)与直线y=kx(k0)相交于 A,B 两点(从左到右) ,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为C,直线 AC 交椭圆于另一点 D(1)若椭圆的离心率为 ,点 B 的坐标为( ,1) ,

    7、求椭圆的方程;(2)若以 OD 为直径的圆恰好经过点 B,求椭圆的离心率19 (16 分)已知圆 M:x 2+(y4) 2=4,点 P 是直线 l:x2y=0 上的一动点,过点 P 作圆 M 的切线 PA、 PB,切点为 A、B()当切线 PA 的长度为 2 时,求点 P 的坐标;()若PAM 的外接圆为圆 N,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由;()求线段 AB 长度的最小值20 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 (ab0)的离心率为 ,其焦点在圆 x2+y2=1 上(1)求椭圆的方程;(2)设 A,B,M 是椭圆上的

    8、三点(异于椭圆顶点) ,且存在锐角 ,使(i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值;(ii)求 OA2+OB2试卷(附加题)21 (10 分)已知矩阵 ,其中 a,b 均为实数,若点 A(3,1)在矩阵M 的变换作用下得到点 B(3,5) ,求矩阵 M 的特征值22 (10 分)在极坐标系中,设圆 C 经过点 P( , ) ,圆心是直线 sin()= 与极轴的交点(1)求圆 C 的半径;(2)求圆 C 的极坐标方程23 (10 分)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, BAC=90,AB=AC=2,AA 1=6,点 E、F 分别在棱 BB1、CC 1 上,且 BE= BB1,C

    9、1F= CC1(1)求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小;(2)求平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值24 (10 分)已知数列a n满足 a1=1, (1)求证:数列 是等比数列;(2)设 ,求证:当 n2,n N*时,2016-2017 学年江苏省南通市启东高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 (5 分)抛物线 y=x2 的准线方程是 4y +1=0 【解答】解:因为抛物线的标准方程为:x 2=y,焦点在 y 轴上;所以:2p=1,即 p= ,所以: = ,准线方程 y=

    10、= ,即 4y+1=0故答案为:4y+1=02 (5 分)命题“任意正实数 a,函数 f(x)=x 2+ax 在0,+)上都是增函数”的否定是 “ 存在正实数 a,函数 f(x)=x 2+ax 在0,+)上不都是增函数” 【解答】解:命题“ 任意正实数 a,函数 f(x)=x 2+ax 在0,+)上都是增函数”的否定是“存在正实数 a,函数 f(x)=x 2+ax 在0,+)上不都是增函数”故答案为:“ 存在正实数 a,函数 f(x)=x 2+ax 在0,+)上不都是增函数”3 (5 分)已知复数 z 满足( 3+4i)z=5i 2016(i 为虚数单位) ,则|z |= 1 【解答】解:由(

    11、3+4i)z=5i 2016,得 = = ,则|z|= 故答案为:14 (5 分)将参加夏令营的 500 名学生编号为:001,002,500,采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003,这 500 名学生分住在三个营区,从 001 到 200 在第一营区,从 201 到 355 在第二营区,从356 到 500 在第三营区,则第三个营区被抽中的人数为 14 【解答】解:系统抽样的抽取间隔为 =10,随机抽得的第一个号码为 003,被抽到号码 l=10k+3,kN在第三营区中被抽到的号码为 363,373493 ,第三个营区被抽中的人数为 14故答案为:145

    12、(5 分)如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 1023,则判断框中的整数 M 的值是 9 【解答】解:执行程序框图,有A=1,S=1当满足条件 AM,S=1+2+2 2+2M=1023由等比数列的求和公式,可知2M+11=1023,即可解得 M=9故答案为:96 (5 分)在平面直角坐标系内,二元一次方程 Ax+By+C=0(A 2+B20)表示直线的方程,在空间直角坐标系内,三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(A 2+B2+C20)表示平面的方程在平面直角坐标系内,点 P(x 0,y 0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= ,运用类比的思想,我们可以解决下面的问题:在空间直角坐

    13、标系内,点 P(2,1 ,1)到平面 3x+4y+12z+4=0 的距离 d= 2 【解答】解:类比点 P(x 0,y 0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= ,可知在空间中,点 P( x0,y 0,z 0)到平面 Ax+By+Cz+D=0(A 2+B2+C20)的距离,代入数据可知点 P(2,1 ,1)到平面 3x+4y+12z+4=0 的距离 d=2故答案为:27 (5 分)等轴双曲线的离心率为 【解答】解:等轴双曲线中 a=bc= = ae= =故答案为:8 (5 分) “a1” 是“ (a+1 )x 2 对 x(1,+)恒成立”的 充分不必要 条件(填“充分不必要、必要不充分、充

    14、要” ) 【解答】解:若 a1,则 x ,而 1, (1,+) ,是充分条件;若(a +1)x2 对 x(1, +)恒成立,则 x ,只需 1 即可,a 1 ,是不必要条件,故答案为:充分不必要9 (5 分)过点 P(5,4)作直线 l 与圆 O:x 2+y2=25 交于 A,B 两点,若PA=2,则直线 l 的方程为 y=4 或 40x9y164=0 【解答】解:当直线 l 斜率为 0 时,A 与 M 重合,B 与 N 重合,此时 OQ=4,由垂径定理定理得到 Q 为 MN 中点,连接 OM,根据勾股定理得:QM= =3,MN=2QM=6,此时直线 l 方程为 y=4,符合题意;当直线 l

    15、斜率不为 0 时,设为 k,直线 l 方程为 y4=k(x5) ,即 kxy+45k=0,由割线定理得到 AB=MN=6,再由垂径定理得到 C 为 AB 的中点,即AC= AB=3,过 O 作 OCAB,连接 OA,根据勾股定理得:OC= =4,圆心 O 到直线 l 的距离 d= =4,解得:k=0(舍去)或 k= ,则此时直线 l 的方程为 xy+45 =0,即 40x9y164=0,综上,直线 l 的方程为 y=4 或 40x9y164=0故答案为:y=4 或 40x9y164=010 (5 分)已知双曲线的渐近线方程为 ,一个焦点为 ,则双曲线的标准方程是 =1 【解答】解:根据题意,要

    16、求双曲线的一个焦点为 ,在 y 轴上,可以设其标准方程为: =1,且有 a2+b2=c2=8,其渐近线方程为:y= x,又由该双曲线的渐近线方程为 ,则有 = ,联立、可得:a 2=6,b 2=2,则要求双曲线的方程为: =1;故答案为: =111 (5 分)已知椭圆 的离心率 ,A、B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 、,则= 【解答】解:由题意,A( a,0) ,B(a,0) ,设 P(x ,y ) ,则 , =椭圆 的离心率 ,a 2=4b2 = = = = =故答案为:12 (5 分)已知圆心 C 在抛物线 y2=4x 上且与准线

    17、相切,则圆 C 恒过定点 (1,0) 【解答】解:设动圆的圆心到直线 x=1 的距离为 r,因为动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且抛物线的准线方程为 x=1,所以动圆圆心到直线 x=1 的距离与到焦点(1,0)的距离相等,所以点(1,0)一定在动圆上,即动圆必过定点(1,0) 故答案为:(1,0) 13 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O1,圆 O2 均与 x 轴相切且圆心O1,O 2 与原点 O 共线,O 1,O 2 两点的横坐标之积为 6,设圆 O1 与圆 O2 相交于P,Q 两点,直线 l:2xy 8=0,则点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 【解

    18、答】解:设圆 O1:(xx 1) 2+(y kx1) 2=k2x12,圆 O2:(x x2) 2+(ykx 2)2=k2x22,两方程相减可得:2ky=x 1+x22x,与圆 O1 联立可得 x2+y2=6,令 y2x=t,则 y=2x+t,代入可得 5x24tx+t26=0,=30t 20,可得 t ,P 到直线 l 的距离为 ,y2x=t= 时,点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 故答案为: 14 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,B 是椭圆 的上顶点,直线 y=b 与椭圆右准线交于点 A,若以 AB 为直径的圆与 x 轴的公共点都在椭圆内部,则椭圆的离心率 e

    19、 的取值范围是 ( ,1) 【解答】解:如图所示:过圆心 M 作横轴垂线,垂足为 T,圆与横轴交点为N,H则 MT=b,MH=r= ,要使以 AB 为直径的圆与 x 轴的公共点都在椭圆内部,只需TH a 即可,即 MH2MT2(a ) 2,( ) 2b2(a ) 2,化简得 c32a2c+a30e32e+10(e1) (e 2+e1)0e1,e 2+e10e 椭圆的离心率 e 的取值范围是( ,1)二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 (14 分)某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按

    20、4 元/立方米收费,超出 w 立方米的部分按 10 元/ 立方米收费,从该市随机调查了 10000 位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:(1)如果 w 为整数,那么根据此次调查,为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/ 立方米, w 至少定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当 w=3 时,估计该市居民该月的人均水费【解答】解:(1)由频率分布直方图得:用水量在0.5,1)的频率为 0.1,用水量在1,1.5)的频率为 0.15,用水量在1.5,2)的频率为 0.2,用水量在2,2.5)的频率为 0.25,用水量在2.5,3)的频率为

    21、 0.15,用水量在3,3.5)的频率为 0.05,用水量在3.5,4)的频率为 0.05,用水量在4,4.5)的频率为 0.05,用水量小于等于 3 立方米的频率为 85%,为使 80%以上居民在该用的用水价为 4 元/立方米,w 至少定为 3 立方米(2)当 w=3 时,该市居民的人均水费为:(0.11+0.151.5 +0.22+0.252.5+0.153)4+0.0534+0.050.510+0.0534+0.05110+0.0534+0.051.510=10.5,当 w=3 时,估计该市居民该月的人均水费为 10.5 元16 (14 分)设 a 为实数,给出命题 p:关于 x 的不等

    22、式 的解集为,命题 q:函数 f(x)=lgax 2+(a2)x+ 的定义域为 R,若命题“pq”为真,“pq”为假,求实数 a 的取值范围【解答】解:命题 p:|x 1|0, ,a 1;命题 q:不等式 的解集为 R, ,解得;若命题“pq”为真, “pq”为假,则 p,q 一真一假;p 真 q 假时, ,解得 a8;p 假 q 真时, ,解得 ;实数 a 的取值范围为: 17 (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 M 经过点 A(1,0) ,B (3,0) ,C( 0,1) (1)求圆 M 的方程;(2)若直线 l“mx2y(2m+1)=0 与圆 M 交于点 P,Q,且 =0,

    23、求实数 m的值【解答】解:(1)如图,AB 中垂线方程为 x=2,AC 中垂线方程为 y=x,联立 ,解得 M(2, 2) ,又|MA|= ,圆 M 的方程为( x2) 2+(y 2) 2=5;(2) =0,PMQ=90,则|PQ|= ,M 到直线 mx2y(2m +1)=0 的距离为 由 ,解得:m= 18 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1(a b0)与直线y=kx(k0)相交于 A,B 两点(从左到右) ,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为C,直线 AC 交椭圆于另一点 D(1)若椭圆的离心率为 ,点 B 的坐标为( ,1) ,求椭圆的方程;(2)若以 OD 为

    24、直径的圆恰好经过点 B,求椭圆的离心率【解答】解:(1)椭圆的离心率为 ,点 B 的坐标为( ,1) , , ,又 a2=b2+c2,联立解得 a2=4,b 2=c2=2椭圆的方程为: =1(2)设 A(x 1,y 1) ,D(x 2,y 2) ,则 B( x1,y 1) ,C(x 1,0) kAD= =kAC= = ,k BD= = 又 , ,两式相减可得: =0, =0,化为 a2=2b2椭圆的离心率 e= = 19 (16 分)已知圆 M:x 2+(y4) 2=4,点 P 是直线 l:x2y=0 上的一动点,过点 P 作圆 M 的切线 PA、 PB,切点为 A、B()当切线 PA 的长度

    25、为 2 时,求点 P 的坐标;()若PAM 的外接圆为圆 N,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由;()求线段 AB 长度的最小值【解答】解:()由题可知,圆 M 的半径 r=2,设 P(2b ,b) ,因为 PA 是圆 M 的一条切线,所以MAP=90,所以 MP= ,解得所以 4 分()设 P( 2b,b) ,因为 MAP=90,所以经过 A、P、M 三点的圆 N 以 MP为直径,其方程为:即(2x+y4)b(x 2+y24y)=0由 ,7 分解得 或 ,所以圆过定点 9 分()因为圆 N 方程为(x b) 2+(y ) 2=即 x2+

    26、y22bx(b+4)y+4b=0 圆 M: x2+(y4) 2=4,即 x2+y28y+12=0得圆 M 方程与圆 N 相交弦 AB 所在直线方程为:2bx+(b4)y +124b=011分点 M 到直线 AB 的距离 13 分相交弦长即:当 时,AB 有最小值 16 分20 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 (ab0)的离心率为 ,其焦点在圆 x2+y2=1 上(1)求椭圆的方程;(2)设 A,B,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点) ,且存在锐角 ,使(i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值;(ii)求 OA2+OB2【解答】解:(1)依题意,得 c=1于是,a=

    27、 ,b=1 (2 分)所以所求椭圆的方程为 (4 分)(2) (i )设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 , 又设 M(x ,y) ,因 ,故 (7 分)因 M 在椭圆上,故 整理得 将代入上式,并注意 cossin0,得 所以, 为定值 (10 分)(ii) ,故y12+y22=1又 ,故 x12+x22=2所以,OA 2+OB2=x12+y12+x22+y22=3 (16 分)试卷(附加题)21 (10 分)已知矩阵 ,其中 a,b 均为实数,若点 A(3,1)在矩阵M 的变换作用下得到点 B(3,5) ,求矩阵 M 的特征值【解答】解:由题意得: = = , ,解得

    28、a=3,b=2M= ,设矩阵 M 的特征值为 ,则 f()= =0,化为( 2) (1 ) 6=0,化为 234=0,解得 1=1, 2=422 (10 分)在极坐标系中,设圆 C 经过点 P( , ) ,圆心是直线 sin()= 与极轴的交点(1)求圆 C 的半径;(2)求圆 C 的极坐标方程【解答】解:(1)因为圆心为直线 sin( )= 与极轴的交点,所以令 =0,得 =1,即圆心是(1,0) ,又圆 C 经过点 P( , ) ,P( , )的直角坐标为( , ) ,所以圆的半径 r= =1(2)圆 C 的普通方程为(x1) 2+y2=1,即 x2+y22x=0,x 2+y2=2,x=c

    29、os,圆 C 的极坐标方程为 22cos=0,即 =2cos23 (10 分)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, BAC=90,AB=AC=2,AA 1=6,点 E、F 分别在棱 BB1、CC 1 上,且 BE= BB1,C 1F= CC1(1)求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小;(2)求平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值【解答】解:(1)建立如图所示的直角坐标系,则 A(0,0 , 0) ,E (2,0,2) ,A 1(0 ,0,6) ,F(0,2,4) ,从而 =(2 ,0,2) , =(0,2, 2) 2 分记 与 的夹角为 ,则有:cos=cos = 由异面

    30、直线 AE 与 A1F 所成角的范围为(0,) ,得异面直线 AE 与 A1F 所成角为 604 分(2)记平面 AEF 和平面 ABC 的法向量分别为 和 ,则由题设可令 =(x ,y,z ) ,且有平面 ABC 的法向量为 ,由 ,取 x=1,得 =(1,2,1) 8 分记平面 AEF 与平面 ABC 所成的角为 ,则 cos=|cos |=| |= 平面 AEF 与平面 ABC 所成角的余弦值为 10 分24 (10 分)已知数列a n满足 a1=1, (1)求证:数列 是等比数列;(2)设 ,求证:当 n2,n N*时,【解答】证明:(1)数列a n满足 a1=1, = =3 =1,数列 是等比数列,首项为 1,公比为 3(2)由(1)可得: =3n1,可得 an+2=n3n1bn= = 当 n2,nN *时,b n+1+bn+2+b2n= +下面利用数学归纳法证明: 当 n=2 时,b 3+b4= = = 假设 n=kN*,k2b k+1+bk+2+b2k 则 n=k+1 时,b k+2+bk+3+b2k+b2k+1+b2k+2 + + = n=k+1 时,假设成立综上可得:当 n2,nN *时,


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