1、2016-2017 学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，共 70 分）.1 （5 分）若直线（a2）xy+3=0 的倾斜角为 45，则实数 a 的值为 2 （5 分）设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设 t 秒时的速度为 v（t）=3t21 米/秒，则在 2 秒是加速度为 米/秒 23 （5 分）圆 x2+y2+4x4y8=0 与圆 x2+y22x+4y+1=0 的位置关系是 4 （5 分）在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，若 AA1=2AB，则异面直线 BD1 与 CC1所成角的正切值为 5 （5 分）设两条直线 x+y2=0，3
2、xy2=0 的交点为 M，若点 M 在圆（x m）2+y2=5 内，则实数 m 的取值范围为 6 （5 分）若点 A（6，y ）在抛物线 y2=8x 上，F 为抛物线的焦点，则 AF 的长度为 7 （5 分）已知一个圆锥的侧面积是 50cm2，若母线与底面所成角为 60，则此圆锥的底面半径为 8 （5 分）如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为 S1，S 2，S 3，则 S1，S 2，S 3 大小关系为 9 （5 分）给出下列三个命题：若命题 p：2 是实数，命题 q：2 是奇数，则 p 或 q 为真命题；记函数 f（x）是导函数为 f（x） ，若
3、 f（x 0）=0，则 f（x 0）是 f（x）的极值；“a=3”是“直线 l1：x+ay3=0，l 2：（a 1）x +2ay+1=0 平行“的充要条件则真命题的序号是 10 （5 分） （文）设 f（x）=sinx 2cosx+1 的导函数为 f（x ） ，则 f（ ）= 11 （理）设向量 =（2， 2s2，t+2） ， =（4，2s+1，3t2） ，且 ，则实数s+t= 12 （5 分）如图是正四面体的平面展开图，G ，H，M，N 分别为DE，BE，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，有以下结论：GH 与 EF 平行；BE 与 MN 为异面直线；GH 与 AF 成 60角；MN平面
4、 ADF；其中正确结论的序号是 13 （5 分）过双曲线 =1（a0，b0）的左焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切线，切点为 M，延长 FM 交双曲线右支于点 P，若 M 为 FP 的中点，则双曲线的离心率是 14 （5 分）已知 f（x ）=ax + ，g （x ）=e x3ax，a0，若对 x1（0，1） ，存在x2（1，+ ） ，使得方程 f（x 1）=g（x 2）总有解，则实数 a 的取值范围为 15 （5 分）已知直线 ax+by+c=0 始终平分圆 C：x 2+y22x+4y4=0（C 为圆心）的周长，设直线 l：（2ab）x+（2bc）y+（2c a）=0，过点 P（6，9）
5、作 l 的垂线，垂足为 H，则线段 CH 长度的取值范围是 二、解答题：本大题共 7 小题，共 90 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程16 （14 分）设直线 l1：mx 2my6=0 与 l2：（3m）x+my+m 23m=0（1）若 l1l 2，求 l1，l 2 之间的距离；（2）若直线 l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线 l2 的方程17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD 是梯形， ADBC，ABC=90，平面 PAB平面 ABCD，PBAB 且 AD=AB=BP= BC（1）求证：CD平面 PBD；（2）已知点 Q 在 PC 上，若 AC
6、与 BD 交于点 O，且 AP平面 BDQ，求证：OQ平面 APD18 （14 分）已知直线 l：y=2x+n，n R，圆 M 的圆心在 y 轴，且过点（1，1） （1）当 n=2 时，若圆 M 与直线 l 相切，求该圆的方程；（2）设直线 l 关于 y 轴对称的直线为 l，试问直线 l与抛物线 N：x 2=6y 是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由19 （16 分） （文科）已知 mR，集合 A=m|m2am12a 2（a 0）；集合B=m|方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，若“m A”是“mB”的充分不必要条件，求 a 的取值范围20 （理科）如图，在正方体
7、ABCDA1B1C1D1，O 是 AC 的中点，E 是线段 D1O 上一点，且 =（1）若 = ，求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值；（2）若二面角 D1CED 为 ，求 的值21 （16 分）已知函数 f（ x）=lnx + 2，aR （1）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 2x+y3=0，求 a 的值；（2）求函数 y=f（x）的单调区间；（3）若曲线 y=f（x）都在直线（a+1）x+y 2（a 1）=0 的上方，求正实数 a 的取值范围22 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C： + =1（a0，b 0）的离心率为 ，过 C 的左
8、焦点 F1，且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1（1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点P 是点 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP 交直线 l 于点 Q设直线 OQ，BP 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2 为定值；当点 P 运动时，试判断点 Q 与以 BP 为直径的圆的位置关系？并证明你的结论2016-2017 学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，共 70 分）.1 （5 分）若直线（a2）xy+3=0 的倾斜角为
9、 45，则实数 a 的值为 3 【解答】解：因为直线（a2）xy+3=0 的倾斜角为 45，所以直线的斜率为tan45=a2=1，所以 a=3；故答案为：32 （5 分）设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设 t 秒时的速度为 v（t）=3t21 米/秒，则在 2 秒是加速度为 12 米/秒 2【解答】解：v（t ）=3t 21，v（t）=6t，根据导数的物理意义，可知 t=2 时物体的加速度为即为 v（2） ，v（2）=62=12，故答案为：123 （5 分）圆 x2+y2+4x4y8=0 与圆 x2+y22x+4y+1=0 的位置关系是 相交 【解答】解：圆 x2+y2+4x4y8=0，即
10、（x +2） 2+（y 2） 2 =16，表示以（ 2，2）为圆心、半径等于 4 的圆圆 x2+y22x+4y+1=0，即（x1） 2+（y +2） 2=4，表示以（1，2）为圆心、半径等于 2 的圆两个圆的圆心距为 d= =5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故答案为：相交4 （5 分）在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，若 AA1=2AB，则异面直线 BD1 与 CC1所成角的正切值为 【解答】解：在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，CC1BB 1，B 1BD1 是异面直线 BD1 与 CC1 所成角，设 AA1=2AB=2，则 B1D1= ，BB
11、1=2，tanB 1BD1= = 异面直线 BD1 与 CC1 所成角的正切值为 故答案为： 5 （5 分）设两条直线 x+y2=0，3xy2=0 的交点为 M，若点 M 在圆（x m）2+y2=5 内，则实数 m 的取值范围为 （ 1，3） 【解答】解：由题意可知： ，解得 ，交点（1，1） ，交点 M 在圆（ xm） 2+y2=5 的内部，可得（1m） 2+15，解得1m3实数 m 的取值范围为：（ 1，3 ） 故答案为：（1，3） 6 （5 分）若点 A（6，y ）在抛物线 y2=8x 上，F 为抛物线的焦点，则 AF 的长度为 8 【解答】解：由于抛物线 y2=8x 的焦点 F（ 2，
12、0） ，其准线方程为 x=2，该抛物线的一点 A 到 y 轴距离为 6，则点 A 到准线的距离为 6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|=8，故答案为：87 （5 分）已知一个圆锥的侧面积是 50cm2，若母线与底面所成角为 60，则此圆锥的底面半径为 5 【解答】解：设圆锥的底面半径为 R，则母线长为 2R，圆锥的侧面积是 50cm2，50=R 2R，解得 R=5cm故答案为 58 （5 分）如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为 S1，S 2，S 3，则 S1，S 2，S 3 大小关系为 S2S 3S 1 【解答】解：设球的半径为 R，正方体
13、的棱长为 a，等边圆柱的底面半径为 r，且它们的体积都为 V，则 V= ，解得 ，a= ，r= ，S 1=6a2=6（ ） 2=6 = ，S2=4R2=4（ ） 2= ，S3=2 = S 2S 3S 1故答案为：S 2S 3S 19 （5 分）给出下列三个命题：若命题 p：2 是实数，命题 q：2 是奇数，则 p 或 q 为真命题；记函数 f（x）是导函数为 f（x） ，若 f（x 0）=0，则 f（x 0）是 f（x）的极值；“a=3”是“直线 l1：x+ay3=0，l 2：（a 1）x +2ay+1=0 平行“的充要条件则真命题的序号是 【解答】解：对于，因为命题 p 为真，p 或 q 为
14、真命题，故正确；对于，例如函数 f（x） =x3 满足 f（0）=0 ，但 f（0）不是 f（x）的极值，故错；对于，当 a=0 时，直线 l1：x+ay 3=0，l 2：（a1）x+2ay +1=0 平行，故错；故答案为：10 （5 分） （文）设 f（x）=sinx 2cosx+1 的导函数为 f（x ） ，则 f（ ）= 【解答】解：f（x）=sinx2cosx+1 的导函数为 f（x）=cosx+2sinx，f（ ） =cos +2sin = +2 = ，故答案为：11 （理）设向量 =（2， 2s2，t+2） ， =（4，2s+1，3t2） ，且 ，则实数s+t= 【解答】解： ，存
15、在实数 k，使得 =k ，则 ，解得 k= ，s= ，t=6 s+t= 故答案为： 12 （5 分）如图是正四面体的平面展开图，G ，H，M，N 分别为DE，BE，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，有以下结论：GH 与 EF 平行；BE 与 MN 为异面直线；GH 与 AF 成 60角；MN平面 ADF；其中正确结论的序号是 【解答】解：正四面体的平面展开图还原成正四面体，如图：在中，GH 与 EF 是异面直线，故错误；在中，BE 与 MN 相交于点 N，故错误；在中，GHAD，GH 与 AF 成 60角，故正确；在中，MNAF，MN平面 ADF，故正确故答案为：13 （5 分）过双曲线
16、 =1（a0，b0）的左焦点 F 作圆 x2+y2=a2 的切线，切点为 M，延长 FM 交双曲线右支于点 P，若 M 为 FP 的中点，则双曲线的离心率是 【解答】解：如图|OF|=c，|OM|=a，|FG|=2c；|F|=b，又M 为 PF 的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF|=2b，|PF |PG|=2b2a=2a；b=2a，c= a，e= = 故答案为 14 （5 分）已知 f（x ）=ax + ，g （x ）=e x3ax，a0，若对 x1（0，1） ，存在x2（1，+ ） ，使得方程 f（x 1）=g（x 2）总有解，则实数 a 的取值范围为 ，+） 【解答】解：当 x（0
17、 ，1）时，f（x）=ax+ 为减函数，由 f（1）=2a 得：f （x ）的值域为（2a，+） ，若若对x 1（ 0，1） ，存在 x2（1，+） ，使得方程 f（x 1）=g（x 2）总有解，则 g（ x）的值域 B 应满足（ 2a，+） B，令 g（x）=e x3a=0，则 ex=3a，即 x=ln3a，若 ln3a1，即 3ae，此时 g（x ）g （1）=e 3a，此时由 e3a2a 得： a ，若 ln3a1，即 3ae，g（ x）= （1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+）上为增函数，此时当 x=ln3a 时，函数取最小值 3a（1 ln3a）02a 满足条件；综上可得：实
18、数 a 的取值范围为 ，+）故答案为： ，+） 15 （5 分）已知直线 ax+by+c=0 始终平分圆 C：x 2+y22x+4y4=0（C 为圆心）的周长，设直线 l：（2ab）x+（2bc）y+（2c a）=0，过点 P（6，9）作 l 的垂线，垂足为 H，则线段 CH 长度的取值范围是 【解答】解：由题意，圆心 C（1， 2）在直线 ax+by+c=0 上，可得 a2b+c=0，即 c=2ba直线 l：（ 2ab）x+（2bc）y+（2c a）=0 ，即 a（2x+y3）+b（4x）=0，由 ，可得 x=4，y=5，即直线过定点 M（ 4，5） ，由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，
19、圆心为 A（5，2） ，方程为（x5） 2+（y2）2=50，|CA|=4CH 最小为 5 = ，CH 最大为 4 ，线段 CH 长度的取值范围是 故答案为 二、解答题：本大题共 7 小题，共 90 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程16 （14 分）设直线 l1：mx 2my6=0 与 l2：（3m）x+my+m 23m=0（1）若 l1l 2，求 l1，l 2 之间的距离；（2）若直线 l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线 l2 的方程【解答】解：（1）若 l1 l2，则 ，m=6，l 1：x2y1=0 ，l 2：x2y6=0l 1，l 2 之间的距离 d= = ；（
20、2）由题意， ，0m3，直线 l2 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S= m（3 m）= + ，m= 时，S 最大为 ，此时直线 l2 的方程为 2x+2y3=017 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD 是梯形， ADBC，ABC=90，平面 PAB平面 ABCD，PBAB 且 AD=AB=BP= BC（1）求证：CD平面 PBD；（2）已知点 Q 在 PC 上，若 AC 与 BD 交于点 O，且 AP平面 BDQ，求证：OQ平面 APD【解答】证明：（1）平面 PAB平面 ABCD，PBAB，平面 PAB平面ABCD=AB，PB 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，
21、CDPB，AD=AB= BC，BAD=90，BD= AD，BC=2AD，DBC=45 ，BDC=90，CDBD ，PB BD=B，CD平面 PBD；（2）AP平面 BDQ，AP OQ，OQ平面 APD，AP平面 APD，OQ平面 APD18 （14 分）已知直线 l：y=2x+n，n R，圆 M 的圆心在 y 轴，且过点（1，1） （1）当 n=2 时，若圆 M 与直线 l 相切，求该圆的方程；（2）设直线 l 关于 y 轴对称的直线为 l，试问直线 l与抛物线 N：x 2=6y 是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由【解答】解：（1）设 M 的方程为 x2+（yb ） 2=
22、r2，（1，1）代入，可得 1+（1b ） 2=r2，直线 l 与圆 M 相切， =r，由可得 b=3 或 ，M 的方程为 x2+（y3） 2=5，或 x2+（y ） 2= ，（2）因为直线 l 的方程为 y=2x+n所以直线 l的方程为 y=2x+n与抛物线联立得 x2+12x6n=0=144+24n当 n=6，即=0 时，直线 l与抛物线 C 相切；，切点坐标为（6，6）当 n6，即0 时，直线 l与抛物线 C 不相切19 （16 分） （文科）已知 mR，集合 A=m|m2am12a 2（a 0）；集合B=m|方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，若“m A”是“mB”的充分不必要
23、条件，求 a 的取值范围【解答】解：对于集合 A，由 m2am12a 2，故（m4a ） （m+3a）0，对于集合 B，解 ，解得： 4m2；a 0 时，集合 A：3a m4a，若“mA”是“m B”的充分不必要条件，则 ，解得：0a ；a 0 时，集合 A：am 3a，若“mA”是“m B”的充分不必要条件，则 ，解得： a0，综上：a （ ，0）（0， ） 20 （理科）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1，O 是 AC 的中点，E 是线段 D1O 上一点，且 =（1）若 = ，求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值；（2）若二面角 D1CED 为 ，求 的值【解答】解：（1）设
24、正方体的棱长为 1，分别以 DA、 DC、DD 1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（1，0 ， 0） ，O（ ，0） ，C（0，1，0） ，D 1（0，0，1） ，D（0，0，0） ，设 E（x 0，y 0，z 0） ， = ， = ，（x 0，y 0，z 01）= （ ， ， x0） ，解得 x0= ， y0= ，z 0= ，E（ ， ， ） ， =（ ， ， ） ， CD1=（0， 1，1） ，cos ， = = ，异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值为 （2）设平面 CD1E 的法向量为 =（x，y ，z） ，=（ ，0） ， =（0， 1，1） ， =（0， 1，
25、0） ，则 ，取 z=1，得 =（1，1，1） ，由 = ，01，得 E（ ， ， ） ， =（ ， ） ，设平面 CDE 的法向量 =（x，y ，z） ，则 ，取 x=2，得 =（ 2，0， ） ，二面角 D1CED 为 ，|cos |= = ，由 01，解得 =82 21 （16 分）已知函数 f（ x）=lnx + 2，aR （1）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 2x+y3=0，求 a 的值；（2）求函数 y=f（x）的单调区间；（3）若曲线 y=f（x）都在直线（a+1）x+y 2（a 1）=0 的上方，求正实数 a 的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域是
26、（0，+） ，f（x ）= ，f（1）=1a，f（1）=a 2，故曲线 y=f（x）在（1，f（1） ）处的曲线方程是：y（a 2）= （1a） （x1） ，即（a 1）x +y2a+3=0，又曲线 y=f（x）在（1，f（1） ）处的切线为：2x +y3=0，故 a=3；（2）由于 f（ x）= ，若 a0，对于 x（0，+） ，f（x ）0 恒成立，即 f（x）在（0，+）递增，故函数的递增区间是（0，+） ；若 a0，当 x（0，a）时，f（x ）0，f（x）递减，x（a，+）时，f （x）0，f（x）递增，故 f（x）在（0，a）递减，在（a，+）递增；（3）a0 时，直线即 y=（a
27、+1）x +2（a 1） ，令 g（ x）=f（x）（a+1）x +2（a 1）=lnx+ +（ a+1）x2a，g（x ）= ，a 0 ，x0，a+10，x+10，且 （0， 1） ，当 0x 时，g（x ） 0，g （x ）在（0， ）递减，x 时，g （x）0， g（x ）在（ ，+）递增，故 x= 时， g（x）取得最小值 ln +a+1+a2a=1+ln ，曲线 y=f（x）都在直线（a+1）x+y 2（a 1）=0 的上方，故 g（ x）0，故 g（ x） min=1+ln 0 ， ，a ，故 a 的范围是（ ，+） 22 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C
28、： + =1（a0，b 0）的离心率为 ，过 C 的左焦点 F1，且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1（1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点P 是点 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AP 交直线 l 于点 Q设直线 OQ，BP 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2 为定值；当点 P 运动时，试判断点 Q 与以 BP 为直径的圆的位置关系？并证明你的结论【解答】解（1）：由离心率 e= = = ，可得 a2=4b2，过点 F 垂直于 x 轴的直线被椭圆所截得弦长为 1， =1，解得 b=1，a=2，椭圆 C 方程为 +y2=1（2）证明：令 P（x 0， y0） ，点 A（ 2，0）则直线 PA 的方程为y= （x+ 2） ，令 x=2，得 y= ，则 Q 点的坐标为（2， ）k 1= ，k 2= k 1k2= ，P（x 0，y 0）满足 +y2=1，则k 1k2= ，以 BP 为直径的圆的方程为（x 2） （x x0）+y （yy 0）=0 ，把 Q 点（2， ）代入方程左边，得 （ y0）=4 =4 =4 （*） ，x 0（2，2） ，x 0+20，（* ） 0，Q 与以 BP 为直径的圆外，
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