1、2016-2017 学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分） “mn 0” 是“ 方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ）A充而分不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2 （3 分）已知 F1（3，0） ，F 2（3，0） ，动点 P 满足 |PF1|PF2|=4，则点 P 的轨迹是（ ）A双曲线 B双曲线的一支 C一条射线 D不存在3 （3 分）在空间直角坐标中，点 P（1，2， 3）到平面 xOz 的距离是
2、（ ）A1 B2 C3 D4 （3 分）已知空间两点 A（3，3，1） ，B （1，1 ，5） ，则线段 AB 的长度为（ ）A6 B C D5 （3 分）抛物线 y2= x 的准线方程是（ ）Ay= By= Cx= Dx=6 （3 分）焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 ，则椭圆的标准方程为（ ）A BC D7 （3 分）直线 l1、l 2 的方向向量分别为 ， ，则（ ）Al 1l 2 Bl 1l 2C l1 与 l2 相交不平行 Dl 1 与 l2 重合8 （3 分）已知在空间四边形 ABCD 中， ， ， ，则 =（ ）A B C D9 （3 分）已知 F1，F 2 是
3、双曲线 的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，若 PF 2Q=90，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D10 （3 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ）A2 B3 C6 D8二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）11 （5 分）顶点在原点，对称轴是 y 轴，且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线标准方程是 12 （5 分）已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是 13 （5 分）已知椭圆 的三个顶点 B1（0，b） ，B 2（0，b） ，A（a ，
4、0 ） ，焦点 F（c，0） ，且 B1FAB 2，则椭圆的离心率为 14 （5 分） （理）已知 A（1，0，0） ，B （0，1，1 ） ， + 与 的夹角为120，则 = 三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15 （10 分）求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点在 y 轴上，c=6， ；（2）经过点（2，0） ， 16 （10 分）已知 A、B 为抛物线 E 上不同的两点，若抛物线 E 的焦点为（1，0） ，线段 AB 恰被 M（2，1）所平分 （）求抛物线 E 的方程；（）求直线 AB 的方程17 （10 分）如图，四棱锥 PAB
5、CD 的底面 ABCD 为矩形， PA底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M 为线段 PC 的中点，N 在线段 BC 上，且 BN=1（）证明：BMAN ；（）求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值18 （10 分）已知椭圆 + =1（ab 0）过点 A（a ，0） ，B （0，b ）的直线倾斜角为 ，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数 k，使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、Q 两点，以 PQ 为直径的圆过点 D（1，0）？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由19 （10 分）如图是一个直三棱柱（以 A1B1C1 为底面）被一平面所截得到的几何体，
6、截面为 ABC已知A 1B1C1=90，AA 1=4，BB 1=2，CC 1=3，A 1B1=B1C1=1（1）设点 O 是 AB 的中点，证明：OC平面 A1B1C1；（2）求二面角 BACA1 的正弦值2016-2017 学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分） “mn 0” 是“ 方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（ ）A充而分不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：当“mn0
7、”时”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”成立，即“m n0” 方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”为真命题，当“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”时“mn0”也成立，即“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”“mn 0” 也为真命题，故“m n0”是”方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”的充要条件，故选：C2 （3 分）已知 F1（3，0） ，F 2（3，0） ，动点 P 满足 |PF1|PF2|=4，则点 P 的轨迹是（ ）A双曲线 B双曲线的一支 C一条射线 D不存在【解答】解：F 1（3，0）
8、 ， F2（3，0） ，动点 P 满足 |PF1|PF2|=4，因为|F 1F2|=64，则点 P 的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支故选：B3 （3 分）在空间直角坐标中，点 P（1，2， 3）到平面 xOz 的距离是（ ）A1 B2 C3 D【解答】解：点 P（1， 2，3） ，点 P（1 ，2，3）到平面 xOz 的距离是 2，故选 B4 （3 分）已知空间两点 A（3，3，1） ，B （1，1 ，5） ，则线段 AB 的长度为（ ）A6 B C D【解答】解：空间两点 A（3，3，1） ，B （1，1， 5） ，则线段 AB 的长度为|AB|= =6故选：A5 （3 分）抛物线 y2
9、= x 的准线方程是（ ）Ay= By= Cx= Dx=【解答】解：抛物线 y2= x 的开口向左，且 2p= ， =抛物线 y2= x 的准线方程是 x=故选 D6 （3 分）焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 ，则椭圆的标准方程为（ ）A BC D【解答】解：焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 ，可得 a+b=10，2c=4 ，c=2 ，即 a2b2=20，解得 a2=36，b 2=16，所求椭圆方程为： 故选：C7 （3 分）直线 l1、l 2 的方向向量分别为 ， ，则（ ）Al 1l 2 Bl 1l 2C l1 与 l2 相交不平行 Dl 1 与 l2
10、 重合【解答】解：直线 l1、 l2 的方向向量分别为 ，183 212=0，l 1l 2故选 A8 （3 分）已知在空间四边形 ABCD 中， ， ， ，则 =（ ）A B C D【解答】解：在空间四边形 ABCD 中， ， ， ， = =（ ） =（ ）= 故选：B9 （3 分）已知 F1，F 2 是双曲线 的两个焦点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，若 PF 2Q=90，则双曲线的离心率为（ ）A2 B C D【解答】解：PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，PF 2Q=90，|PF 1|=|F1F2| =2c，e 22e1=0，e1，e=1+ 故选：D10
11、 （3 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ）A2 B3 C6 D8【解答】解：由题意，F（1，0） ，设点 P（x 0，y 0） ，则有 ，解得，因为 ， ，所以 = ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=2，因为2x 02，所以当 x0=2 时， 取得最大值 ，故选 C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）11 （5 分）顶点在原点，对称轴是 y 轴，且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线标准方程是 x 2=24y 【解答】解：顶点在原点，对称轴是 y 轴，且顶点与焦点的距离等于 6，可得抛物线方程 p
12、=12，所求抛物线方程为：x 2=24y故答案为：x 2=24y12 （5 分）已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且其中一条渐近线为，则该双曲线的标准方程是 【解答】解：双曲线与椭圆 有相同的焦点（ ，0） ，焦点坐标在x 轴，双曲线的一条渐近线为 ，可得 = ，a 2+b2=13，可得 a2=4，b 2=9所求双曲线方程为： 故答案为： 13 （5 分）已知椭圆 的三个顶点 B1（0，b） ，B 2（0，b） ，A（a ，0 ） ，焦点 F（c，0） ，且 B1FAB 2，则椭圆的离心率为 【解答】解：椭圆 的三个顶点 B1（0，b） ，B 2（0，b） ，A（a ，0 ） ，焦点 F（c，0
13、） ，且 B1FAB 2，可得： =0，即 b2=ac，即 a2c2ac=0，可得 e2+e1=0，e（0，1） ，解得 e= 故答案为： 14 （5 分） （理）已知 A（1，0，0） ，B （0，1，1 ） ， + 与 的夹角为120，则 = 【解答】解： + =（1，0，0）+（0， 1，1） =（1， ，） + 与 的夹角为 120，cos120= = ，化为 ，0，= 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15 （10 分）求满足下列条件的椭圆的标准方程（1）焦点在 y 轴上，c=6， ；（2）经过点（2，0） ， 【解答
14、】 （1）解：由 得， ，解得，a=9，a 2=b2+c2， b 2=a2c2=8136=45，焦点在 y 轴上，椭圆的标准方程为 ；（2）解：由 e= ，设 a=2k，c= （k0） ，则 b= ，由于椭圆经过点为（2，0） ，即为椭圆的顶点，且在 x 轴上，若点（2，0）为长轴的顶点，则 a=2，此时 2k=2，k=1，得 b=1，则椭圆的标准方程为 若点（2，0）为短轴的顶点，则 b=2，此时 k=2，得 a=4，则椭圆的标准方程为 16 （10 分）已知 A、B 为抛物线 E 上不同的两点，若抛物线 E 的焦点为（1，0） ，线段 AB 恰被 M（2，1）所平分 （）求抛物线 E 的方
15、程；（）求直线 AB 的方程【解答】解：（）令抛物线 E 的方程：y 2=2px（ p0）抛物线 E 的焦点为（1， 0） ，p=2抛物线 E 的方程：y 2=4x （）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y12=4x1，y 22=4x2，两式相减，得（y 2y1）/（y 1+y2）=4（x 2x1）线段 AB 恰被 M（2，1）所平分y 1+y2=2 =2AB 的方程为 y1=2（x2） ，即 2xy3=017 （10 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为矩形， PA底面ABCD，BC=4，AB=PA=2，M 为线段 PC 的中点，N 在线段 BC 上，且
16、BN=1（）证明：BMAN ；（）求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值【解答】 （本题满分 12 分）解：如图，以 A 为原点，分别以 ， ， 的方向为 x，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0，0 ， 0） ，B（2 ，0，0） ，C（2，4，0） ，D（0，4，0 ） ，P（0，0，2） ，M（1，2，1） ，N（2，1，0） ，（3 分）（） =（2，1，0） ， =（ 1，2，1） ， （4 分） =0（5 分） ，即 ANBM（6 分）（）设平面 PCD 的法向量为 =（x，y ，z） ， （7 分） =（ 2，4，2） ， =（ 0，4，2） ，由 ，
17、可得 ，（9 分）解得： ，取 y=1 得平面 MBD 的一个法向量为 =（0，1，2） ，（10 分）设直线 MN 与平面 PCD 所成的角为 ，则由 =（1，1，1） ，（11 分）可得：sin=|cos ， |=| |= = （12 分）18 （10 分）已知椭圆 + =1（ab 0）过点 A（a ，0） ，B （0，b ）的直线倾斜角为 ，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数 k，使直线 y=kx+2 交椭圆于 P、Q 两点，以 PQ 为直径的圆过点 D（1，0）？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）椭圆 + =1（ab0）过点 A（a
18、 ，0） ，B （0，b ）的直线倾斜角为 ，原点到该直线的距离为 ， ， ，解得 a= ，b=1，椭圆方程是 （2）将 y=kx+2 代入 ，得（3k 2+1）x 2+12kx+9=0设 P（ x1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，以 PQ 为直径的圆过 D（1，0）则 PDQD，即（x 11） （x 21）+y 1y2=0，又 y1=kx1+2，y 2=kx2+2，得（k 2+x）x 1x2+（2k1） （x 1+x2）+5=0，又 ， ，代上式，得 k= ，此方程中，=144k 236（3k 2+1）0 ，k1，或 k1存在 k= 满足题意19 （10 分）如图是一个直三棱柱（以 A
19、1B1C1 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABC已知A 1B1C1=90，AA 1=4，BB 1=2，CC 1=3，A 1B1=B1C1=1（1）设点 O 是 AB 的中点，证明：OC平面 A1B1C1；（2）求二面角 BACA1 的正弦值【解答】 （本题满分 10 分）（1）证明：如图，以 B1 为原点，分别以 的方向为 x 轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 （1 分）依题意，因为 ，（3 分）所以 ，所以 ，又 OC平面 A1B1C1，所以 OC平面 A1B1C1（4 分）（2）解：依题意，结合（1）中的空间直角坐标系，得 A（0，1，4） ，B（0 ，0，2 ） ，C （1，0， 3） ，A 1（0，1，0） ，则 ，（5 分）设 为平面 ABC 的一个法向量，由 得 解得不妨设 z1=1，则 x1=1，y 1=2，所以 （7 分）设 为平面 ACA1 的一个法向量，由 得 解得不妨设 y2=1，则 x2=1，所以 （9 分）因为， ，于是 ，所以，二面角 BACA1 的正弦值为 （10 分）
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