1、2017-2018 学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案涂在机读答题卡）1 （5 分）抛物线：y=x 2 的焦点坐标是（ ）A B C D2 （5 分）在平均变化率的定义中，自变量的增量x 满足（ ）Ax0 Bx0 Cx=0 Dx03 （5 分）双曲线 x2y2=1 的离心率为（ ）A B2 C4 D14 （5 分）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）A1 B2 C3 D45 （5 分）已知 f（x ）=x 5+3sinx，则 f（x）等于（ ）A
2、5x63cosx Bx 6+3cosxC 5x6+3cosx Dx 63cosx6 （5 分）函数 y=1+3xx3 有（ ）A极小值1 ，极大值 1 B极小值 2，极大值 3C极小值2，极大值 2 D极小值 1，极大值 37 （5 分）点 P 是椭圆 上的点，F 1、F 2 是椭圆的左、右焦点，则PF1F2 的周长是（ ）A12 B10 C8 D68 （5 分）抛物线 y2=ax（a0）的准线方程是（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=9 （5 分）若函数 f（x ） =x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f（x）的图象是（ ）A B C D10 （5 分）如果 x2+ky2=2
3、表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B （0，2） C （1，+） D （0，+）11 （5 分）已知 y= x3+bx2+（b +2）x +3 是 R 上的单调增函数，则 b 的取值是（ ）Ab 1 或 b2 Bb2 或 b2 C 1b2 D1b212 （5 分）设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为（ ）Ay=x1 或 y=x+1 By= （x1）或 y= （x1）C y= （x1）或 y= （x1） Dy= （x1）或 y= （x1）二、填空题：本大题共
4、4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）双曲线 的渐近线方程为 14 （5 分）函数 f（x ）=x 33x2+4 的减区间是 15 （5 分）若曲线 y=ax2lnx 在点（1，a）处的切线平行于 x 轴，则 a= 16 （5 分）设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，P是 C 上的点，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）求椭圆 9x2+y2=81 的长轴的长轴和短轴长、离心率、交点坐标、顶点坐标18 （12 分）已知函
5、数 f（ x）=2xlnx（1）求这个函数的导数（2）求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程19 （12 分） （1）求焦点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为 的双曲线的标准方程；（2）求经过点 P（2，4）的抛物线的标准方程20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+3x2+9x+a（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值21 （12 分）已知椭圆 C：4x 2+y2=1 及直线 l：y=x+m（1）当 m 为何值时，直线 l 与椭圆 C 有公共点？（2）若直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B，线段 AB 的长为 ，
6、求直线 l 的方程22 （12 分）已知函数 f（ x）=kx 3+3（k1）x 2k2+1 在 x=0，x=4 处取得极值（1）求常数 k 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值；（3）设 g（x）=f（x）+c，且x 1，2，g （x ）2x+1 恒成立，求 c 的取值范围2017-2018 学年甘肃省武威高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案涂在机读答题卡）1 （5 分）抛物线：y=x 2 的焦点坐标是（ ）A B C D【解答】解：抛物线 x2=y，焦
7、点在 y 正半轴上，p= ，焦点坐标为（0， ） ，故选 B2 （5 分）在平均变化率的定义中，自变量的增量x 满足（ ）Ax0 Bx0 Cx=0 Dx0【解答】解：由导数的定义，可得自变量 x 的增量 x 可以是正数、负数，不可以是 0故选：D3 （5 分）双曲线 x2y2=1 的离心率为（ ）A B2 C4 D1【解答】解：因为双曲线 x2y2=1，所以 a=b=1，c= ，所以双曲线的离心率为：e= = 故选：A4 （5 分）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）A1 B2 C3 D4【解答】解：已知曲线 的一条切线的斜率为 ， = ，x=1，则切点的横坐标为 1，故选
8、A5 （5 分）已知 f（x ）=x 5+3sinx，则 f（x）等于（ ）A 5x63cosx Bx 6+3cosxC 5x6+3cosx Dx 63cosx【解答】解：f（x）=x 5+3sinx，f（x）=5x 6+3cosx，故选：C6 （5 分）函数 y=1+3xx3 有（ ）A极小值1 ，极大值 1 B极小值 2，极大值 3C极小值2，极大值 2 D极小值 1，极大值 3【解答】解：y=33x 2=3（ 1+x） （1 x） 令 y=0 得 x1=1，x 2=1当 x1 时，y0，函数 y=1+3xx3 是减函数；当1 x1 时，y0，函数 y=1+3xx3 是增函数；当 x1 时
9、，y0，函数 y=1+3xx3 是减函数当 x=1 时，函数 y=1+3xx3 有极小值 1；当 x=1 时，函数 y=1+3xx3 有极大值3故选项为 D7 （5 分）点 P 是椭圆 上的点，F 1、F 2 是椭圆的左、右焦点，则PF1F2 的周长是（ ）A12 B10 C8 D6【解答】解：椭圆 ，可得 a=3，c=2，|PF 1|+|PF2|=2a=6，2c=4，则PF 1F2 的周长是：2a+2c=10故选：B8 （5 分）抛物线 y2=ax（a0）的准线方程是（ ）Ax= Bx= Cx= Dx=【解答】解：（1）当 a0 时，焦点在 x 轴上，且 2p=a， ，抛物线的准线方程是 ；
10、（2）同理，当 a0 时，也有相同的结论故选 A9 （5 分）若函数 f（x ） =x2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f（x）的图象是（ ）A B C D【解答】解：函数 f（x ）=ax 2+bx+c 的图象开口向上且顶点在第四象限，a 0 ， 0，b0，f（x）=2ax+b，函数 f（x）的图象经过一，三，四象限，A 符合，故选 A10 （5 分）如果 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是（ ）A （0 ，1 ） B （0，2） C （1，+） D （0，+）【解答】解：x 2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，把 x2+ky2=2
11、转化为椭圆的标准方程，得 ， ，解得 0k1实数 k 的取值范围是（0，1） 故选：A11 （5 分）已知 y= x3+bx2+（b +2）x +3 是 R 上的单调增函数，则 b 的取值是（ ）Ab 1 或 b2 Bb2 或 b2 C 1b2 D1b2【解答】解：已知 y= x3+bx2+（b +2）x +3y=x 2+2bx+b+2，y= x3+bx2+（b+2 ）x +3 是 R 上的单调增函数，x 2+2bx+b+20 恒成立，0，即 b2b20 ，则 b 的取值是1b2故选 D12 （5 分）设抛物线 C：y 2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|
12、AF|=3|BF|，则 l 的方程为（ ）Ay=x1 或 y=x+1 By= （x1）或 y= （x1）C y= （x1）或 y= （x1） Dy= （x1）或 y= （x1）【解答】解：抛物线 C 方程为 y2=4x，可得它的焦点为 F（1，0） ，设直线 l 方程为 y=k（x 1）由 消去 x，得 y2yk=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，可得 y1+y2= ，y 1y2=4（ *）|AF|=3|BF|，y 1+3y2=0，可得 y1=3y2，代入（* ）得 2y2= 且3y 22=4，消去 y2 得 k2=3，解之得 k=直线 l 方程为 y= （x1）或 y=
13、（x1）故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）双曲线 的渐近线方程为 【解答】解：双曲线标准方程为 =1，其渐近线方程是 =0，整理得 y= x故答案为 y= x14 （5 分）函数 f（x ）=x 33x2+4 的减区间是 0，2（或（0，2） ） 【解答】解：函数 f（x ）=x 33x2+4，f（x）=3x 26x，1 分令 f（x）0，得 3x26x 0，可得 x0，2，函数 f（x ）的单调减区间是 0，2故答案为：0，2（或（0，2） ） 15 （5 分）若曲线 y=ax2lnx 在点（1，a）处的切线平行于 x 轴，则 a= 【解答
14、】解：由题意得 ，在点（1，a）处的切线平行于 x 轴，2a1=0，得 a= ，故答案为： 16 （5 分）设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，P是 C 上的点，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，则 C 的离心率为 【解答】解：|PF 2|=x，PF 2F 1F2，PF 1F2=30，|PF 1|=2x，|F 1F2|= x，又|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c2a=3x，2c= x，C 的离心率为：e= = 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）求椭圆 9x2
15、+y2=81 的长轴的长轴和短轴长、离心率、交点坐标、顶点坐标【解答】解：椭圆 9x2+y2=81 化为标准方程： 其中：且焦点在 y 轴上长轴长：2a=18；短轴长：2b=6；离心率： ；焦点坐标： ；顶点坐标：（0，9） 、 （3，0） 18 （12 分）已知函数 f（ x）=2xlnx（1）求这个函数的导数（2）求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程【解答】解：（1）f（x ）=2xlnx ，f（x）=2（lnx+1）=2lnx+2，（2）由（1）f （1）=0 ，f（x ）=2lnx+2，k=f（1）=2，这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程：y=2x2 19 （12 分） （
16、1）求焦点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为 的双曲线的标准方程；（2）求经过点 P（2，4）的抛物线的标准方程【解答】 （1）解：焦点在 x 轴上，设所求双曲线的方程为 由题意，得 解得 a=8，c=10b=6所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 ；（2）解：由于点 P 在第三象限，所以抛物线方程可设为：y 2=2px 或 x2=2py在第一种情形下，求得抛物线方程为：y 2=8x；在第二种情形下，求得抛物线方程为：x 2=y20 （12 分）已知函数 f（ x）=x 3+3x2+9x+a（1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小
17、值【解答】解：（1）f（x）=3x 2+6x+9，令 f（x）0，解得 x1，或 x3，函数 f（x ）的单调递减区间为（ ，1） ， （3，+） ，单调递増区间为（1，3） ，（2）f（2）=8 +1218+a=2+a，f（2）=8+12+18 +a=22+a，f（ 2）f（2） ，在（1，3）上 f（x）0，f（ x）在（1，2上单调递增，又由于 f（x ）在2，1）上单调递减，f（ 1）是 f（x）的极小值，且 f（1）=a5，f（ 2）和 f（1）分别是 f（x ）在区间 2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得 a=2，f（ x）= x3+3x2+9x2f（ 1）=a 5
18、=7，即函数 f（x ）在区间2，2上的最小值为721 （12 分）已知椭圆 C：4x 2+y2=1 及直线 l：y=x+m（1）当 m 为何值时，直线 l 与椭圆 C 有公共点？（2）若直线 l 与椭圆 C 交于两点 A，B，线段 AB 的长为 ，求直线 l 的方程【解答】解：（1）由 ，整理得：5x 2+2mx+m21=0，由已知0，解得： m ；（2）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由（1）得：x 1+x2= ，x 1x2= ，由|AB|= = = ，解得：m=0，直线 l 的方程为 y=x22 （12 分）已知函数 f（ x）=kx 3+3（k1）x 2k2+1 在
19、 x=0，x=4 处取得极值（1）求常数 k 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值；（3）设 g（x）=f（x）+c，且x 1，2，g （x ）2x+1 恒成立，求 c 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=3kx 2+6（k1）x，由于在 x=0，x=4 处取得极值，f（0）=0 ， f（4）=0，48k+24（k1）=0，即 k= ；（2）由（1）可知 f（x ） = x32x2+ ，f （x）=x 24x=x（x 4） ，f（x ） ，f（x）随x 的变化情况如下表：x （， 0）0 （0 ，4）4 （4 ，+）f（x ） + 0 0 +f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数当 x0 或 x4，f（x）为增函数， 0x4，f（x）为减函数； 极大值为 f（0）= ，极小值为 f（4）= ；（3）要使命题成立，需使 g（x）的最小值不小于 2c+1由（2）得：g（1 ）=f（ 1）+c= +c，g（2）=f（2）+c= +c，g （x）min= +c2c+ 1，c
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