1、2017-2018 学年吉林省辽源市等五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A “x 5”是“x3” 必要条件B命题“xR，x 2+10”的否定是“ xR，x 2+10”C mR，使函数 f（x）=x 2+mx（x R）是奇函数D设 p，q 是简单命题，若 pq 是真命题，则 pq 也是真命题2 （5 分）在区间2，1 上随机取一个数 x，则 x0，1的概率为（ ）A B C D3 （5 分）已知一组数据为 20，30，40，50，50 ，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是
2、（ ）A平均数中位数众数 B平均数中位数众数C中位数众数平均数 D众数=中位数=平均数4 （5 分）从编号为 150 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是（ ）A5 ，10 ，15，20，25 B3，13，23，33，43C 1，2，3，4，5 D2，4，8，16，325 （5 分）集合 A=2，3，B=1，2，3，从 A， B 中各取任意一个数，则这两数之和等于 4 的概率是（ ）A B C D6 （5 分）当 m=7，n=3 时，执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A7
3、 B42 C210 D8407 （5 分）椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 e 为（ ）A B C D8 （5 分）如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD=AA 1=1，AB=2，点 E 是棱AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1 的距离为（ ）A B C D9 （5 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（ ）A + =1 B +y2=1C + =1 D + =110 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E
4、是 C1C 的中点，则直线 BE 与平面B1BD 所成的角的正弦值为（ ）A B C D11 （5 分）抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为（ ）A2 B3 C4 D512 （5 分）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率为（ ）A2 B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2，则 a 的值为 14 （5 分）已知（2，0）是双曲线 x2 =1（b 0）的一个焦点，则 b= 15 （5 分）方程 + =1 表示曲线 C，给出以下命题：曲线 C 不可能为圆；若 1t4
5、，则曲线 C 为椭圆；若曲线 C 为双曲线，则 t1 或 t4；若曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆，则 1t 其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 16 （5 分）过点 M（1，1）作斜率为 的直线与椭圆C： + =1（ab0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （10 分）从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi（单位：千元）与月储蓄 yi（单位：千元）的数据资料，算得 ， ， （）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回
6、归方程 y=bx+a；（）判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；（）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程 y=bx+a 中， ， ，其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为 18 （12 分）某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间按年龄分组：第 1 组25，30） ，第 2 组30，35） ，第 3 组35，40） ，第 4 组40 ，45 ） ，第 5 组45 ，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表区间 25，30）30，35）35，40）40，45）45，50人数 25 a b（1
7、）求正整数 a，b，N 的值；（2）现要从年龄较小的第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1，2，3 组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人在第 3 组的概率19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，AB=1 ，点 E 为棱 PC的中点AD AB，ABDC，AD=DC=AP=2（1）证明：BEDC；（2）求二面角 EABP 的大小20 （12 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 =2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l
8、的参数方程是（t 为参数）（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）当 m=2 时，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|AB|的值21 （12 分）已知双曲线 C： =1 的离心率为 ，点（ ，0）是双曲线的一个顶点（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点 F2 作倾斜角为 30直线 l，直线 l 与双曲线交于不同的A，B 两点，求 AB 的长22 （12 分）已知椭圆的一个顶点为 A（0， 1） ，焦点在 x 轴上若右焦点到直线 xy+2 =0 的距离为 3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线 y=kx+m（k0）相交于不同的两点 M、N当|AM|=|A
9、N|时，求 m 的取值范围2017-2018 学年吉林省辽源市等五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）下列说法中正确的是（ ）A “x 5”是“x3” 必要条件B命题“xR，x 2+10”的否定是“ xR，x 2+10”C mR，使函数 f（x）=x 2+mx（x R）是奇函数D设 p，q 是简单命题，若 pq 是真命题，则 pq 也是真命题【解答】解：对于 A， “x5”是“x3”充分条件，不是必要条件；所以 A 不正确；对于 B，命题“ xR，x 2+10” 的否定是“ xR，x 2+10”，满
10、足命题的否定形式，正确；对于 C， mR，使函数 f（x ）=x 2+mx（x R）是奇函数，不正确，因为函数是二次函数，存在对称轴，不可能关于原点对称，所以不正确；对于 D，设 p，q 是简单命题，若 pq 是真命题，只有两个命题都是真命题时pq 也是真命题，所以 D 不正确；故选：B2 （5 分）在区间2，1 上随机取一个数 x，则 x0，1的概率为（ ）A B C D【解答】解：区间2， 1的长度为 1+2=3，区间0，1的长度为 10=1，区间2，1上随机取一个数 x，x 0，1的概率为 P= 故选：A3 （5 分）已知一组数据为 20，30，40，50，50 ，60，70，80，其中
11、平均数、中位数和众数的大小关系是（ ）A平均数中位数众数 B平均数中位数众数C中位数众数平均数 D众数=中位数=平均数【解答】解：一组数据为 20，30，40，50，50，60，70，80，它的平均数为 （20+30+40+50+50+60 +70+80）=50，中位数为 （50+50）=50 ，众数为 50；它们的大小关系是平均数=中位数= 众数故选：D4 （5 分）从编号为 150 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取 5 枚导弹的编号可能是（ ）A5 ，10 ，15，20，25 B3，13，23，33
12、，43C 1，2，3，4，5 D2，4，8，16，32【解答】解：从 50 枚某型导弹中随机抽取 5 枚，采用系统抽样间隔应为 =10，只有 B 答案中导弹的编号间隔为 10，故选 B5 （5 分）集合 A=2，3，B=1，2，3，从 A， B 中各取任意一个数，则这两数之和等于 4 的概率是（ ）A B C D【解答】解：从 A，B 中各取任意一个数共有 23=6 种分法，而两数之和为 4 的有：（2，2） ， （3，1）两种方法，故所求的概率为： = 故选 C6 （5 分）当 m=7，n=3 时，执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A7 B42 C210 D840【解答】解：当
13、m=7，n=3，m n+1=5，k=7 时，不满足退出循环的条件，S=7 ，k=6； k=6 时，不满足退出循环的条件，S=42，k=5； k=5 时，不满足退出循环的条件，S=210，k=4； k=4 时，满足退出循环的条件，故输出的 S 值为 210，故选：C7 （5 分）椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率 e 为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，这个顶点必须是短轴的端点，若椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则有 b= c，则 a= =2c，则椭圆的离心率 e= = ；故选：A8 （5 分）如图所示，在长方体 ABCD
14、A1B1C1D1 中，AD=AA 1=1，AB=2，点 E 是棱AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1 的距离为（ ）A B C D【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，直线 DA， DC，DD 1 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 D1（0，0， 1） ，E（1，1，0） ，A（1，0，0） ，C（0，2，0） =（ 1，1，1） ， =（ 1，2，0） ， =（1，0，1） ，设平面 ACD1 的法向量为 =（a，b，c） ，则 ，取 a=2，得 =（2，1，2） ，点 E 到平面 ACD1 的距离为：h= = = 故选：C9 （5 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的左
15、、右焦点为 F1、F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（ ）A + =1 B +y2=1C + =1 D + =1【解答】解：AF 1B 的周长为 4 ，AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4 ，a= ，离心率为 ， ，c=1 ，b= = ，椭圆 C 的方程为 + =1故选：A10 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 是 C1C 的中点，则直线 BE 与平面B1BD 所成的角的正弦值为（ ）A B C D【解答】解：以 D 为坐标原点，以 D
16、A 为 x 轴，以 DC 为 y 轴，以 DD1 为 z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则 D（0，0，0） ，B（2，2，0 ） ，B 1（2，2，2） ， E（0，2，1） =（ 2，2，0） ， =（0，0，2） ， =（2，0，1） 设平面 B1BD 的法向量为 =（x，y，z ） ， ， ，令 y=1，则 =（ 1，1，0） cosn， = = ，设直线 BE 与平面 B1BD 所成角为 ，则 sin =|cosn， |= 故选：B11 （5 分）抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：
17、依题意可知抛物线的准线方程为 y=1，点 A 到准线的距离为 4+1=5，根据抛物线的定义可知点 A 与抛物线焦点的距离就是点 A 与抛物线准线的距离，点 A 与抛物线焦点的距离为 5，故选：D12 （5 分）若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率为（ ）A2 B C D【解答】解：双曲线 的离心率为 ， ，解得其渐近线的斜率为 故选：B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2，则 a 的值为 【解答】解：抛物线 y=ax2 的标准方程是 x2= y，则其准线方程为 y= =2，所以 a= 故答案为： 14 （5
18、分）已知（2，0）是双曲线 x2 =1（b 0）的一个焦点，则 b= 【解答】解：双曲线 x2 =1（b 0）的焦点为（ ，0） ， （ ，0 ） ，由题意可得 =2，解得 b= 故答案为： 15 （5 分）方程 + =1 表示曲线 C，给出以下命题：曲线 C 不可能为圆；若 1t4，则曲线 C 为椭圆；若曲线 C 为双曲线，则 t1 或 t4；若曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆，则 1t 其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 【解答】解：根据题意，依次分析 4 个命题：对于，方程 + =1 中，当 4t=t1，即 t= 时，方程为 x2+y2= ，表示圆，故错误；对于，当 t=
19、时，满足 1t4 ，而方程为 x2+y2= ，表示圆，故错误；对于，若曲线 C 为双曲线，则有（ 4t） （t 1）0，解可得 t1 或 t4；正确；对于，若曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆，则有 t14 t0，解可得t4， 错误；故答案为：16 （5 分）过点 M（1，1）作斜率为 的直线与椭圆C： + =1（ab0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ，M 是线段 AB 的中点， =1， =1，直线 AB 的方程是 y= （x 1）+1，y 1y2= （x 1x2） ，过点 M
20、（1 ，1）作斜率为 的直线与椭圆 C： + =1（a b0）相交于A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，两式相减可得 ，即 ，a= b， =b，e= = 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （10 分）从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi（单位：千元）与月储蓄 yi（单位：千元）的数据资料，算得 ， ， （）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a；（）判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；（）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程
21、 y=bx+a 中， ， ，其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为 【解答】解：（）由题意可知 n=10， = = =8， = = =2，故 lxx= =7201082=80，l xy= =1841082=24，故可得 b= =0.3， a= =20.38=0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x 0.4；（）由（）可知 b=0.30，即变量 y 随 x 的增加而增加，故 x 与 y 之间是正相关；（）把 x=7 代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为 y=0.370.4=1.7（千元）18 （12 分）某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间按年龄
22、分组：第 1 组25，30） ，第 2 组30，35） ，第 3 组35，40） ，第 4 组40 ，45 ） ，第 5 组45 ，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表区间 25，30）30，35）35，40）40，45）45，50人数 25 a b（1）求正整数 a，b，N 的值；（2）现要从年龄较小的第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1，2，3 组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求恰有 1 人在第 3 组的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，25，30）与30，35）两组的
23、人数相同，a=25 人且 人总人数 人（2）因为第 1，2，3 组共有 25+25+100=150 人，利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人，每组抽取的人数分别为：第 1 组的人数为 ，第 2 组的人数为 ，第 3 组的人数为 ，第 1，2，3 组分别抽取 1 人，1 人，4 人（3）由（2）可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B，第 3 组的 4 人分别为 C1，C 2，C 3，C 4，则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为：（A，B） ， （A，C 1） ， （A， C2） ， （A ，C 3） ， （A，C 4） ， （B，C 1） ， （B，C 2） ，
24、（B，C 3） ， （ B，C 4） ， （C 1，C 2） ， （C 1，C 3） ， （C 1，C 4） ， （C 2，C 3） ， （C 2，C 4） ，（C 3，C 4） ，共有 15 种其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为：（A，C 1） ， （A，C 2） ， （A，C 3） ，（A，C 4） ， （ B，C 1） ， （B，C 2） ， （B，C 3） ， （B ，C 4） ，共有 8 种所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，AB=1 ，点 E 为棱 PC的中点AD AB，ABDC，AD=DC=AP
25、=2（1）证明：BEDC；（2）求二面角 EABP 的大小【解答】证明：（1）取 PD 中点 F，连接 AF，EF，E ，F 分别是 PC，PD 的中点，EF CD，EF= CD，ABCD，AB= CD，EF AB，EF=AB，四边形 ABEF 是平行四边形，BE AF，PA 面 ABCD，PA CD，ABAD，ABCD ，ADCD，PA AD=A，CD面 PAD，CDAF，CDBE（4 分）解：（2）以点 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 Axyz，则 A（0，0 ， 0） ，B（1 ，0，0） ，P （0，0，2） ，C（2，2，0） ，E（1，1，1） ，（6 分）=（1，1，2
26、） ， =（1，0，0） ，设面 EAB 的法向量为 =（x ，y，z ） ，由 ，令 =（0，1，1） ，（9 分）面 PBC 的一个法向量 =（ 0，1，0） ，设二面角 EABP 的大小为 ，则 cos=|cos |= ，二面角 EABP 的大小 （12 分）20 （12 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 =2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是（t 为参数）（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）当 m=2 时，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|AB|的值【解答】解：（1）曲线 C 的
27、极坐标方程是 =2cos， 2=2cos，曲线 C 的直角坐标方程是 x2+y22x=0直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，消去参数得直线 l 的普通方程是 x ym=0（2）当 m=2 时，直线 l 为： 2=0，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，曲线 C：x 2+y22x=0 是以（1，0）为圆心，以 r=1 为半径的圆圆心（1，0）到直线 l 的距离 d= = ，|AB|=2 =2 = 21 （12 分）已知双曲线 C： =1 的离心率为 ，点（ ，0）是双曲线的一个顶点（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点 F2 作倾斜角为 30直线 l，直线 l 与双曲线交于不
28、同的A，B 两点，求 AB 的长【解答】解：（1）双曲线 C： =1 的离心率为 ，点（ ，0）是双曲线的一个顶点， ，解得 c=3，b= ，双曲线的方程为 （2）双曲线 的右焦点为 F2（3，0） ，经过的双曲线右焦点 F2 作倾斜角为 30直线 l 的方程为 y= （x3） ，联立 ，得 5x2+6x27=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ，|AB|= = 22 （12 分）已知椭圆的一个顶点为 A（0， 1） ，焦点在 x 轴上若右焦点到直线 xy+2 =0 的距离为 3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线 y=kx+m（k0）相交于不同的两点 M、N当|AM|=|AN|时，求 m 的取值范围【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点 F（ ）由题设解得 a2=3 故所求椭圆的方程为 ；（2）设 P 为弦 MN 的中点，由得（3k 2+1）x 2+6mkx+3（m 21）=0由于直线与椭圆有两个交点，0，即 m23k 2+1 从而 又|AM|= |AN|，AP MN，则 即 2m=3k2+1把代入得 2mm 2 解得 0m2 由得 解得 故所求 m 的取范围是（ ）
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