1、2017-2018 学年吉林省长春市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分）1 （5 分）直线 的倾斜角为（ ）A B C D2 （5 分）命题“x0，x 2+x0”的否定是（ ）Ax 00，x 02+x00 B x00，x 02+x00C x0 ，x 2+x0 Dx0，x 2+x03 （5 分）在ABC 中， “A= ”是“cosA= ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）复数 i（3i）的共轭复数是（ ）A1 +3i B13i C1+3i D 13i5 （5 分）若 f（x）是函数 f（x
2、 ）= x3+2x+1 的导函数，则 f（ 1）的值为（ ）A1 B3 C1 或 3 D46 （5 分）已知 F1、F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，过 F1 的直线与椭圆交于M、N 两点，则MNF 2 的周长为（ ）A8 B16 C25 D327 （5 分）当函数 y=x2x 取极小值时，x 等于（ ）A B Cln 2 Dln 28 （5 分）函数 y=lnxx 在 x（0，e 上的最大值为（ ）Ae B1 Ce D 19 （5 分）双曲线 =1 的焦距是（ ）A4 B2 C6 D与 m 有关10 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
3、 A，B 两点，若ABF 2 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C D11 （5 分）已知 P 是圆 C：x 2+y22x+2y=0 上一个动点，则点 P 到直线 xy+1=0 距离最大值与最小值的积为（ ）A B C5 D12 （5 分）设 P 是椭圆 + =1 上一点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点， =0，则F 1PF2 面积是（ ）A5 B10 C8 D9二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）抛物线 y2=4x 上一点 A 到点 B（3，2）与焦点的距离之和最小，则点 A 的坐标为 14 （5 分）已知函数 Y=f（x）及其导函数
4、Y=F（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点 P 处的切线方程是 15 （5 分）已知动点 P（x ，y）在椭圆 上，若 F（3，0） ，|PF |=2，且M 为 PF 中点，则|OM|= 16 （5 分）给出下列命题：椭圆 的离心率 ，长轴长为 ；抛物线 x=2y2 的准线方程为 ；双曲线 的渐近线方程为 ；方程 2x25x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率其中所有正确命题的序号是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17 （10 分）已知直线 l1：x2y+4=0 与 l2：x+y 2=0 相交于点 P（1）求交点 P 的坐标；（2）设直线 l3：3x4y+5=
5、0，分别求过点 P 且与直线 l3 平行和垂直的直线方程18 （12 分）已知命题 p：关于 x 的方程 x2+2x+a=0 有实数解，命题 q：关于 x的不等式 x2+ax+a0 的解集为 R，若（p）q 是真命题，求实数 a 的取值范围19 （12 分）已知复数 z=（k 23k4）+（k 1）i（kR）：（1）若复数 z 在复平面上对应的点位于第二象限，求 k 的取值范围；（2）若复数 ziR，求复数 z 的模|z|？20 （12 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F 并且经过点A（1 ， 2） （1）求抛物线 C 的方程；（2）过 F 作倾斜角为 45的直线 l，交抛
6、物线 C 于 M，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积21 （12 分）设函数 f（x）= x3 x2+bx+c，曲线 y=f（x）在点（0，f （0） ）处的切线方程为 y=1（1）求 b，c 的值；（2）若 a0，求函数 f（x ）的单调区间；（3）设已知函数 g（x）=f （x）+2x，且 g（x ）在区间（2，1）内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围22 （12 分）已知椭圆 C： 的中心在坐标原点 O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为 2 的正三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若斜率为 k 的直线 l 经过点 M（4，0） ，与椭圆 C 相交于
7、A，B 两点，且，求 k 的取值范围2017-2018 学年吉林省长春市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分）1 （5 分）直线 的倾斜角为（ ）A B C D【解答】解：直线 的斜率为 ，设其倾斜角为 （0 ） ，tan= ，则 = 故选：B2 （5 分）命题“x0，x 2+x0”的否定是（ ）Ax 00，x 02+x00 B x00，x 02+x00C x0 ，x 2+x0 Dx0，x 2+x0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x0，x 2+x 0”的否定为：x 00，x 02+x00故选：B3 （5 分）在AB
8、C 中， “A= ”是“cosA= ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC 中，若 A= ，则 cosA= ，是充分条件，在ABC 中，若 cosA= ，则 A= ，是必要条件，故选：C4 （5 分）复数 i（3i）的共轭复数是（ ）A1 +3i B13i C1+3i D 13i【解答】解：i（3i）=3ii 2=1+3i，复数 i（3 i）的共轭复数是 13i故选：B5 （5 分）若 f（x）是函数 f（x ）= x3+2x+1 的导函数，则 f（ 1）的值为（ ）A1 B3 C1 或 3 D4【解答】解：因为函数 f（x
9、）= x3+2x+1，所以其导函数 f（x ）=x 2+2，所以f（1 ） =（1） 2+2=3故选 B6 （5 分）已知 F1、F 2 是椭圆 + =1 的两个焦点，过 F1 的直线与椭圆交于M、N 两点，则MNF 2 的周长为（ ）A8 B16 C25 D32【解答】解：利用椭圆的定义可知，|F 1M|+|F2M|=2a=8，|F 1N|+|F2N|=2a=8MNF 2 的周长为|F 1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=8+8=16故选 B7 （5 分）当函数 y=x2x 取极小值时，x 等于（ ）A B Cln 2 Dln 2【解答】解：y=2 x+x2xln2=（1+xln2）2
10、 x=0，即 1+xln2=0，x= 故选：B8 （5 分）函数 y=lnxx 在 x（0，e 上的最大值为（ ）Ae B1 Ce D 1【解答】解：f（x ）= 1= ，当 x（0，1）时，f （x） 0，当 x（1，e）时，f（x）0，所以 f（ x）在（0，1）上递增，在（ 1，e ）上递减，故当 x=1 时 f（x）取得极大值，也为最大值， f（1 ）=1故选：D9 （5 分）双曲线 =1 的焦距是（ ）A4 B2 C6 D与 m 有关【解答】解：由双曲线 =1，可得 4m20，即有 a2=5+m2，b 2=4m2，可得 c2=a2+b2=9，解得 c=3，即有双曲线的焦距为 2c=6
11、故选：C10 （5 分）已知 F1，F 2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，若ABF 2 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C D【解答】解：由题 ， 即 ， ，解之得： （负值舍去） 故答案选 C11 （5 分）已知 P 是圆 C：x 2+y22x+2y=0 上一个动点，则点 P 到直线 xy+1=0 距离最大值与最小值的积为（ ）A B C5 D【解答】解：圆 C：x 2+y22x+2y=0 即 （x1） 2+（y+1） 2=2，表示以 C（1， 1）为圆心，半径为 的圆由于圆心 C（ 1，1 ）到直线 xy+1=0 的距离 d= ，故
12、动点 P 到直线 xy+1=0 的距离的最小值与最大值分别为 + 、 ，故动点 P 到直线 xy+1=0 的距离的最小值与最大值之积为 ，故选 A12 （5 分）设 P 是椭圆 + =1 上一点，F 1，F 2 是椭圆的两个焦点， =0，则F 1PF2 面积是（ ）A5 B10 C8 D9【解答】解：在PF 1F2 中，|PF 1|=m，|PF 2|=n，则 m+n=10，由勾股定理得 80=m2+n2， 2，可得 mn=10，S PF1F2 = mn=5故选：A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）抛物线 y2=4x 上一点 A 到点 B（3，2）与焦
13、点的距离之和最小，则点 A 的坐标为 （1，2） 【解答】解：由抛物线 y2=4x 可得焦点 F（1，0） ，直线 l 的方程：x=1如图所示，过点 A 作 AMl，垂足为 M则|AM|=|AF|因此当三点 B，A，M 共线时， |AB|+|AM|=|BM|取得最小值 3（ 1）=4 此时 yA=2，代入抛物线方程可得 22=4xA，解得 xA=1点 A（1，2） 故答案为：（1，2） 14 （5 分）已知函数 Y=f（x）及其导函数 Y=F（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点 P 处的切线方程是 x y2=0 【解答】解：根据图象可知 P 坐标为（2，0） ，且 f（2）=1 ，即切
14、线的斜率 k=1，则曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程是 y=x2，即 xy2=0故答案为：xy2=015 （5 分）已知动点 P（x ，y）在椭圆 上，若 F（3，0） ，|PF |=2，且M 为 PF 中点，则|OM|= 4 【解答】解：椭圆a=5，b=4，c=3根据椭圆的定义得：2a|PF|=8M 为 PF 中点三角形中位线得：|OM|=4故答案为：416 （5 分）给出下列命题：椭圆 的离心率 ，长轴长为 ；抛物线 x=2y2 的准线方程为 ；双曲线 的渐近线方程为 ；方程 2x25x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率其中所有正确命题的序号是 【解答】解：根据题意，依
15、次分析 4 个命题：对于，椭圆 中 a= ，b= ，则 c= =1，则椭圆的离心率 e= =，长轴长 2a=2 ，故错误；对于，抛物线 x=2y2 的标准方程为 y2= x，其准线方程 ，故正确；对于，双曲线 的标准方程为 =1，其渐近线方程为 y= x，故错误；对于，方程 2x25x+2=0 的两根为 和 2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；综合可得：正确；故答案为：三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17 （10 分）已知直线 l1：x2y+4=0 与 l2：x+y 2=0 相交于点 P（1）求交点 P 的坐标；（2）设直线 l3：3x4y+5=0，分别求过点 P 且与直
16、线 l3 平行和垂直的直线方程【解答】解：（1） 得 ，P（0，2）（4 分）（2）与 l3 平行直线方程 ，即 3x4y+8=0（7 分）与 l3 垂直直线方程 ，即 4x+3y6=0（10 分）18 （12 分）已知命题 p：关于 x 的方程 x2+2x+a=0 有实数解，命题 q：关于 x的不等式 x2+ax+a0 的解集为 R，若（p）q 是真命题，求实数 a 的取值范围【解答】解：因为（p）q 是真命题，所以p 和 q 都为真命题，即 p 为假命题且 q 为真命题，若 p 为假命题，则 1=44a0，即 a1，若 q 为真命题，则 ，所以 0a4，由知，实数 a 的取值范围是a|1a
17、419 （12 分）已知复数 z=（k 23k4）+（k 1）i（kR）：（1）若复数 z 在复平面上对应的点位于第二象限，求 k 的取值范围；（2）若复数 ziR，求复数 z 的模|z|？【解答】解：（1）依题意得： （2 分）得 （4 分）1k 4（6 分）（2）zi=（k 23k4）i （k 1） （9 分）又ziRk 23k4=0（10 分）k=1 或 k=4当 k=1 时，z=2i，|z|=2当 k=4 时，z=3i，|z|=3（12 分） 20 （12 分）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F 并且经过点A（1 ， 2） （1）求抛物线 C 的方程；（2）过 F 作倾
18、斜角为 45的直线 l，交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 的面积【解答】解：（1）把点 A（1， 2）代入抛物线 C：y 2=2px（p 0） ，可得（ 2）2=2p1，解得 p=2抛物线 C 的方程为： y2=4x（2）F（1，0） 设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） 直线 l 的方程为：y=x 1联立 ，化为 x26x+1=0，x 1+x2=6，x 1x2=1|MN|= = =8原点 O 到直线 MN 的距离 d= OMN 的面积 S= = =2 21 （12 分）设函数 f（x）= x3 x2+bx+c，曲线 y=f（x）在点（0，f （0） ）处的
19、切线方程为 y=1（1）求 b，c 的值；（2）若 a0，求函数 f（x ）的单调区间；（3）设已知函数 g（x）=f （x）+2x，且 g（x ）在区间（2，1）内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=x 2ax+b由题意得 ，即 所以 b=0，c=1（2）由（1）得 f（x）=x 2ax=x（xa） （a0） 当 x（， 0）时，f （x）0，当 x（0，a）时，f （x ）0，当x（a，+）时，f （x）0，所以函数 f（x）的单调增区间为（ ，0） ， （a，+） ；单调减区间为（0，a） （3）g（x） =x2ax+2，依题意，存在 x（2， 1） ，使
20、不等式 g（x）=x2ax+20 成立当 x（2，1）时，ax+ 2 ，所以满足要求的 a 的取值范围是 a2 22 （12 分）已知椭圆 C： 的中心在坐标原点 O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为 2 的正三角形（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若斜率为 k 的直线 l 经过点 M（4，0） ，与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且，求 k 的取值范围【解答】解：（1）椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为 2 的正三角形，2c=2，a=2，b 2=a2c2=3椭圆 C 的标准方程为 （4 分）（2）设直线 l 的方程为 y=k（x 4） ，设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2）联立 ，消去 y 可得（3+4k 2）x 232k2x+64k212=0直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，0由= （ 32k2） 24（3+4k 2） （64k 212）0 解得设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）则 ， （7 分）解得 k 的取值范围是 或 （12 分）
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