1、2017-2018 学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 zi=1+i，则 z=（ ）A1 +i B1i C1+i D 1i2 （5 分）抛物线 x2=ay 的准线方程为 y=1，则 a 的值为（ ）A B2 C D 43 （5 分）已知命题 p： xR，x 2x+10命题 q：若 a2b 2，则 ab，下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cp q Dp q4 （5 分）过点（3，0）的直线与双曲线 有唯
2、一公共点，这样的直线有（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条5 （5 分） 九章算术有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺以后每天减半 ”假设墙厚 16 尺，现用程序框图描述该问题，则输出 n=（ ）A2 B4 C6 D86 （5 分）以下四个命题，其中正确的是（ ）A由独立性检验可知，有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可能物理优秀B两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越
3、接近于 0C在线性回归方程 =0.2x+12 中，当变量 x 每增加 1 个单位时，变量 平均增加 0.2 个单位D线性回归方程对应的直线 = x+ 至少经过其样本数据点中的一个点7 （5 分）甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示， 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s ，s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）A ，s B = ，s C = ，s = D = ，s 8 （5 分）过点（2，2）且与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程是（ ）A B C D9 （5 分）椭圆 =1 中，以点 M（1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A B C
4、D10 （5 分）已知 F1，F 2 分别是双曲线的左、右焦点，点 F2 关于渐近线的对称点P 恰好落在以 F1 为圆心、|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A3 B C2 D11 （5 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ）A2 B3 C6 D812 （5 分）如图所示，过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线 l点 C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3 ，则此抛物线的方程为（ ）Ay 2=9x By 2=6x Cy 2=3x D二、填空题（每题 5 分，满分 20
5、分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）双曲线 的焦距为 14 （5 分）有一个游戏，将标有数字 1、2、3、4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人一张，并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有 3 的卡片；乙说：甲或丙拿到标有 2 的卡片；丙说：标有1 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有 3 的卡片结果显示：这 4 人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 、 、 、 15 （5 分）已知点 P 为抛物线 C：y 2=4x 上一点，记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 d1，点 P 到圆（x+2） 2+（y +4） 4=4
6、上点的距离为 d2，则 d1+d2 的最小值为 16 （5 分）下列说法中命题“已知 x，yR，若 x+y3，则 x2 或 y1”是真命题；命题“若 p，则 q”的否命题为 “若 q，则 p”；若 ab，则 ；命题“ ”的否定为“x R，x 21”正确说法的序号是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知命题 A：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题B：实数 t 使得不等式 t23t40 成立（1）若命题 A 中的椭圆的离心率为 ，求实数 t 的值；（2）命题 A 是命题 B 的什么条件18 （12 分）某高校在今年的自主
7、招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频率分布直方图如图所示组号 分组 频数 频率1 75，80） 5 0.052 80，85） 35 0.353 85，90） a b4 90，95） C d5 95，100） 10 0.1（1）求 a，b，c，d 的值（2）该校决定在成绩较好的 3、4、5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，从抽到 6 名学生中再随机抽取 2 名被甲考官面试，求这 2 名学生来自同一组的概率19 （12 分）已知关于 x 的一次函数 y=mx+n（1）设集合 P=2，1，1，2，3和 Q=2，3，
8、分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 m 和 n，求函数 y=mx+n 是增函数的概率；（2）实数 m，n 满足条件 求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率20 （12 分）已知抛物线 C：x 2=4y 的焦点为 F，准线与 y 轴的交点为 Q，过点Q 的直线 l，抛物线 C 相交于不同的 A，B 两点（1）若 ，求直线 l 的方程；（2）若点 F 在以 AB 为直径的圆外部，求直线 l 的斜率的取值范围21 （12 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，离心率为 ，M，N 分别是椭圆的上、下顶点， （1）求椭圆 E 的方程；（2）若直线 y=kx+m 与椭圆
9、E 交于相异两点 A，B，且满足直线 MA，MB 的斜率之积为 ，证明：直线 AB 恒过定点，并采定点的坐标22 （12 分）在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为（1）求圆 C 的直角坐标方程：（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为 ，求|PA |+|PB|2017-2018 学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四
10、个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 zi=1+i，则 z=（ ）A1 +i B1i C1+i D 1i【解答】解：由 zi=1+i，得 z= ，故选：B2 （5 分）抛物线 x2=ay 的准线方程为 y=1，则 a 的值为（ ）A B2 C D 4【解答】解：根据题意，抛物线 x2=ay 的准线方程为 y=1，则有 =1，解可得 a=4；故选：D3 （5 分）已知命题 p： xR，x 2x+10命题 q：若 a2b 2，则 ab，下列命题为真命题的是（ ）Ap q Bpq Cp q Dp q【解答】解：命题 p：x=0 R，使 x2x+10
11、成立故命题 p 为真命题；当 a=1，b= 2 时，a 2b 2 成立，但 ab 不成立，故命题 q 为假命题，故命题 pq，pq，pq 均为假命题；命题 pq 为真命题，故选：B4 （5 分）过点（3，0）的直线与双曲线 有唯一公共点，这样的直线有（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条【解答】解：根据题意，直线过点（3，0） ，设直线的方程为 y=k（x3） ，双曲线的方程为 ，即 x24y24=0，则有 x24k2（x3） 24=0，变形可得：（14k 2）x 224k2x36k2=0，分析可得：当 14k2=0，即 k= 时，方程有 1 解，即直线与双曲线只有一个交点，当 14k2
12、0，即 k 时，有= （24k 2） 24（14k 2） （36k 2）=144k 20，当 k=0 时，直线为 x=0，与双曲线有 2 个交点，不符合题意；当 k0 时，方程有 2 个根，直线与双曲线有 2 个交点，不符合题意；则过点（3，0）与双曲线唯一公共点的直线有 2 条，故选：B5 （5 分） 九章算术有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺以后每天减半 ”假设墙厚 16 尺，现用程序框图描述该问题，则输出 n=（ ）
13、A2 B4 C6 D8【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，a=1 ，n=1S=2不满足条件 S16，执行循环体， a= ，n=2，S=4+不满足条件 S16，执行循环体， a= ，n=4，S=8+不满足条件 S16，执行循环体， a= ，n=8，S=16+满足条件 S16，退出循环，输出 n 的值为 8故选：D6 （5 分）以下四个命题，其中正确的是（ ）A由独立性检验可知，有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可能物理优秀B两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于 0C在线性回归方程 =0.2x+12 中，当变量 x 每增加 1 个单位时
14、，变量 平均增加 0.2 个单位D线性回归方程对应的直线 = x+ 至少经过其样本数据点中的一个点【解答】解：对于 A，有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”，不是“数学成绩优秀，物理成绩就有 99%的可能优秀”，A 错误；对于 B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1，B 正确；对于 C，根据线性回归方程 =0.2x+12 中，当变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均增加 0.2 个单位，C 正确；对于 D，线性回归方程对应的直线 = x+ 可能不经过其样本数据点中的任何一个点，D 错误故选：C7 （5 分）甲、乙
15、两名运动员在某项测试中的 6 次成绩的茎叶图如图所示， 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s ，s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）A ，s B = ，s C = ，s = D = ，s 【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员成绩的平均数是 = （9+14+15 +15+16+21）=15，方差是 = （915） 2+（14 15） 2+2（15 15） 2+（1615） 2+（2115 ） 2=；乙运动员成绩的平均数是 = （8+13+15 +15+17+22）=15，方差是 = （815） 2+（13 15） 2+2（15 15） 2+（1715）
16、2+（2215 ） 2=； = ， 故选：D，8 （5 分）过点（2，2）且与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程是（ ）A B C D【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线 有共同渐近线，设其方程为： y2=t， （ t0）又由点（2，2）在双曲线上，则有 （2） 2=t，解可得 t=2，则双曲线的方程为 ；故选：A9 （5 分）椭圆 =1 中，以点 M（1，2）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A B C D【解答】解：设弦的两端点为 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，代入椭圆得 ，两式相减得 ，即 ，即 ，即 ，即 ，弦所在的直线的斜率为 ，故选：B10 （5 分）已知 F1，
17、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，点 F2 关于渐近线的对称点P 恰好落在以 F1 为圆心、|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A3 B C2 D【解答】解：由题意，设双曲线的方程为 ，F1（c，0） ，F 2（c，0） ，设一条渐近线方程为 y= x，则 F2 到渐近线的距离为 =b设 F2 关于渐近线的对称点为 P，F 2P 与渐近线交于 A，可得|PF 2|=2b，A 为 F2P 的中点，又 O 是 F1F2 的中点，OAF 1P，则F 1PF2 为直角，由MF 1F2 为直角三角形，由勾股定理得 4c2=c2+4b2即有 3c2=4（ c2a2） ，即为 c2=4a2，即
18、 c=2a，则 e= =2故选：C11 （5 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ）A2 B3 C6 D8【解答】解：由题意，F（1，0） ，设点 P（x 0，y 0） ，则有 ，解得，因为 ， ，所以 = ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=2，因为2x 02，所以当 x0=2 时， 取得最大值 ，故选 C12 （5 分）如图所示，过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线 l点 C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3 ，则此抛物线的方程为（ ）Ay 2=9x By 2=6x C
19、y 2=3x D【解答】解：如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故BCD=30，在直角三角形 ACE 中，| AE|=3，|AC|=3+3a，2|AE |=|AC|3+3a=6，从而得 a=1，BDFG， = 求得 p= ，因此抛物线方程为 y2=3x故选 C二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）双曲线 的焦距为 2 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 ，其中 a=2，b=3，则 c= = ，则双曲线的焦距 2c=2 ；故答案为：2 14 （5 分）有一个游戏，
20、将标有数字 1、2、3、4 的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人一张，并请这 4 人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有 3 的卡片；乙说：甲或丙拿到标有 2 的卡片；丙说：标有1 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有 3 的卡片结果显示：这 4 人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 4 、 2 、 1 、 3 【解答】解：乙丙丁所说为假甲拿 4，甲乙所说为假 丙拿 1，甲所说为假乙拿 2；故甲、乙、丙、丁 4 个人拿到的卡片上的数字依次为 4，2，1，3，故答案为：4，2，1，315 （5 分）已知点 P 为抛物线 C：y 2=4x
21、上一点，记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 d1，点 P 到圆（x+2） 2+（y +4） 4=4 上点的距离为 d2，则 d1+d2 的最小值为 3 【解答】解：抛物线 C： y2=4x 的焦点 F（1，0） ，准线 l：x= 1，设 PK准线 l，垂足为 K，由抛物线的定义可得|PF|=|PK |，圆（x+2） 2+（y+4 ） 4=4 的圆心为 M（ 2，4） ，半径为 r=2，连接 FM，当 F，P，M 三点共线，取得最小值可得 d1+d2 的最小值为|FM| r= 2=3故答案为：316 （5 分）下列说法中命题“已知 x，yR，若 x+y3，则 x2 或 y1”是真命题；命题“若
22、 p，则 q”的否命题为 “若 q，则 p”；若 ab，则 ；命题“ ”的否定为“x R，x 21”正确说法的序号是 【解答】解：命题的逆否命题为若 x=2 且 y=1，则 x+y=3，为真命题，则原命题为真命题，故正确，题“若 p，则 q”的否命题为 “若p，则q”，故 错误；当 a0，b0 时，满足 ab ，则 ，即 不成立；故错误，命题“ ”的否定为“x R，x 21”为真命题故正确的是，故答案为：三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知命题 A：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题B：实数 t 使得不等式 t23t
23、40 成立（1）若命题 A 中的椭圆的离心率为 ，求实数 t 的值；（2）命题 A 是命题 B 的什么条件【解答】解：（1）由已知得： ，解得：1t3，若椭圆离心率为 ，即 e= = ，解得：t=2（2）命题 A 成立的条件为 1t3，由 t23t40 得1t 4，命题 B 成立的条件为1t4，由此可得命题 A 是命题 B 的充分不必要条件18 （12 分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频率分布直方图如图所示组号 分组 频数 频率1 75，80） 5 0.052 80，85） 35 0.353 85，90） a b4 90，95） C d5
24、 95，100） 10 0.1（1）求 a，b，c，d 的值（2）该校决定在成绩较好的 3、4、5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？（3）在（2）的前提下，从抽到 6 名学生中再随机抽取 2 名被甲考官面试，求这 2 名学生来自同一组的概率【解答】解：（1）由题意得 b=0.065=0.3，a=1000.3=30，d=10.050.35 0.30.1=0.2，c=1000.2=20（2）三个组共有 60 人，第三组应抽 6 人，第四组应抽 6 人，第五组应抽 6 人（3）记第三组抽出的 3 人分别 a，b，c，第四组抽出的 2 人分别 d，e ，第五组抽出的 1
25、人为 f，从这 6 人中随机抽取 2 人，基本事件包含 15 个基本事件，分别为：（a ，b ） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，e ） ， （a，f） ， （b，c） ， （b，d） ， （b ，e ） ，（b，f） ， （c，d） ， （c，e ） ， （c ，f） ， （d ，e） ， （d，f） ， （e，f） 其中 2 人来自同一组的情况有 4 种分别为：（a，b ） ， （a，c） ， （b，c） ， （d，e） ，2 人来自同一组的概率为 p= 19 （12 分）已知关于 x 的一次函数 y=mx+n（1）设集合 P=2，1，1，2，3和 Q=2，3，分别从集合 P 和
26、 Q 中随机取一个数作为 m 和 n，求函数 y=mx+n 是增函数的概率；（2）实数 m，n 满足条件 求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、三象限的概率【解答】解：（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：=（2，2 ） ， （2，3 ） ， （1， 2） ， （1，3） ，（1，2） ， （1，3） ， （2 ， 2） ， （2，3） ， （3，2） ，（3，3）共 10 个基本事件（2 分）设使函数为增函数的事件空间为 A：则 A=（1，2） ， （1，3） ， （2， 2） ， （2，3） ， （3，2） ，（3，3）有 6 个基本事件（4 分）所以， （6 分）（2）m、n 满
27、足条件 m+n10 ， 1m1，1n1 的区域如图所示：使函数图象过一、二、三象限的（m，n ）为区域为第一象限的阴影部分所求事件的概率为 （12 分）20 （12 分）已知抛物线 C：x 2=4y 的焦点为 F，准线与 y 轴的交点为 Q，过点Q 的直线 l，抛物线 C 相交于不同的 A，B 两点（1）若 ，求直线 l 的方程；（2）若点 F 在以 AB 为直径的圆外部，求直线 l 的斜率的取值范围【解答】解：（1）由抛物线 C：x 2=4y，可得 Q（ 0，1） ，且直线 l 斜率存在，可设直线 l：y=kx1，由 ，得：x 24kx+4=0，令=16k 2160，解得： k 1 或 k1
28、设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则有 x1+x2=4k，x 1x2=4，|AB|= = |AB|= ，k 41=15，解得 k=2，直线 l 的方程为：y= 2x1；（2）由（1）知，k1 或 k1，x 1+x2=4k，x 1x2=4，点 F 在以 AB 为直径的圆外部， =x1x2+y1y2（y 1+y2）+1= ，解得：k 22，即 又 k 1 或 k1，直线 l 的斜率的取值范围是（ ，1）（1， ） 21 （12 分）已知 F1，F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，离心率为 ，M，N 分别是椭圆的上、下顶点， （1）求椭圆 E 的方程；（2）若直线 y=kx+m 与椭
29、圆 E 交于相异两点 A，B，且满足直线 MA，MB 的斜率之积为 ，证明：直线 AB 恒过定点，并采定点的坐标【解答】 （1）解：由题知 F2（c，0） ，M（0，b） ， N（0， b） ，可得， ， ，由 e= ，得 a=2c，又 a2b2=c2， 由联立解得：a 2=4，b 2=3，椭圆 E 的方程为 ；（2）证明：由椭圆 E 的方程得，上顶点 M（0， ） ，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由题意知，x 10，x 20由 ，得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 23）=0 ， ，又 ， 由 ，得 ，即： ， ，化简得： 解得： 或 m= ，结合 x10，x 20，可得 m= 即直线 AB 恒过定点（0， 2 ） 22 （12 分）在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为（1）求圆 C 的直角坐标方程：（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，若点 P 的坐标为 ，求|PA |+|PB|【解答】解：（1）圆的极坐标方程： ，转化为： 即： （2）将直线的参数方程 （t 为参数）代入圆的直角坐标方程得：，所以： ， （t 1 和 t2 为 A、B 的参数） 故：
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