1、4.3.2 空间两点间的距离公式【课时目标】 1掌握空间两点间的距离公式2理解空间两点间距离公式的推导过程和方法3能够用空间两点间距离公式解决简单的问题1在空间直角坐标系中，给定两点 P1(x1，y 1，z 1)，P 2(x2，y 2，z 2)，则|P1P2| _特别地：设点 A(x，y，z)，则 A 点到原点的距离为：|OA|_2若点 P1(x1，y 1,0)，P 2(x2， y2,0)，则|P 1P2|_3若点 P1(x1,0,0)，P 2(x2,0,0)，则|P 1P2|_一、选择题1若 A(1,3， 2)、B(2,3,2)，则 A、B 两点间的距离为 ( )A B25 C5 D61 5
2、72在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，若 D(0,0,0)、A (4,0,0)、B(4,2,0) 、A 1(4,0,3)，则对角线 AC1 的长为( )A9 B C5 D229 63到点 A(1 ，1，1) ， B(1,1,1)的距离相等的点 C(x，y，z) 的坐标满足( )Axyz1 Bx yz0Cx yz1 Dx yz44已知 A(2,1,1)，B(1,1,2) ，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是( )AA、B 、C 三点可以构成直角三角形BA、B、C 三点可以构成锐角三角形CA、B、C 三点可以构成钝角三角形DA、B 、C 三点不能构成任何三角形5已知 A(x,5x,2x
3、 1)，B(1，x2,2x)，当|AB| 取最小值时，x 的值为( )A19 B C D87 87 19146点 P(x，y，z)满足 2，则点 P 在( )x 12 y 12 z 12A以点(1,1，1)为球心，以 为半径的球面上2B以点(1,1，1)为中心，以 为棱长的正方体内2C以点(1,1，1)为球心，以 2 为半径的球面上D无法确定二、填空题7在空间直角坐标系中，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的顶点 A(3，1,2) ，其中心 M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为_8已知 P 到直线 AB 中点的距离为 3，其中 A(3,5，7)，B( 2,4,3)，则(32，52，
4、z)z_9在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，3,1) ，点 M 在 y 轴上，且 M 到 A与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是 _三、解答题10在 xOy 平面内的直线 xy1 上确定一点 M，使它到点 N(6,5,1)的距离最小11如图所示，BC4，原点 O 是 BC 的中点，点 A 的坐标为( ，0) ，点 D 在平面32 12yOz 上，且 BDC 90，DCB30，求 AD 的长度能力提升12已知正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBN a(0 a )2(1)求 M
5、N 的长；(2)当 a 为何值时，MN 的长最小13在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，| AB|AD|3，| AA1|2，点 M 在 A1C1 上，|MC1| 2|A1M|，N 在 D1C 上且为 D1C 中点，求 M、N 两点间的距离空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解设 P1(x1， y1，z 1)，P 2(x2，y 2，z 2)，则d(P1，P 2) ，当 P1，P 2 两点落在了坐标平面内或与坐标x2 x12 y2 y12 z2 z12平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，
6、当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式432 空间两点间的距离公式 答案知识梳理1 x1 x22 y1 y22 z1 z22 x2 y2 z22 x1 x22 y1 y223|x 1x 2|作业设计1C | AB| 51 22 3 32 2 222B 由已知求得 C1(0,2,3)，|AC 1| 293B |AC|BC |(x1) 2(y1) 2(z1) 2(x1) 2(y1) 2(z 1) 2即xy z 04A |AB| ，| BC| ，|AC|1，2 3|AB| 2 |AC|2|BC| 2故构成直角三角形5C | AB| ，当 x x 12 3 2x2 3x 32 14x2
7、 32x 19 32214时，| AB|最小 876C 7239380 或4解析 利用中点坐标公式，则 AB 中点 C ，| PC|3，即(12，92， 2)3，(32 12)2 (52 92)2 z 22解得 z0 或 z49(0，1,0)解析 设 M 的坐标为(0，y, 0)，由|MA |MB |得(0 1) 2(y0) 2(0 2) 2(01)2( y 3)2(01) 2，整理得 6y60，y1，即点 M 的坐标为(0 ，1,0)10解 点 M 在直线 xy1(xOy 平面内)上，可设 M(x,1x, 0)|MN | x 62 1 x 52 0 12 ，2x 12 51 51当且仅当 x
8、1 时取等号，当点 M 坐标为(1,0,0) 时，|MN| min 5111解 由题意得 B(0，2,0)，C (0,2,0)，设 D(0，y，z)，则在 RtBDC 中，DCB30 ，BD2，CD2 ，z ， y13 3D(0，1， )3又A( ，0) ，32 12|AD | 322 12 12 32 612解 平面 ABCD平面 ABEF，平面 ABCD平面 ABEFAB，ABBE，BE平面 ABCD，AB、BC、BE 两两垂直过点 M 作 MGAB，MHBC，垂足分别为 G、H ，连接 NG，易证 NGABCMBNa，CHMHBGGN a，22以 B 为原点，以 AB、BE、BC 所在的
9、直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则M ，(22a，0，1 22a)N (22a，22a，0)(1)|MN| (22a 22a)2 (0 22a)2 (1 22a 0)2 ，a2 2a 1 (a 22)2 12(2)由(1)得，当 a 时，|MN |最短，最短为 ，这时 M、N 恰好为 AC、BF 的中点22 2213解 如图分别以 AB、AD、AA 1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系由题意可知 C(3,3,0)，D(0,3,0)，|DD 1|CC 1|2，C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，N 为 CD1 的中点，N (32，3，1)M 是 A1C1 的三分之一分点且靠近 A1 点，M(1,1,2)由两点间距离公式，得|MN| (32 1)2 3 12 1 22 212
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