1、习题课 圆与方程【课时目标】 1巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题2熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用1圆的方程Error!2直线与圆的位置关系的判定(d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆半径) Error!3圆与圆的位置关系(d 表示两圆圆心距， R、r 表示两圆半径且Rr)Error!一、选择题1圆 x2y 22x 4y0 的圆心坐标和半径分别是( )A(1，2) ， 5 B(1，2) ， 5C(1,2)，5 D(1,2) ， 52以线段 AB：x y 20(0x 2) 为直径的圆的方程为( )A(x 1)2(y1) 22B(x1) 2( y1) 22C(x
2、1) 2( y1) 28D(x 1)2(y1) 283直线 x y0 绕原点按逆时针方向旋转 30所得直线与圆 x2y 24x10 的位3置关系是( )A相交且过圆心 B相交但不过圆心C相切 D相离4若圆 x2y 22ax 3by0 的圆心位于第三象限，则直线 xayb0 一定不经过( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5直线 l 与直线 3x4y150 垂直，与圆 x2y 218x450 相切，则直线 l 的方程是( )A4x3y60B4x 3y660C4x 3y60 或 4x3y 660D4x3y1506方程 k (x2) 3 有两个不等实根，则 k 的取值范围为( )4 x2
3、A B(512，34 34， )C D( ，512 (512，34)二、填空题7过点 M(0,4)，且被圆(x1) 2y 24 截得的线段长为 2 的直线方程为3_8一束光线从点 A(1,1) 出发经 x 轴反射到圆( x2) 2(y3) 21 上的最短路程为_9集合 A( x，y )|x2y 24，B(x，y )|(x3) 2(y 4)2r 2，其中 r0，若 AB中有且仅有一个元素，则 r 的值是_三、解答题10有一圆 C 与直线 l：4x3y60 相切于点 A(3,6)，且经过点 B(5,2)，求此圆的标准方程11已知圆 C：x 2y 22x4y200 及直线 l：(2 m1)x(m1)
4、 y7m4(m R)(1)证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 总相交；(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程能力提升12已知曲线 C：(x1) 2y 21，点 A(1,0) 及点 B(2，a)，从点 A 观察点 B，要使视线不被曲线 C 拦住，则 a 的取值范围是 ( )A(，1)(1 ，)B(， )( ，)3 3C( ，)3D(，3 )(3 ，)3 313已知 P 是直线 3x4y 80 上的动点，PA、PB 是圆 x2y 22x2y10 的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形 PACB 面积的最小值初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章
5、则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时收到意想不到的效果圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中
6、垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角习题课 圆与方程 答案知识梳理1(1)(xa) 2( yb) 2r 2 ( a，b) (2)x 2y 2DxEyF0 D 2E 24F2dr dr作业设计1D2B 线段 AB 两端点为(0,2)、(2,0)，圆心为(1,1) ，半径 r ，选 B23C 直线旋转后为 y x，圆心(2,0)到该直线距离 dr选 C34D 圆的标准方程为(xa) 2 2a 2 b2(y 32b) 94圆心为 a0y x 不过第四象限(a， 32
7、b) 1a ba5C 设直线方程为 4x3y m0，由直线与圆相切得 m6 或666A 在同一平面直角坐标系中分别画出 y (就是 x2y 24，y0) 和 yk(x2) 34 x2的图象如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需 kPAkk PBkPB ，对于 k(x2)y30，因为直线与圆相切，所以 dr ，即3 02 2 342，解得 kPA | 2k 3|k2 1 512所以 k 的取值范围为 (512，347x0 或 15x8y 320解析 设直线方程为 x0 或 kxy40当直线方程为 x0 时，弦长为 2 符合题3意；当直线方程为 kxy40 时，d 1，解得 k ，因此
8、直|k 0 4|k2 1 22 32 158线方程为 15x 8y32084解析 点 A 关于 x 轴的对称点 A(1，1)，转化为求 A(1，1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为 142 12 3 1293 或 7解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系AB 中有且仅有一个元素，两圆 x2y 24 与(x 3) 2(y4) 2r 2 相切，O(0,0)，C(3,4)，| OC|5，r 12，r 2r，故 2r5，或 r25，r3 或 710解 设所求圆的圆心为 O，则 OAl ，又设直线 OA 与圆的另一交点为 P所以直线 OA 的斜率为 故直线 OA 的方程为 y6 (x3) ，即
9、3x4y330又因为34 34kAB 2，从而由平面几何知识可知 kPB ，则直线 PB 的方程为 x2y102 65 3 12解方程组Error!得Error!即点 P 的坐标为(7,3)因为圆心为 AP 的中点 ，(5，92)半径为 OA ，52故所求圆的标准方程为(x5) 2 2 (y 92) 25411(1)证明 把直线 l 的方程改写成(xy4)m(2xy7)0，由方程组Error!，解得Error!，所以直线 l 总过定点(3,1)圆 C 的方程可写成(x1) 2( y2) 225，所以圆 C 的圆心为(1,2)，半径为 5定点(3,1)到圆心(1,2) 的距离为 5，即点(3,1
10、)在圆内所以过点3 12 1 22 5(3,1)的直线总与圆相交，即不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 总相交(2)解 设直线与圆交于 A、B 两点当直线 l 过定点 M(3,1)且垂直于过点 M 的圆 C 的半径时，l 被截得的弦长|AB|最短因为|AB|2 |BC|2 |CM|22 2 4 ，此时 kAB 2，所以直线 AB 的方程25 3 12 1 22 20 51kCM为 y12( x3)，即 2xy50故直线 l 被圆 C 截得的弦长最小值为 4 ，此时直线 l 的方程为 2xy50512B解析 视线即切线，切线与直线 x2 交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线
11、方程为 y (x1)当 x2 时，y ，所以 a(， )( ，)，33 3 3 3故选 B13解 方法一 从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x4y80 向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 SRtPAC |PA|AC| |PA|越来越大，从而12 12S 四边形 PACB也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形 PACB变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线时，S 四边形 PACB应有唯一的最小值，此时|PC | 3，|31 41 8|32 42从而|PA| 2 |PC|2 |AC|2 2(S 四边形 PACB)
12、min2 |PA|AC|2 12 2方法二 利用等价转化的思想，设点 P 坐标为(x，y)，则|PC| ，由勾股定理及|AC|1，得x 12 y 12|PA| ，从而 S 四边形 PACB2S |PC|2 |AC|2 x 12 y 12 1PAC 2 |PA|AC| PA| ，从而欲求 S 四边形 PACB的最小值，只需求| PA|12 x 12 y 12 1的最小值，只需求|PC| 2( x1) 2( y1) 2 的最小值，即定点 C(1,1)与直线上动点 P(x，y)距离的平方的最小值，它也就是点 C(1,1)到直线 3x4y 8 0 的距离的平方，这个最小值d2( )29，|31 41 8|32 42(S 四边形 PACB)min 2 9 1 2
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