1、第 21 课时 平面向量基本定理课时目标1.了解平面向量的基本定理及其意义2能正确的运用平面向量基本定理解决问题识记强化1平面向量基本定理:如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一对实数 1, 2,使 a 1e1 2e2.不共线的向量 e1、e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2已知两个非零向量 a 和 b,作 a、 b,则AOB (0180)叫做向量OA OB a 与 b 的夹角如果 a 与 b 的夹角是 90,我们就说 a 与 b 垂直,记作 ab.课时作业一、选择题1下列各组向量中,一定能作为基底的是( )Aa0,b0Ba3e
2、,b 3e(e0)Ca2e 1e 2,be 12e 2(e1,e 2 不共线)Da4e 14e 2,b2e 12e 2(e1,e 2 不共线)答案:C解析:由平面向量基本定理知,a,b 不共线,选 C.2设 a,b 是不共线的两个非零向量,已知 2apb, ab, a2b.若AB BC CD A,B ,D 三点共线,则 p 的值为 ( )A1 B2C2 D1答案:D解析: 2ab, 2apb,由 A,B,D 三点共线,知存在实数 ,BD BC CD AB 使 2apb2 a b.a,b 不共线, Error!,p1.3在矩形 ABCD 中,O 是对角线的交点,若 e 1, e 2,则 ( )B
3、C DC OC A. (e1 e2) B. (e1e 2)12 12C. (2e2e 1) D. (e2e 1)12 12答案:A解析:因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点, e 1, e 2,所以 ( )BC DC OC 12BC DC (e1 e2),故选 A.124已知非零向量 , 不共线,且 2 y ,若 (R),则 x,yOA OB OP xOA OB PA AB 满足的关系是( )Axy20 B2x y10Cx 2y20 D2x y20答案:A解析:由 ,得 ( ),即 (1) .又PA AB OA OP OB OA OP OA OB 2 x y ,Error!,消去 得 xy
4、2.OP OA OB 5已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上( 不包括端点),则 ( )AP A( ), (0,1)AB AD B( ),AB BC (0,22)C( ),(0,1)AB AD D( ),AB BC (0,22)答案:A解析:如图所示, .又点 P 在 AC 上, 与 同向,且| | |,故AC AB AD AP AC AP AC ( ),(0,1) AP AB AD 6若点 O 是ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的交点,且 4e 1, 6e 2,则AB BC 3e22e 1 等于( )A. B.AO CO C. D.BO DO 答案:C解析:3e
5、22e 1 (6e24e 1) ( )12 12BC AB ( ) .12AD AB 12BD BO 二、填空题7已知 e1,e 2 是两个不共线向量,ak 2e1 e2 与 b2e 13e 2 共线,则实数(1 5k2)k_.答案:2 或13解析:由题设,知 ,3k 25k20,解得 k2 或 .k22 1 5k23 138已知 e1,e 2 是两个不共线向量,若 a2e 1e 2 与 be 1e 2 共线,则 _.答案:12解析:因为 a2e 1e 2 与 be 1e 2 共线,所以存在唯一的 ,使 2e1e 2(e 1e 2)e 1e 2,所以 2,1,故 .129已知平行四边形 ABC
6、D 中,E 为 CD 的中点, y , x ,其中AP AD AQ AB x,yR,且均不为 0.若 ,则 _.PQ BE xy答案:12解析: x y ,由 ,可设 ,即 x y (PQ AQ AP AB AD PQ BE PQ BE AB AD ) ,Error!,则 .CE CB ( 12AB AD ) 2AB AD xy 12三、解答题10.如图,在ABCD 中, a, b, 3 ,M 为 BC 的中点,试用 a,b 表示AB AD AN NC .MN 解:由 3 ,知 N 为 AC 的四等分点AN NC MN MC CN 12AD 14AC ( )12AD 14AB AD 14AB
7、14AD a b.14 1411已知向量 a2e 13e 2,b2e 13e 2,其中 e1,e 2 不共线,向量 c2e 19e 2,若存在实数 和 ,使 d a b 与 c 共线,那么实数 和 应该是什么关系?解:da b(2e 13e 2)(2 e13e 2)(22)e 1( 33)e 2,若 d 与 c 共线,则应有实数 k,使 dk c,即(22 )e1(33)e 22ke 19k e2,由Error!得 2,故存在这样的实数 ,只要 2,就能使 d 与 c 共线能力提升12在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点若 ,AC AE AF 其中 ,R,则
8、 _.答案:43解析:选择 , 作为平面向量的一组基底,则AB AD , , ,又 ( ) ( )AC AB AD AE 12AB AD AF AB 12AD AC AE AF 12 AB 12,AD 于是得Error!解得Error!所以 .4313.如图,在ABC 中,D、F 分别是 BC、AC 的中点, , a, b.AE 23AD AB AC 求证:B、E 、F 三点共线证明:如图所示,延长 AD 到 G,使 2 ,连接 BG、CG,得到平行四边形AG AD ABGC,则 ab,AG (ab)AD 12AG 12 (ab)AE 23AD 13 b,AF 12AC 12 (ab) a (b2a)BE AE AB 13 13又 ba (b2a)BF AF AB 12 12所以 ,BE 23BF 又因为 与 有公共点 B,所以 B、E、F 三点共线BE BF