1、2.1.1 平面,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,第二章 点、直线、平面之间的位置关系,观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？,空间点、直线、平面的位置关系,问题,长方体由上下、前后、左右六个面围成,有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所在的直线都可以看成是某个平面内的直线，等等,观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？,实例引入,观察,一.平面的概念：,光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。,二.平面的特征：,平面没有大小、厚薄和宽窄，平面
2、在空间是无限延伸的。,练习,三.平面的画法：,（1）水平放置的平面：,（2）垂直放置的平面：,通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450,（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。,四.平面的表示方法：,平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示。,如：平面，平面，平面ABCD，平面AC平面BD等。,1、下图中的平面中有无不正确的地方？应如何纠正？,练习,2、图中平面与平面是否为同一平面？,不是,是,不是,练习,五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,点A在直线a上：,记为：Aa,点B不在直线a上
3、：,点A在平面上：,记为：A,点B不在平面上：,1.点与直线的位置关系：,2.点与平面的位置关系：,直线a经过点A，直线a不过点B,平面经过点A，平面不过点B,3.直线与平面的位置关系：,直线a上的所有点都在平面上，称直线a在平面内，或称平面通过直线a.记为：,直线a与平面只有一个公共点A时，称直线a与平面相交。 记为：aA,直线a与平面没有公共点时，称直线a与平面平行。 记为：a 或 a.,五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,a,Aa,A,bA,a 或 a,五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,如图，用符号表示以下各概念：,直线a在平面内 ；点C 在平面内 ；,点D不在
4、平面内 ； 直线b不在平面内 ,点A、B在直线a上 ；,练习,例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系,（1）,（2）,解：在（1）中，,在（2）中，,典例剖析,例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 （1）点A在平面内，点B不在平面内，点A，B都在直线 a上； （2）平面与平面相交于直线 m，直线 a 在平面内且平行于直线 m.,典例剖析,公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。,观察下列问题，你能得到什么结论？,公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点
5、都在这个平面内）。,文字语言：,图形语言：,符号语言：,定理的用途：判定直线是否在平面内,公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,观察下列问题，你能得到什么结论？,文字语言：,图形语言：,符号语言：,公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,定理的用途：确定平面的主要依据,把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？,思考,B,公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。,观察下列问题，你能得到什么结论？,天花板,墙面,墙面,文字语言：,图形语言：,符号语言：,公理3.如果两个不重合的平面
6、有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。,定理的用途判断两个平面相交的依据,判断点在直线上.,推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。,推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。,推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。,公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.,确定平面的方法,证明三线共面,可先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在此平面内.,例1.一条直线和两条平行线都相交,求证:这三条直线共面.,B,A,a,b,l,已知:如图,ab,l a =A, l b =B,求证:a,b,l三线共面,证明: ab,由公理2推论3有直线a,b确定一个平面, a,b,l三线共面于,又Aa,a , A ,同理B, 由公理1有:l ,练习,C,练习,C,C,小结,1.空间中点线面的位置关系,2.三个公理,3.平面的确定方法,4.文字语言、图形语言、符号语言的相互转化,公理1,公理2,公理3,
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