1、12.3 角的平分线的性质,1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中,掌握角平分线的作法和角平分线的性质,发展数学直觉. 2.提高综合运用三角形全等的有关知识的解决能力;掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用.,不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法?,再打开纸片 ,看看折痕与这个角有何关系?,对折,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?,观察下面简易的平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是DAB的平分线.你能说明它的道理吗?,【证明】在ACD和ACB中A
2、D=AB(已知)DC=BC(已知) CA=CA(公共边) ACD ACB(SSS)CAD=CAB(全等三角形的对应角相等) AC平分DAB(角平分线的定义),根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器),尺规作角的平分线,画法:,1.以为圆心,适当长为半径作弧,交于,交于,2.分别以,为圆心大于 的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于,3.作射线OC,射线OC即为所求,为什么OC是的角平分线?,将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,已知:OC平分AO
3、B,点P在OC上,PDOA于D,PEOB于E,,求证: PD=PE.,证明: C平分, P是OC上一点(已知) DP=BP(角平分线定义) PDOA,PEOB (已知) ODP=OEP=90(垂直的定义) 在OPD和OPE中DOP=BOP (已证)ODP=OEP (已证)OP=OP (已知) OPDOPE(AAS) PDPE(全等三角形对应边相等),定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等.,用符号语言表示为:,1= 2PD OA ,PE OB PD=PE.,角平分线的性质,如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处?(比例尺为
4、120000),D,C,s,【解析】 作夹角的角平分线OC,截取OD=2.5cm ,D即为所求.,O,反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?,已知:如图,QDOA,QEOB, 点D、E为垂足,QDQE 求证:点Q在AOB的平分线上,证明: QDOA,QEOB QDOQEO90(垂直的定义) 在RtQDO和RtQEO中QOQO(公共边) QD=QE RtQDORtQEO(HL) QODQOE点Q在AOB的平分线上,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,(1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (2). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_),1
5、= 2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点,在这个角平分线上.,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,1.已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.,【解析】根据角平分线的性质得到DE=DF,再根据HL证BEDCFD,从而得到EB=FC.,2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B.两处 C.三处 D.四处,【解析】选D.由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处,在各自夹角的平分线上,即:A、B、C、D各一处.,3.(宁德中考)如图,已知AD是ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使AEDAFD,需添加一个条件是:_,并给予证明.,c,解法一:添加条件:AEAF,在AED与AFD中, AEAF,EADFAD,ADAD, AEDAFD(SAS). 解法二:添加条件:EDAFDA,在AED与AFD中,EADFAD,ADAD,EDAFDA,AEDAFD(ASA).,1.角平分线的性质:,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的判定:,到角的两边的距离相等的点在角平分线上.,通过本课时的学习,需要我们掌握:,