1、课时训练(十七) 二次函数的几何应用(限时:30 分钟)|夯实基础|1. 2018潍坊 如图 K17-1,菱形 ABCD 的边长是 4 厘米,B= 60,动点 P 以 1 厘米/ 秒的速度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止,动点 Q 以 2 厘米 /秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止. 若点 P,Q 同时出发运动了 t 秒,记BPQ 的面积为 S 厘米 2,下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是 ( )图 K17-1图 K17-22. 如图 K17-3,抛物线 m:y=ax2+b(a0)与 x 轴交于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴
2、交于点 C. 将抛物线 m 绕点 B旋转 180,得到新的抛物线 n,它的顶点为 C1,与 x 轴的另一个交点为 A1. 若四边形 AC1A1C 为矩形,则 a,b 应满足的关系式为 ( )图 K17-3A. ab=-2 B. ab=-3C. ab=-4 D. ab=-53. 二次函数 y=x2-8x+15 的图象与 x 轴相交于 M,N 两点,点 P 在该函数的图象上运动,能使 PMN 的面积等于 的点 P 共12有 个. 4. 2018长春 如图 K17-4,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+mx 交 x 轴的负半轴于点 A. 点 B 是 y 轴正半轴上一点,点A关于点 B 的对称点
3、A恰好落在抛物线上. 过点 A作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 C. 若点 A的横坐标为 1,则 AC的长为 . 图 K17-45. 2018枣庄 如图 K17-5,点 P 从ABC 的顶点 B 出发,沿 BCA 匀速运动到点 A. 图 是点 P 运动时,线段 BP长度 y 随时间 x 变化的图象,其中 M 为曲线部分的最低点 ,则 ABC 的面积是 . 图 K17-56. 如图 K17-6,在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P 在抛物线 y=ax2 上,P 恒过点 F(0,n),且与直线 y=-n 始终保持相切,则 n= (用含 a 的代数式表示). 图 K17-67. 2018龙东
4、如图 K17-7,抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A(0,2),对称轴为直线 x=-2,平行于 x 轴的直线与抛物线交于B,C 两点,点 B 在对称轴左侧,BC=6. (1)求此抛物线的解析式;(2)点 P 在 x 轴上,直线 CP 将 ABC 的面积分成 23 的两部分,请直接写出 P 点坐标. 图 K17-78. 2018苏州 如图 K17-8,已知抛物线 y=x2-4 与 x 轴交于点 A,B(点 A 位于点 B 的左侧), C 为顶点. 直线 y=x+m 经过点A,与 y 轴交于点 D. (1)求线段 AD 的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为 C
5、. 若新抛物线经过点 D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC平行于直线 AD,求新抛物线对应的函数表达式. 图 K17-8|拓展提升|9. 2018鄂州 如图 K17-9,已知矩形 ABCD 中,AB= 4 cm,BC=8 cm,动点 P 在边 BC 上从点 B 向点 C 运动,速度为 1 cm/s,同时动点 Q 从点 C 出发,沿折线 CDA 运动,速度为 2 cm/s. 当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动. 设点 P运动时间为 t(s),BPQ 的面积为 S(cm2),则描述 S(cm2)与 t(s)之间的函数关系的图象大致是 ( )图 K17-9 图 K17-1010.
6、 2018遂宁 如图 K17-11,已知抛物线 y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数 y= (x0)的图象相交于点 B,且 B 点的横坐标为93,抛物线与 y 轴交于点 C(0,6),A 是抛物线 y=ax2-4x+c 的顶点,P 点是 x 轴上一动点,当 PA+PB 最小时,P 点的坐标为 . 图 K17-11参考答案1. D 解析 当 0t2 时,点 Q 在 BC 上,此时 BP=4-t,BQ=2t,S= (4-t)2tsin60=- t2+2 t 是开口向下的抛物线的一部分,可12 32 3排除 A 和 C;当 2t4 时,BPQ 中 BP 边上的高不变,始终为 4sin60=2 ,
7、此时 S= (4-t)2 =- t+4 ,面积随底边的减312 3 3 3小而减小,最终变为 0,故选择 D. 2. B 解析 令 x=0,得 y=b. C(0,b). 令 y=0,得 ax2+b=0,x= ,-A - ,0 ,B ,0 ,- -AB=2 ,BC= = . - 2+2 2-要使平行四边形 AC1A1C 是矩形,必须满足 AB=BC,2 = ,- 2-4 - =b2- , ab=-3. a,b 应满足关系式 ab=-3. 故选 B. 3. 4 解析 y=x2-8x+15 的图象与 x 轴交点为(3,0) 和(5,0),MN=2,设 P 点坐标为(x,y), y=x2-8x+15,
8、SPMN= = MN|y|,1212可得 y1= ,y2=- . 12 12当 y= 时,x= ;12 862当 y=- 时,x= ,12 822所以共有四个点. 4. 3 解析 如图,设 AC 与 y 轴交于点 D. 点 A 与点 A关于点 B 对称,AB=AB. 又 ACx 轴,ADB=AOB=90,DAB=OAB,ABOABD,AO=AD,点 A的横坐标为 1,AD=AO=1,点 A 坐标为(-1,0). 把(-1,0) 代入抛物线解析式 y=x2+mx 得 m=1,抛物线解析式为 y=x2+x,点 A坐标为(1,2) . 令 y=2 得,x 2+x=2,解得 x1=-2,x2=1,AC
9、=1-(-2)=3. 5. 12 解析 动点 P 运动过程中: 当动点 P 在 BC 上时,BP 由 0 到 5 逐渐增加,所以可得 BC=5;当动点 P 在 AC 上时,BP 先变小后变大且当 BP 垂直于 AC 时,BP 最小,为 4. 当 P 点运动到 A 点时,BP=5,所以可得 AB=5,由题意可得ABC 是等腰三角形,AB=BC= 5,且底边 AC 上的高为 4,当 BP 垂直于 AC 时,由勾股定理可得 AP=CP=3,即 AC=6,所以ABC 的面积= ACBP=12. 126. 解析 如图,连接 PF. 设P 与直线 y=-n 相切于点 E,连接 PE. 则 PEAE. 14
10、动点 P 在抛物线 y=ax2 上,设 P(m,am2). P 恒过点 F(0,n),PF=PE,即 =am2+n. 2+(2-)2n= . 147. 解:(1) 点 A(0,2)在抛物线 y=x2+bx+c 上, c=2,抛物线对称轴为直线 x=-2,- =-2,b=4,21抛物线的解析式为 y=x2+4x+2. (2)点 P 的坐标为(-6,0)或( -13,0). 提示:抛物线对称轴为直线 x=-2,BCx 轴,且 BC=6,点 C 的横坐标为 62-2=1,把 x=1 代入 y=x2+4x+2 得 y=7,C(1,7),ABC 中 BC 边上的高为 7-2=5,SABC= 65=15.
11、 令 y=7,得 x2+4x+2=7,解得 x1=1,x2=-5,B(-5,7),AB=5 . 设直线 CP 交 AB 于点 Q,直线 CP 将12 2ABC 的面积分成 23 的两部分,符合题意的点 P 有两个,对应的点 Q 也有两个. 当 AQ1BQ1=23 时,作 Q1M1y 轴,Q 1N1BC,则 AQ1=2 ,Q1M1=2,BQ1=3 ,Q1N1=3,Q1(-2,4),2 2C(1,7),直线 CQ1 的解析式为 y=x+6,令 y=0,则 x=-6,P1(-6,0);当 BQ2AQ2=23 时,作 Q2M2y 轴,Q 2N2BC,则 AQ2=3 ,Q2M2=3,BQ2=2 ,Q2N
12、2=2,Q2(-3,5),2 2C(1,7),直线 CQ2 的解析式为 y= x+ ,令 y=0,则 x=-13,P2(-13,0). 12 132综上,点 P 的坐标为(- 6,0)或(-13,0). 8. 解:(1)由 x2-4=0 解得 x1=2,x2=-2. 点 A 位于点 B 的左侧, A(-2,0). 直线 y=x+m 经过点 A,-2+m=0,m=2,D(0,2). AD= =2 . 2+2 2(2)新抛物线经过点 D(0,2),设新抛物线对应的函数表达式为 y=x2+bx+2,y=x2+bx+2= x+ 2+2- . 2 24直线 CC平行于直线 AD,并且经过点 C(0,-4
13、),直线 CC的函数表达式为 y=x-4. 2- =- -4,整理得 b2-2b-24=0,24 2解得 b1=-4,b2=6. 新抛物线对应的函数表达式为 y=x2-4x+2 或 y=x2+6x+2. 9. A 解析 由题意可知 0t6,当 0t2 时,如图 所示,S= BPCQ= t2t=t2;12 12当 t=2 时,如图 所示,点 Q 与点 D 重合,则 BP=2,CQ=4,故 S= BPCQ= 24=4;12 12当 2t6 时,如图 所示,点 Q 在 AD 上运动,S= BPCD= t4=2t. 12 12故选 A. 10. ,0 解析 B 点的横坐标为 3,且点 B 在反比例函数
14、 y= 的图象上,125 9B(3,3). 抛物线 y=ax2-4x+c(a0)经过 B,C 两点, 解得9-12+=3,=6, =1,=6,抛物线的解析式为 y=x2-4x+6=(x-2)2+2,抛物线的顶点 A 的坐标为(2,2),点 A 关于 x 轴的对称点 A的坐标为(2,- 2). 设 AB 所在的直线解析式为 y=kx+b,则 解得2+=-2,3+=3, =5,=-12,直线 AB 的解析式为 y=5x-12,令 y=0,解得 x= ,125直线 AB 与 x 轴的交点坐标为 ,0 . 125根据两点之间线段最短,可得当 P 的坐标为 ,0 时,PA+PB 最小. 125故答案为 ,0 . 125
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