1、第一章 三角形的证明一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)1等腰三角形两边的长分别为 3 和 6,则这个等腰三角形的周长为( )A12 B15 C12 或 15 D182如图 1,在ABC 和DEC 中,已知 ABDE ,还需添加两个条件才能使ABC DEC,不能添加的一组条件是( )图 1ABCEC,BEBBCEC , ACDCCBCDC ,ADDBE , A D3下列命题的逆命题是真命题的是( )A如果 a0,b0,则 a b0B直角都相等C两直线平行,同位角相等D若 a6,则|a| |6|4如图 2,一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40的方向行驶 40 海
2、里到达 B 地,再由 B 地向北偏西 20的方向行驶 40 海里到达 C 地,则 A,C 两地相距( )图 2A30 海里 B40 海里C50 海里 D60 海里5如图 3,在ABC 中,C90,AC 3,B30,P 是 BC 边上的动点,则 AP的长不可能是( )图 3A3.5 B4.2 C5.8 D76如图 4,以AOB 的顶点 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于点 C,交 OB 于点 D,再分别以点 C,D 为圆心,大于 CD 的长为半径画弧,两弧在AOB 内部交于点12E,过点 E 作射线 OE,连接 CD.则下列说法错误的是( )图 4A射线 OE 是AOB 的平分线BCOD
3、 是等腰三角形CC,D 两点关于 OE 所在直线对称DO,E 两点关于 CD 所在直线对称7如图 5,AD 是ABC 的角平分线,DEAB 于点 E, DFAC 于点 F,S ABC 7,DE 2 ,AB 4,则 AC 的长是( )图 5A6 B5 C4 D38.如图 6,长方体的底面边长分别为 2 cm 和 3 cm,高为 6 cm.如果用一根细线从点 A开始经过 4 个侧面缠绕一圈达到点 B,那么所用细线最短需要( )图 6A11 cm B2 cm34C(82 )cm D(73 )cm10 5二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)9已知等腰三角形的一个底角为 70,
4、则它的顶角为_. 10用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是直角”时,第一步应假设_11如图 7,已知 OC 平分AOB,CDOB,若 OD6 cm,则 CD 的长为_cm.图 712.如图 8,在ABC 中,ABAC 6 cm,BC 的垂直平分线 l 与 AC 交于点 D,则ABD 的周长为 _cm.13如图 9,在长方形 ABCD 中,AB2,BC3,对角线 AC 的垂直平分线分别交AD,BC 于点 E,F ,连接 CE,则 CE 的长为_图 914如图 10,BOC60,A 是 BO 延长线上的一点,OA10 cm,动点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm/s 的速度移动,动点
5、 Q 从点 O 出发沿 OC 以 1 cm/s 的速度移动,如果点P,Q 同时出发,用 t(s)表示移动的时间,当 t_s 时,POQ 是等腰三角形图 10三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分)15(10 分) 如图 11,在 Rt ABC 中,C 90,AD 平分CAB,DEAB 于点 E.若AC6,BC8,CD3.(1)求 DE 的长;(2)求ADB 的面积图 1116(10 分) 如图 12,AD 为ABC 的角平分线,DEAB 于点 E,DFAC 于点 F,连接 EF 交 AD 于点 O.(1)求证:AD 垂直平分 EF;(2)若BAC 60,写出 DO 与 AD 之间的数量关
6、系,并证明图 1217(12 分) 如图 13,在等边三角形 ABC 中,D 是 AB 边上的动点,以 CD 为一边,向上作等边三角形 EDC,连接 AE.(1)DBC 和EAC 全等吗?请说出你的理由;(2)试说明 AEBC.图 1318(12 分) 如图 14,在ABC 中,A90,B30 ,AC6 cm,点 D 从点 A 开始以 1 cm/s 的速度向点 C 运动,点 E 从点 C 开始以 2 cm/s 的速度向点 B 运动,两点同时运动,同时停止,运动的时间为 t s,过点 E 作 EFAC 交 AB 于点 F.(1)当 t 为何值时,DEC 为等边三角形?(2)当 t 为何值时,DE
7、C 为直角三角形?(3)求证:DC EF.图 14详解详析作 者 说 卷考查意图经历探索、猜测、证明的过程,了解作为证明基础的几条定理的内容,掌握证明的基本步骤和书写格式,能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理,体会证明的重要性;能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质定理和判定定理,培养学生的逆向思维能力,增强论证趣味性,激发学生学习数学的兴趣和信心,同时体会逻辑证明在实际中的意义和作用本套试卷易、中、难比例控制在 721 左右三角形全等 2,17等腰三角形 1,4,9,14,18勾股定理及其逆定理 13,15(2)线段的垂直平分线 12,13,16知识与技能角平分线
8、6,11,15(1)思想方法 方程思想、转化思想、分类讨论 思想 13,14亮点 第 12 题要注意把ABD 的周长转化为线段 AB AC 的长1解析 B 当 3 为底边长时,腰长为 6,可以构成三角形,此时三角形的周长为15;当 3 为腰长时,其他两边长为 3 和 6.336,不能构成三角形,故舍去故选B.2答案 C3解析 C A 项, “如果 a0,b0,则 ab0”的逆命题是“如果 ab0,则 a0,b0” ,是假命题;B 项, “直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角” ,是假命题;C 项, “两直线平行,同位角相等 ”的逆命题是“ 同位角相等,两直线平行” ,是真命题;D 项, “若
9、 a6,则|a| |6|”的逆命题是“若|a|6| ,则 a6” ,是假命题故选 C.4解析 B 连接 AC.由题意得ABC60,ABBC,ABC 是等边三角形,ACAB40 海里故选 B.5答案 D6解析 D 由作图可知射线 OE 是AOB 的平分线,OCOD ,所以COD 是等腰三角形;易证 OECD,且 OE 平分 CD,即 C,D 两点关于 OE 所在直线对称,故选项A,B , C 均正确只有选项 D 错误7解析 D AD 是ABC 的角平分线,DEAB 于点 E,DFAC 于点F,DFDE2.又S ABC S ABD S ACD ,AB4,7 42 AC2,AC 3.12 12故选
10、D.8答案 B9答案 40解析 因为等腰三角形的一个底角为 70,所以另外一个底角也为 70, 根据三角形内角和定理,可得它的顶角为 40.10答案 一个三角形中有两个角是直角解析 用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角时,应先假设这个三角形中有两个角是直角11答案 612答案 6解析 根据线段垂直平分线的性质定理,得 BDDC,所以所求ABD 的周长就转化为求线段 AB,AD ,DC 的和,即 ABAC,所以ABD 的周长为 6 cm.13答案 136解析 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知 AEEC .设 AEx ,则 ECx,DE3x ,DC 2,在 RtDCE 中,
11、有 22(3 x) 2x 2,解得 x .所以 CE136的长为 .13614答案 或 10103解析 当点 P 在 OA 上,POQO 时,POQ 是等腰三角形,如图所示PO AOAP 102 t,OQt,102tt,解得 t ;103当点 P 在 OB 上, POQO 时,POQ 是等腰三角形,如图所示POAPAO2t10,OQt,2t10t,解得 t10.故答案为: 或 10.10315解:(1)C 90,ACCD.又 AD 平分CAB,DE AB,DECD.又 CD3,DE3.(2)在 RtABC 中,C90,AC 6,BC8,AB 10,AC2 BC2 62 82S ADB ABDE
12、 10315.12 1216解:(1)证明:AD 为 ABC 的角平分线,DEAB,DFAC,DEDF ,AED AFD90.在 Rt AED 和 RtAFD 中,DEDF ,ADAD,RtAEDRtAFD(HL),AEAF.又DEDF ,点 A,D 都在 EF 的垂直平分线上,AD 垂直平分 EF.(2)DO AD.14证明:AD 为ABC 的角平分线,BAC60,EAD30,DE AD.12EAD30,DEAB ,ADEF,DEO 30,DO DE, DO AD.12 1417解:(1)DBC 和EAC 全等理由:ABC 和EDC 都是等边三角形,ACB 60,DCE60,ACBC,DCE
13、C,BCD60ACD,ACE60ACD,BCDACE.在DBC 和EAC 中,BCAC,BCDACE,DC EC,DBCEAC(SAS)(2)DBCEAC,EACB60.又ACB60,EACACB,AEBC.18解:由题意得 ADt cm,CE2t cm.(1)若DEC 为等边三角形,则 ECDC,2t6t,解得 t2,当 t 为 2 时,DEC 为等边三角形(2)若DEC 为直角三角形,当CED90时,B30 ,ACB60,CDE30 ,CE DC,2t (6t),解得 t1.2;12 12当CDE90时,同理可得CED30 , CEDC,12 2t6t,t3,12当 t 为 1.2 或 3 时,DEC 为直角三角形(3)证明:A90 ,B 30,AC 6 cm,BC12 cm,DC(6t)cm,BE(122t )cm.EFAC,BFE A90.B30 ,EF BE (122t)(6t)cm ,12 12DCEF .点评 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质,正确地识别图形是解题的关键