1、高三年级 理科数学试题 第 1 页，共 5页 西安中学 2018-2019学年度第一学期 期中考试 高三 数学 (理科 ) （ 时间 ： 120分钟 满分 150分 ） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） . 1下列命题中假命题是（注： 表示对于任意的， 表示存在）（ ） A , B Nx , C , D , 2设 3,21,1,1 ，则使函数 yx 的定义域为 R且为奇函数的所有 值为（ ） A 1,3 B 1,1 C 1,3 D 1,1,3 3 ()y f x 的图像如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A
2、 0 (2) (3) (3) (2)f f f f B 0 (3) (3) (2) (2)f f f f C 0 (3) (2) (3) (2)f f f f D 0 (3) (2) (3) (2)f f f f 4设 ， 是向量，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知图是函数 2sin( ) 2yx 的图像上的一段，则（ ） A 10 11 6， B 10 11 6 ， C 2 6 ， D26， xR 120x 2( 1) 0x xR lg 1x xR tan 2xa b | | | |ab | | | |a
3、b a b 高三年级 理科数学试题 第 2 页，共 5页 6若 ， 则函数 的两个零点分别位于区间（ ） A 和 内 B 和 内 C 和 内 D 和 内 7科学家以里氏震级来度量地震的强度若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级 r可定义为 0.6lgrI，若 6.5级地震释放的相对能量为 1I ， 7.4级地震释放的相对能量为 2I ，记 21In I ， n 约等于（ ） A 16 B 20 C 32 D 90 8若 sin cos 3sin 5 cos ，则 （ ） A 2425 B 2425 C 6365 D 6365 9 数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填
4、补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等 价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是： “ 以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实 一为从隅，开平方得积 ” 若把以上这段文字写成公式，即 22 2 222142c a bS c a 现有周长为4 2 2 5 的 ABC 满足 s i n : s i n : s i n 2 1 : 5 : 2 1A B C ，试用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ） A 3 B 23 C 5 D 25 10 函数 2 2exxxfx 的大致 图像 是（ ） abc f x x a x b x b
5、 x c x c x a ,ab ,bc ,a ,ab ,bc ,c ,a ,ccos2高三年级 理科数学试题 第 3 页，共 5页 11将函数( ) sin 2f x x的图像向右平移(0 )2个单位后得到函数()gx的图像，若对满足12( ) ( ) 2f x g x的1x，2，有12min 3xx ，则（ ） A512B3C4D612已知函数32s in , 1 ,() 9 2 5 , 1 .xxfx x x x a x ， 若函数 ()fx的 图像 与直线 yx 有四个不同的公共点，则实数 a 的取值范围为（ ） A ( 16, ) B ( , 20) C ( 20, 16) D 20
6、, 16 二填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13 2018 年 8 月 31 日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自 1980 年出台以来第七次大修 为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期 对纳税个人 按照下表 计算个人所得税 值得注意的是起征点变为 5000 元，即下表中 “ 全月 应纳税所得额 ” 是纳税者的月薪金收入减去 5000 元后的余额 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过 3000 元的部分 3% 2 超过 3000 元至 12000 元的部分 10% 3 超过 12000 元至 2500
7、0 元的部分 20% 某企业员工今年 10 月份的月工资为 15000 元，则应缴纳的个人所得税为 _元 14 A， B， C， D 四人猜测自己所买的彩票的中奖情况 A 说： “ 如果我中奖了，那么 B 也中奖了 ” B说： “ 如果我中奖了，那么 C也中奖了 ” C说： “ 如果我中奖了，那么 D也中奖了 ” 结果三人都没有说错，但是只有两人中奖了， 这两人是 _ 高三年级 理科数学试题 第 4 页，共 5页 15在平面直角坐标系中，角 的始边落在 x 轴的非负半轴，终边上有一点是 ( 1, 3) ，若 0,2 ，则 cosxdx _ 16在 ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是
8、线段 BM 的中点若 3A ， ABC 的面积为 3 ，则 AM AN 的最小值为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 . 17（本小题满分 10 分）已知函数 3c o s s in34 f x x x， x R （ 1）求 fx的最小正周期； （ 2）求 fx在闭区间 ,44 上的最大值和最小值 18（本小题满分 12 分） 如图，在平面四边形 ABCD 中， 1AD ， 2CD ， 7AC （ 1）求 cosCAD 的 值 ； （ 2）若 7cos14BAD ， 21sin6CBA，求 BC 的长 19（本小题满分 12 分）
9、设 2( ) ( 5 ) 6 lnf x a x x ，其中 aR ，曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f处的切线与 y轴相交于点 (0,6) （ 1）确定 a的值； （ 2）求函数 ()fx的单调区间与极值 高三年级 理科数学试题 第 5 页，共 5页 20 （本小题满分 12 分） 已知 动点 M 到定点 (1,0)F 的距离比 M 到定直线 2x 的距离小 1 （ 1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）过点 F 任意作互相垂直的两条直线 12,ll，分别交曲线 C 于点 ,AB和 ,MN设线段 AB ，MN 的中点分别为 ,PQ，求证：直线 PQ 恒过一个定点 21 （本小
10、题满分 12 分） 已知函数 2( ) 4xxf x e ae (4 2)ax，其中 1a （ 1）讨论 ()fx的单调性； （ 2）若存在 x 使得 ( ) ( ) 0f x f x ，求实数 a 的取值范围； （ 3）若当 0x 时恒有 ( ) ( )f x f x，求实数 a 的取值范围 22（本小题满分 12分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 cos ,sinxty （ 0t ， 为参数） .以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 sin ( ) 34 （ 1）当 1t 时，求曲线 C 上的
11、点到直线 l 的距离的最大值； （ 2）若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围 第 1 页 共 4 页 西安中学高 2019 届高三期中考试 答案 数学 (理科 ) 一、选择题：（ 5 分 12=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B D D A C C A B D C 二、填空题（ 5 分 4=20 分） 13 790； 14 CD； 15 3 ； 16 31 三、解答题（共 70 分） 17（本小题满分 10 分） 解： （ 1）由已知，有 1 3 3c o s s in c o s2 2 4f x x x x2
12、1 3 3s i n c o s c o s2 2 4x x x 1 3 3s i n 2 1 c o s 24 4 4xx 13s in 2 c o s 244xx 1 sin 223x . 4 分 所以， fx的最小正周期 22T . 6 分 （ 2）因为 fx在区间 ,4 12上是减函数，在区间 ,124上是增函数 144f ， 112 2f ， 144f 所以，函数 fx在闭区间 ,44上的最大值为 14 ，最小值为 12 . 10 分 18（本小题满分 12 分） 第 2 页 共 4 页 解：（ 1） 在 ADC 中，由余弦定理得：2 2 2 7 1 4 2 7c o s27 27
13、A C A D C DC A D A C A D . 5 分 （ 2） s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i n B A C B A D C A D B A D C A D B A D C A D， 代入数值得 3 2 1 2 7 7 2 1 3s i n ( )1 4 7 1 4 7 2 BAC . 10 分 由正弦定理得则37sin 2 3sin 216 A C B A CBC CB A . 12 分 19（本小题满分 12 分） 解： （ 1） 6( ) 2 ( 5 )f x a x x 令 x 1，得 f(1) 16a， f(1) 6 8a，所以曲
14、线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y 16a (6 8a)(x 1) 由点 (0， 6)在切线上可得 6 16a 8a 6，故 a 12 . 4 分 （ 2） 由 (1)知， f(x) x 5 6x （ x 2）（ x 3）x . 7 分 令 f(x) 0，解得 x1 2， x2 3 当 03 时， f(x)0，故 f(x)在 (0， 2)， (3， )上为增函数；当 2x3 时， f(x)0，故 f(x)在 (2， 3)上为减函数 . 10 分 由此可知， f(x)在 x 2 处取得极大值 f(2) 92 6ln 2， 在 x 3 处取得极小值 f(3) 2 6ln 3
15、. 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解：（ 1） 由题意可知：动点 M 到定点 (1,0)F 的距离等于 M 到定直线 1x 的距离，根 据抛物线的定义可知，点 M 的轨迹 C 是抛物线 2 分 2p ， 抛物线方程为： 2 4yx 4 分 （ 2）设 ,AB两点坐标分别为 11( , )xy， 22( , )xy，则点 P 的坐标为 1 2 1 2( , )22x x y y 由题意可设直线 1l 的方程为 ( 1)y k x ( 0)k ， 第 3 页 共 4 页 由 2 4 , ( 1),yxy k x 得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k . 2 2 4 2
16、( 2 4 ) 4 1 6 1 6 0k k k. 6 分 因为直线 1l 与曲线 C 于 ,AB两点，所以12 242xx k ，1 2 1 2 4( 2 )y y k x x k 所以点 P 的坐标为222(1 , )kk. 8 分 由题知，直线 2l 的斜率为 1k ，同理可得点 Q 的坐标为 2(1 2 , 2 )kk. 9 分 当 1k 时，有 2221 1 2kk ，此时直线 PQ 的斜率2222 22 11 1 2PQk kkk kkk 所以，直线 PQ 的方程为 222 ( 1 2 )1 ky k x kk ， 整理得 2 ( 3) 0yk x k y . 于是，直线 PQ 恒
17、过定点 (3, 0)E ； 当 1k 时，直线 PQ 的方程为 3x ，也过点 (3, 0)E 直线 恒过定点 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解 ：（ 1） 2( ) 2 4xxf x e ae(4 2) 2( 1)xae ( 2 )xea . 令 ( ) 0fx 得 0x 或 ln(2 1)xa. 当 1a 时， 2( ) 2 ( 1) 0xf x e ， ()fx在 R 上单调递增； 2 分 当 1a 时，令 ( ) 0fx 得 0x 或 ln(2 1)xa，从而 ()fx在 ( ,0) ， (ln(2 1), )a 上单调递增，在 (0,ln(2 1)a 上单调递减 . 4
18、分 （ 2） 2( ) ( ) xf x f x e 2 4 ( ) 0x x xe a e e ，令 xxt e e ， 则 xxt e e 22xxee ，当且仅当 0x 取得等号 . 5 分 注意到 2 2 2( ) 2x x x xe e e e 2 2t， 原问题转化为 2 2 4 0t at 在 2, ) 上有解，即 24att 在 2, ) 上有解，又 2t t 关于 t 单调递增，从而 24 2 12a ， 又 1a ，综合得 1, )a . 8 分 PQ (3, 0)E第 4 页 共 4 页 （ 3）令 ( ) ( ) ( )g x f x f x 22 4 ( )x x x
19、 xe e a e e (8 4)ax， 22( ) 2( )xxg x e e4 ( ) (8 4 )xxa e e a 22 ( 2 ) 4 8 4t a t a ， 得 ( ) 2 ( 2 )( 2 2 )g x t t a ，由（ 2）知 2t . 9 分 当 2 2 2 0a ，即 2a 时， ( ) 0gx ，又 (0) 0g ，从而当 0x 时恒有 ( ) ( )f x f x， 当 2a 时，存在 22ta使得 ( ) 0gx ， 即 22xxe e a ，即 2 (2 2 ) 1 0xxe a e ， 解得 212xe a a a ， 2ln ( 1 2 )x a a a ，
20、 （ 2ln ( 1 2 ) 0x a a a 舍去） . 从而当 20 , ln ( 1 2 ) x a a a 时 ( ) 0gx ，此时 ( ) (0) 0g x g，矛盾 . 综上 1,2a .1 2 分 22 （本小题满分 12 分） 解：（ 1）直线 l 的直角坐标方程为 30xy 1 分 曲线 C 上的点到直线 l 的距离， | c o s s in 3 |2d | 2 sin ( ) 3 |42 ， 4 分 当 sin( ) 14 时，m a x | 2 3 | 2 3 222d ， 即曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 3 22 .6 分 （ 2） 曲线 C 上的所有点均在直线 l 的下方， 对 R，有 cos sin 3 0t 恒成立， 8 分 即 2 1 co s( ) 3t （其中 1tan t ）恒成立， 2 13t .10 分 又 0t ， 解得 0 2 2t ，即实数 t 的取值范围为 (0,2 2) 12 分
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