1、课题32 圆的有关概念,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 圆的基本概念,基础知识梳理,1.圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点 叫做 圆心 ,定长叫做 半径 .其中,圆心确定圆的 位置 ,半径 确定圆的 大小 .圆心相同的圆叫做同心圆,半径相等的圆叫做等圆.,2.圆的有关概念:(1)弦:连接圆上任意两点的线段;(2)直径:经过圆心的弦;(3) 弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,其中大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的 弧称为劣弧;(4)圆心角:顶点在 圆心 的角;(5)圆周角:顶点在 圆 上 且两边都和圆相交的角.,3.圆的对称性:圆既是轴
2、对称图形,又是中心对称图形,任何一条直径所在的 直线 都是它的对称轴,对称中心是 圆心 .另外,圆具有旋转不变性, 即圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与原来的圆 重合 . 注:圆上任意一条弦对应 两 条弧.,1.垂径定理:垂直于弦的直径 平分 这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,考点二 垂径定理及推论,2.推论:平分弦(不是直径)的直径 垂直 于弦,并且 平分 弦所对的 两条弧.,3.利用垂径定理还可以得到: 如图所示,根据圆的对称性,在以下五条结论中:(1) = ;(2) = ;(3)AE= BE;(4)ABCD;(5)CD是直径,只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即 知二推三.,1.在同
3、圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等 ,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距 相等 .,考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中 有一组量相等,那么它们对应的其余各组量都分别 相等 . 温馨提示 圆中同一条弦所对的圆周角 相等或互补 .,考点四 确定圆的条件 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆.,2.三角形的外接圆:三角形的三个顶点在同一个圆上,这个圆叫做三角形的外 接圆,外接圆的圆心是三角形三边 垂直平分线 的交点,叫做三角形的外 心.,考点五 圆周角定理及其推论 1.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
4、的一半.,2.圆周角定理的推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等 ,都等于这条弧 所对的圆心角的 一半 ;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ; (3)90的圆周角所对的弦是 直径 ;(4)圆内接四边形的对角 互补 .温馨提示 在解决与圆内接四边形有关的问题时,为了方便解题,经常运用 “圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”的结论,这个结论可以看 做“圆内接四边形的对角互补”的一个推论.,题型一 考查圆的基本概念 该题型主要考查圆的基本概念,如弦、弧、圆心角的概念以及它们之间的联 系,三角形的外接圆等内容,考查的方式以选择题或填空题为主,主要考查基 础知识.,中考题型突破,典例1
5、(2017唐山滦县模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部 的一个动点,且AEBE,则线段CE的最小值为 ( B )A. B.2 -2 C.2 -2 D.4,答案 B AEBE,点E在以AB为直径的O上,如图所示.连接OC交O于点E,则当点E位于点E位置时,线段CE取得最小值. AB=4,OA=OB=OE=2. BC=6,OC= = =2 . CE=OC-OE=2 -2.,名师点拨 根据“两点之间,线段最短”,得到点E在点E的位置时线段CE取 得最小值,由此把求线段CE的最小值转化为求线段CE的长度.由于直接求CE 比较困难,故把求线段CE的长度转化为求线段OC与线段OE
6、的差,因此利用 勾股定理与同圆的半径相等解答本题即可.,变式训练1 (2018河北模拟)如图,C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上一 点,且COAB,在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF,且点I,F在OC上, 点H,E在半圆上,可证:IG=FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段,便可证 明IG=FD. 请回答:(1)小云所作的两条线段分别是 OH 和 OE ; (2)证明IG=FD的依据是矩形的对角线相等, 同圆的半径相等 和等量代换.,解析 连接OH、OE,如图所示. 在矩形OGHI中,IG=OH;在正方形ODEF中, OE=DF. OH=OE, IG=FD.,题型二 考查垂径定理
7、 该题型主要考查利用垂径定理进行计算,垂径定理是中考的必考内容,常与圆 周角定理、勾股定理、等腰三角形、直角坐标系等知识相结合,考查的题型 既有选择题、填空题,也有解答题.,典例2 (2018襄阳中考)如图,点A,B,C,D都在半径为2的O上,若OABC, CDA=30,则弦BC的长为 ( D )A.4 B.2 C. D.2,答案 D OABC, CH=BH, = . AOB=2CDA=60. 在RtBOH中, 得BH=OBsin AOB=2sin 60= . BC=2BH=2 .,名师点拨 利用垂径定理计算时,需要利用图中的直角三角形,当图中没有可 以利用的直角三角形时,需要构造直角三角形,
8、一般情况下,所构造的直角三 角形由三条线段组成,即弦的一半,圆心到该弦的垂线段,过弦的一个端点的 半径.,变式训练2 (2017保定涿州模拟)如图,O的半径是5,O是ABC的外接 圆,过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线,垂足分别为E、F、G,连接EF,若OG =3,则EF= 4 .,解析 连接OA,如图所示,OGAC,AG= = =4, AC=2AG=8.OEAB,OFBC, AE=EB,CF=FB, EF是ABC的中位线,EF= AC=4.,题型三 考查圆周角定理 该题型主要考查圆周角定理,主要考查内容有利用圆周角定理进行计算或证 明,常与垂径定理、勾股定理、圆的切线、锐角三角函数、全等三
9、角形、相 似三角形等知识相结合,以综合题的形式考查.,典例3 (2017浙江台州中考)如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC 上一点(不与B,C重合),PE是ABP的外接圆O的直径. (1)求证:APE是等腰直角三角形; (2)若O的直径为2,求PC2+PB2的值.,答案 (1)证明:易知AB=AC,BAC=90, C=ABC=45. AEP=ABP=45. PE是直径, PAE=90. APE=90-45=45, PAE是等腰直角三角形. (2)作PMAC于M,PNAB于N,如图所示,则四边形PMAN是矩形.,PM=AN. 由(1)知PAE是等腰直角三角形,PE= PA= AE. 易
10、知PCM,PNB都是等腰直角三角形, PC= PM,PB= PN. PC2+PB2=( PM)2+( PN)2,=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4.,名师点拨 本题求解的关键是在圆中利用等腰直角三角形的性质与判定.,变式训练3 (2018无锡中考)如图,四边形ABCD内接于O,AB=17,CD=10, A=90,cosABC= ,求AD的长.,答案 四边形ABCD内接于O,A=90, C=180-A=90, ABC+ADC=180. 作AEBC于E,DFAE于F,如图所示,则四边形CDFE是矩形,EF=CD=10.,在RtAEB中, BE=ABcos AB
11、C=17 = . AE= = = . AF=AE-EF= -10= . ABC+ADC=180,CDF=90, ABC+ADF=90. sinADF=cosABC= .,在RtADF中, AFD=90,sin ADF= , AD= = =6.,易错一 盲目套用弦与弧之间的关系,易混易错突破,典例1 (2017江苏宿迁模拟)如图所示,在O中, =2 ,则弦AB与弦CD的 大小关系是 ( C )A.AB2CD B.AB=2CD C.ABAB,即2CDAB,AB2CD,故选C.,答案 C,易错二 在无图的情况下出现丢解的错误 典例2 已知CD是O的直径,A是O上的任意一点,过点D的弦DE平行于 半径
12、OA,连接AC,若D的度数是50,则C的度数是 ( C ) A.25 B.65 C.25或65 D.25或50,易错警示 在无图的题目中,一定要先根据题意画出正确的图形,以免出现丢 解的错误.如本题,因为圆的半径有无数条,所以与DE平行的半径OA有两种情 况,即点A与点E位于CD同侧或异侧,所以本题的答案有两个.,解析 根据题意,可以画出两种图形,当点A,E位于直径CD的两侧时,如图1所 示,OADE,AOD=D=50,则C= AOD= 50=25;当点A,E位 于直径CD的同侧时,如图2所示,OADE,AOC=D=50,则C=(180-AOC)=65.,答案 C,易错三 忽略圆的轴对称性而丢
13、解 典例3 (2017广东茂名模拟)已知O的半径为13,AB,CD都是圆的弦,若AB CD,AB=24,CD=10,则AB,CD之间的距离是 ( D ) A.7 B.17 C.12 D.7或17,易错警示 本题中既没有给出图形,也没有告诉AB,CD与点O的位置关系,因 此容易出现丢解的情形.实际上,由圆的轴对称性知本题应分两种情况求解, 即AB,CD位于点O的同侧及AB,CD位于点O的异侧.,解析 当AB,CD在圆心O的同侧时,如图1所示,过O作OEAB于E,延长OE交 CD于F,连接OA,OC.ABCD,OFCD.由此可得AE= AB=12,CF= CD =5. 在RtAEO中,根据勾股定理
14、,得OE= = =5, 在RtCFO中,根据勾股定理,得OF= = =12. EF=OF-OE=12-5=7. 当AB,CD在圆心O的异侧时,如图2所示,过O作OEAB于E,延长EO交CD于F, 同理可得OF=12,OE=5,EF=OE+OF=17.,综上,AB,CD之间的距离为7或17.,答案 D,1.(2018石家庄长安模拟)把地球和篮球的半径都增加一米,那么地球和篮球 的大圆的周长也都增加了,增加情况是 ( C ) A.地球多 B.篮球多 C.一样多 D.不能确定,随堂巩固检测,2.如图,AB是O的直径,D、C在O上,ADOC,DAB=60,连接AC,则 DAC等于 ( B )A.15
15、B.30 C.45 D.60,3.当点A、B、C满足下列条件时,总能确定一个圆的是 ( D ) A.AB=1,BC=4 B.AB=1,BC=2,AC=1 C.AB= -1,BC=2 +2,AC= +3 D.AB=3,BC=7,AC=5,4.(2018邵阳中考)如图所示,四边形ABCD为O的内接四边形,BCD=120, 则BOD的大小是 ( B )A.80 B.120 C.100 D.90,5.如图,四边形PAOB是一个矩形,其中点P在 上且不与M,N重合,点A在O 的半径OM上,点B在O的半径ON上,当P点在 上移动时,矩形PAOB的形 状、大小随之变化,则PA2+PB2的值 ( C )A.变
16、大 B.变小 C.不变 D.不能确定,6.如图,O的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120,那么圆心O到弦 AB的距离等于 2 .,7.如图,已知O的半径为10,弦AB=12,M是AB上任意一点,则线段OM的长度 的取值范围是 8OM10 .,8.(2018邢台临城模拟)如图,已知四边形ADBC是O的内接四边形,AB是直 径,AB=10 cm,BC=8 cm,CD平分ACB. (1)求AC与BD的长; (2)求四边形ADBC的面积.,答案 (1)AB是直径, ACB=90. AC= = =6(cm). CD平分ACB,ACD=BCD, BD=AD= AB= 10=5 (cm). (2)S四边形ADBC=SABC+SADB= ACBC+ ADBD= 68+ 5 5 =49(cm2).,9.如图,OA、OB是O的半径且OAOB,作OA的垂直平分线交O于点C、 D,连接CB、AB.求证:ABC=2CBO.,答案 连接OC、AC,如图所示. CD垂直平分OA, OC=AC=OA. OAC是等边三角形,则AOC=60. ABC= AOC=30. OAOB, AOB=90, 在BOC中,BOC=AOC+AOB=150.,OB=OC, CBO= (180-BOC)= (180-150)=15, ABC=2CBO.,
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