1、课题31 视图与投影,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 几何体的三视图,基础知识梳理,1.几何体的三视图包括:主视图、左视图和俯视图.其中,从正面得到的视图叫 主视图;从左面得到的视图叫左视图;从上面得到的视图叫俯视图.,3.由三视图描述几何体(或实物原型)的一般步骤: (1)想象:根据各视图想象从各个方向看到的几何体(或实物原型)形状; (2)定形:综合确定几何体(或实物原型)的形状; (3)定大小位置:根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的特点,确定轮廓 线的位置,以及各个方向的长度.,2.主视图、左视图、俯视图之间的关系:主视、俯视长对正;主视、左视高平 齐
2、;俯视、左视宽相等.,4.常见几何体的三视图 正方体的三种视图都是 正方形 ;圆柱的三种视图中有两个是 矩形 ,另一个是 圆 ;圆锥的三种视图中有两个是 三角形 ,另一个是 含圆心的圆 ;球的三种视图都是 圆 .,考点二 投影,1.由 平行 光线形成的投影叫做平行投影,如太阳光的照射.,2.由 点光源 发光形成的投影叫做中心投影,如灯光的照射.,1.常见立体图形的平面展开图 (1)正方体的平面展开图是由六个正方形组成的平面图形. (2)圆柱的平面展开图是由一个长方形和两个圆组成的平面图形. (3)圆锥的平面展开图是由一个圆和一个扇形组成的平面图形. (4)正棱柱的平面展开图是由两个正多边形和一
3、个长方形组成的平面图形.,考点三 展开与折叠,2.正方体的平面展开图有11种常见的形式,可归纳为四类,如图所示,其中图 为“一四一”(即6个正方形分为三层,每层正方形的个数分别为 一、四、一)型;图为“二三一”型;图为“二二二”型;图 为“三 三”型.,3.平面图形的折叠 一个几何体能展开成一个平面图形,这个平面图形就可以折叠成相应的几何 体,展开与折叠是互逆的过程.,题型一 考查三视图 该题型主要考查三视图的知识,主要内容包括:已知一个几何体,确定其三视 图或其中某一个视图.,中考题型突破,典例1 (2018衡水模拟)请你画出如图所示的几何体的三视图.,答案 画出的三视图如图所示.,名师点拨
4、 画几何体的三视图,实际上是画这个几何体从正面、左面、上面 看时看到的图形,应注意两点:任意一个几何体的三视图都是平面图形; 画一个物体的视图时,不但要画出视图的外部轮廓线,还要画出内部轮廓线, 并且看得见的轮廓线要画成实线,看不见的轮廓线要画成虚线.,变式训练1 (2017河北中考)如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何 体,它的主视图是 ( A ),答案 A 从正面看易得共有两层,下层有3个小正方形,上层有两个小正方 形.故选A.,题型二 根据三视图描述原几何体的形状 该题型主要考查已知一个几何体的视图,确定这个几何体的形状,或根据三视 图中的信息,对原几何体的表面积、体积等进行计算.,
5、典例2 如图所示的是某个工件的三视图,已知该工件的主视图是等边三角 形及其内切圆,且圆的半径为2 cm,左视图的长为8 cm. (1)描述该几何体的形状; (2)求中各视图的面积; (3)求这个工件的体积(精确到0.1 cm3).,答案 (1)该几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是一个等边三角形,三棱柱 的内部有一个与三棱柱的侧棱平行的空心圆柱,圆柱的横截面半径为2 cm,三 棱柱的长为8 cm. (2)如图所示,设圆心为O,作ODBC,垂足为D,连接OB,则OD=2 cm.则BC=2BD=2 =2 =4 cm,OB=2OD =4 cm.,ABC的边长为4 cm,高为4+2=6 cm. 主视图的
6、面积S主= 4 6-22=(12 -4)cm2; 俯视图的面积S俯=4 8=32 cm2; 左视图的面积S左=68=48 cm2. (3)工件的体积为(12 -4)8=96 -3265.7 cm3.,名师点拨 本题求解的关键有三点:根据三视图确定原几何体的形状,这是 求解本题的基础;根据三角形内切圆的知识求得等边三角形的边长和高; 理解三个视图之间的联系,即“长对正、高平齐、宽相等”.,变式训练2 (2018河北中考)图中三视图对应的几何体是 ( C ),题型三 考查展开与折叠 该题型主要考查立体图形的展开与平面图形折叠成立体图形,主要内容包括: 识别正方体展开图中的相对面,识别立体图形的平面
7、展开图,利用平面展开图 的知识求圆锥、圆柱、棱柱等几何体的侧面积或立体图形表面上两点之间 的距离等.,答案 C 观察三视图和立体图,从主视图或左视图看排除选项B;从俯视图 看排除选项A和D;只有选项C符合三视图的要求,故选C.,典例3 (2017石家庄裕华模拟)如图,已知圆锥的高为 ,高所在直线与母线 的夹角为30,则圆锥的侧面积为 2 .,答案 2,解析 设圆锥底面圆半径为x,则由圆锥高所在直线与母线夹角为30得母线 长为2x, 由勾股定理得x2+( )2=(2x)2, 解得x=1(负值舍去), 即圆锥底面圆半径为1,进而得圆锥底面圆周长为2,侧面展开所得扇形所在 圆的半径为2, 圆锥的侧面
8、积= 22=2.,名师点拨 圆锥的侧面展开图是一个扇形,在解有关圆锥侧面展开图的问题 时,要注意两个对应关系:圆锥的母线长等于扇形所在圆的半径;圆锥底 面圆的周长等于扇形的弧长.根据这两个对应关系可以找到解题的切入点.,变式训练3 (2016河北中考)图1和图2中所有的正方形都全等,将图1的正方 形放在图2的某一位置,所组成的图形 围成正方体的位置是 ( A )A. B. C. D.,答案 A 将题图1的正方形放在处时,不能围成正方体.,题型四 考查投影的知识 该题型主要考查投影的知识,主要内容包括:平行投影与中心投影的概念,利 用平行投影或中心投影构造相似三角形测量物体高度(或宽度)等.,典
9、例4 (2017唐山滦县模拟)如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同 一盏路灯下的影长分别为1.8 m、1.5 m.已知小军、小珠的身高分别为1.8 m、1.5 m,则路灯的高为 3 m.,答案 3,解析 解法一:EFAD, BEFBAD, = , 即 = , AD=1.8+DF; GHAD, GCHACD, = ,即 = = , AD=4.2-DF, 由1.8+DF=4.2-DF得DF=1.2 m,AD=3 m. 路灯的高为3 m.,解法二:由题意可知,ABD=ACD=45,ADBC, BAC=90,BC=2AD=BF+FH+HC=1.8+2.7+1.5=6 m, AD=3 m,
10、即路灯的高为3 m.,名师点拨 本题的解法一是一种普遍的解法,解法二是一种特殊的解法,其特 殊之处是利用了等腰直角三角形的性质.,变式训练4 (2018保定模拟)如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB= 5 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3 m,同时测量出DE在阳光下的投影长 为6 m. (1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影; (2)请你计算DE的长.,答案 (1)DE在阳光下的投影EF如图所示.(2)DE在阳光下的投影长为6 m, EF=6 m.,ABDE,ACDF, ABC=DEF=90,BAC=EDF. ABCDEF, = ,即 = ,解得DE=10 m. DE=10
11、 m.,典例1 (2018衡水模拟)小乐用一块矩形硬纸板在阳光下做投影试验,通过观 察,发现这块矩形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是 ( A ) A.三角形 B.线段 C.矩形 D.平行四边形,易错一 不理解平行投影的概念,易混易错突破,解析 当矩形硬纸板的板面与投影线不平行(不垂直)时,形成的影子为平行 四边形;当矩形硬纸板的板面与投影线平行时,形成的影子为线段;当矩形硬 纸板的板面与投影线垂直时,形成的影子是矩形.因此不能出现三角形的投 影.,易错警示 本题的易错之处是不理解平行投影的概念,平行投影中,由于投影 线互相平行,所以两条平行线的投影一定是两条平行线或重合为同一条直线.,答
12、案 A,典例2 (2017山东烟台中考)如图所示的工件,其俯视图是 ( B ),易错二 画三视图时轮廓线的虚实画错,易错警示 画俯视图的轮廓线时,容易画错实虚线,其原因是不理解看得见的 轮廓线与看不见的轮廓线的区别,实际上,看得见的轮廓线应画成实线,看不 见的轮廓线应画成虚线.,解析 从上边看这个工件时,看到的是两个同心圆,外圆是实线,内圆是虚线, 故选B.,答案 B,1.下列光线所形成的投影是平行投影的是 ( A ) A.太阳光线 B.台灯的光线 C.手电筒的光线 D.路灯的光线,随堂巩固检测,2.(2018湖北天门中考)如图是某个几何体的展开图,该几何体是 ( A )A.三棱柱 B.三棱锥
13、 C.圆柱 D.圆锥,3.(2018江苏泰州中考)下列几何体中,主视图与俯视图不相同的是 ( B ),4.如图,点A和点B分别是棱长为20 cm的正方体盒子的两个相邻面的中心,一 只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走的最短路程是 ( C ) A.40 cm B.20 cm C.20 cm D.10 cm,5.如图是由棱长为1的正方体搭成的几何体的三视图,则正方体的个数是 6 .,6.如图,小明想测量出电线杆AB的高度,于是在阳光明媚的一天,他在电线杆 旁的点D处立一标杆CD,使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠 (点E、C、A在同一直线上),量得ED=2米,DB=4米,CD=1.5米,
14、则电线杆AB的 高为 4.5米 .,7.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图,那么在正方体的表 面与“建”相对的汉字是 国 .,8.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 70 .,9.(2016广东深圳校级期末)如图,分别是两棵树及其影长的情形. (1)哪个图反映了阳光下的情形?哪个图反映了路灯下的情形? (2)请画出图中表示小丽影长的线段; (3)某一时刻,小丽的影长为1.20 m,树的影长为2.40 m,小丽身高为1.68 m,求树 高.,答案 (1)如图所示,图甲反映了阳光下的情形,图乙反映了路灯下的情形. (2)如图所示,AB,CD是表示小丽影长的线段.,(3)设树高为x m, 由题意得 = ,解得x=3.36. 答:树的高度为3.36 m.,
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