1、课题17 二次函数的综合应用,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 根据二次函数与一元二次方程的关系,可以解决一些实际问题,基本方法为: 当已知某个 函数值 时,通过解一元二次方程,即可求得相应的 自变量 的值.,基础知识梳理,考点二 利用二次函数解决其他综合性问题 二次函数与平面几何、一次函数、反比例函数等知识相结合,可以解决一些 综合性的实际问题,基本方法是综合运用上述知识,根据有关各量之间的关 系,得到一个 二次 函数关系式,则问题可转化为解 二次函数 问 题.,题型一 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题
2、该题型主要考查利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题,解决这 类问题时,可把二次函数、函数值、自变量的值等转化为解一元二次方程问 题,由此即可达到解题的目的.,中考题型突破,典例1 (2017山东青岛)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的 长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=- x2+bx+c表 示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为 m. (1)求该抛物线的函数表达式,并计算出拱顶D到地面OA的距离; (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向 行车道,那么这辆货车能否安全通过?
3、(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离 地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?,答案 (1)根据题意,得B(0,4),C . 把B(0,4),C 的坐标代入y=- x2+bx+c, 得 解得 抛物线的函数表达式为y=- x2+2x+4. y=- x2+2x+4=- (x-6)2+10,D(6,10). 拱顶D到地面OA的距离为10 m.,(2)根据题意,货运汽车最外侧与地面OA的交点坐标为(2,0)或(10,0), 当x=2或x=10时,y=- 22+22+4= 或y=- 102+210+4= . m6 m 这辆货车能安全通过. (3)令y=
4、8,解方程- (x-6)2+10=8, 得x1=6+2 ,x2=6-2 , x1-x2=4 . 答:两排灯的水平距离最小是4 m.,名师点拨 本题的解题技巧是转化,如在(2)中,把集装箱的宽度为4米转化为 货运汽车最外侧与地面OA的交点为坐标(2,0)或(10,0),然后求抛物线上x=2时 的y值,则问题进一步转化为比较此时的y值与6 m(集装箱的高度)的大小,至此 即可得到“能否通过”的答案.,变式训练1 (2018石家庄模拟)小明为了检测自己实心球的训练情况,在一次 投掷的测试中,实心球经过的抛物线轨迹如图所示,其中出手点A的坐标为 ,球在最高点B的坐标为 .(1)求抛物线的函数表达式;
5、(2)在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友 在玩耍,问该小朋友是否有危险(如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全,否 则视为危险),请说明理由.,答案 (1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-3)2+ . 点A 在此抛物线上, =a(0-3)2+ , 解得a=- . 抛物线的函数表达式为y=- (x-3)2+ . (2)有危险.理由如下: 将x=7代入y=- (x-3)2+ ,得y=- (7-3)2+ =1. 11.2, 身高1.2米的小朋友有危险.,题型二 考查利用二次函数解决综合性问题 该题型主要考查利用二次函数解决综合性问题,在这类问题中,二次函数常与 方程、不
6、等式、图形的全等、相似等知识相结合,难度较大.,典例2 (2016沧州模拟)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A(-1,0),B(2, 3)两点,与y轴交于点C,其顶点为D. (1)求抛物线的函数表达式; (2)作直线x=3,在直线上取一点M(3,m), 求使MC+MD的值最小时m的值; (3)若P是该抛物线上位于直线AB上方 的一动点,求APB面积的最大值.,答案 (1)将A,B点的坐标代入y=-x2+bx+c,得 解得 抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, D(1,4),C(0,3). 作点C关于直线x=3的对称点C,则
7、点C的坐标为(6,3). 连接CD,CD交直线x=3于M点,连接MC,此时MC+MD的值最小,如图所示.,设直线CD的表达式为y=kx+b(k0),将点C,D的坐标代入,得 解得,直线CD的表达式为y=- x+ . 当x=3时,y=- 3+ = , M . 故使MC+MD的值最小时m的值为 . (3)作PEy轴交AB于点E,如图所示.,设直线AB的表达式为y=px+q(p0),将点A,B的坐标代入,得 解得,直线AB的表达式为y=x+1. 设E(n,n+1),则P(n,-n2+2n+3), PE=-n2+2n+3-(n+1)= + . SAPB= PE(xB-xA)= 2-(-1)= =- +
8、. 当n= 时,APB的面积有最大值,最大值为 .,名师点拨 本题的解题思路为:(1)因为抛物线经过已知点A,B,利用待定系数 法即可求得函数表达式;(2)根据对称性,可得到点C关于直线x=3的对称点C 的坐标,根据两点之间线段最短,可确定点M,利用待定系数法可求得直线CD 的表达式,进而求得m的值;(3)作PEy轴交AB于点E,则APB的面积=APE 的面积+BPE的面积,由此即可得出结论.其中,(3)的求解有两个小小的技巧: 一是作辅助线PE,其目的是分割APB,使之转化为SAPB= PE(xB-xA);二是用 含n的代数式表示线段PE的长,从而SAPB可用含n的式子表示,进而得出结论.,
9、变式训练2 (2018唐山)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a0)相交于点 A 和B(4,m),点P是线段AB上异于A,B的动点,过点P作PCx轴于点D,交 抛物线于点C. (1)求抛物线的函数表达式; (2)是否存在这样的点P,使线段PC的长有最大值, 若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.,答案 (1)点B(4,m)在直线y=x+2上, m=4+2=6,B(4,6). 点A ,B(4,6)都在抛物线y=ax2+bx+6上, 解得 抛物线的函数表达式为y=2x2-8x+6.,(2)存在设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6), PC=(
10、n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2 + . n0),若该车某次的刹车距离为5 m,则开始刹车时的速度为 ( C ) A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s,随堂巩固检测,2.一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数 表达式为y=- (x-30)2+10,则高尔夫球第一次落地时距离运动员 ( D ) A.10 m B.20 m C.30 m D.60 m,3.在底边长BC=20 cm,高AM =12 cm的三角形铁板ABC 上,要截一块矩形铁板 EFGH,使点E、H分别在AB、AC上,且EHBC,如图所示.当矩形
11、铁板的面积 为 cm2时,矩形的边EF的长为 ( D )A.2 cm B.6 cm,C.10 cm D.2 cm或10 cm,4.(2018石家庄模拟)如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴 的夹角为15,点B在抛物线y=ax2(a0)的图象上,则a的值为 ( B )A.- B.- C.-2 D.-,5.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为8米,以隧道底部宽AB所在 直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,抛物 线的表达式为y=- x2+b,则隧道底部宽AB= 8 米.,6.某体育公园的圆形喷水池的水柱形状如图所示.如果曲线APB表示落点B
12、离点O最远的一条水流(如图),其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米) 的函数表达式为y=-x2+4x+ ,那么圆形喷水池的半径至少为 米,才能使 喷出的水流不落在水池外.,7.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图,若菜农身高为1.8 m, 他在不弯腰的情况下,在棚内的横向活动范围是 3 m.,8.科幻小说实验室的故事中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况 (如下表):,由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,如果这个函 数是二次函数, (1)求y与x的函数关系式; (2)当温度为多少时,
13、这种植物每天高度的增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250 mm,那么实验室的温度x应控制在哪个范围内?,答案 (1)设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c(a0),把x=-2,y=49;x=0,y=49; x=2,y=41分别代入关系式,得 解得 y关于x的函数关系式是y=-x2-2x+49. (2)y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50,且-10, 当x=-1时,y有最大值. 即当温度为-1 时,这种植物每天高度增长量最大. (3)解方程-x2-2x+49= ,得x1=-6,x2=4. 答:实验室的温度x应控制在-64 之间.,
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