1、课题14 二次函数的图象与性质,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质如下表所示 :,基础知识梳理,考点二 抛物线的平移 因为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的形状只与 |a| 有关,所以凡是二次项系数 相等的二次函数,其图象都可以通过相互平移得到,平移情况如下:,考点三 利用待定系数法求二次函数表达式 因为二次函数y=ax2+bx+c(a0)中有三个常数,因此利用待定系数法求二次 函数表达式,一般需要三个独立的条件,并且根据不同的已知条件可以选择不 同的设法.二次函数表达式大致有三种类型: (1
2、)若已知二次函数的三组对应值或图象上的三个已知点的坐标,应设二次函 数为一般式 y=ax2+bx+c(a0) ,将这三组对应值或三个已知点的坐标 代入,得到关于 a,b,c 的三元一次方程组,解方程组即可得到a,b,c的值, 进而得到这个二次函数;,(2)若已知二次函数的最大值(最小值)或抛物线的顶点坐标、对称轴,应设二 次函数为顶点式 y=a(x-h)2+k(a0) ,将二次函数的最大值(最小值)或 抛物线的顶点坐标、对称轴代入,得到关于 a,h,k 的三元一次方程组, 解方程组即可得到a,h,k的值,进而得到这个二次函数; (3)若已知抛物线与x轴的两交点坐标,根据抛物线的 对称性 ,可以
3、得到 抛物线的对称轴,然后利用设顶点式的方法,即可求得这个二次函数.,考点四 利用描点法画二次函数的图象 因为二次函数的图象是一条抛物线,因此,在利用描点法画函数图象时,应注 意下列三点:(1)取点之前应了解所画函数图象的大致形状,如抛物线的 开口方向 、 顶点 、 对称轴 等,为此先把函数表达式化为 顶点式 或利用顶点公式求得抛物线的顶点坐标; (2)对称取点:首先应取顶点,然后在对称轴两侧对称取点,其目的是为了方便 计算,取点个数一般不少于5个; (3)曲线平滑:由于所取的点只是函数图象上的几个点,因此连接时要用“平 滑”的曲线,并且所画曲线要超出所描的 第一个 点和 最后一个 点.,题型
4、一 考查二次函数的图象 该题型主要考查二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象,如抛物线的平移,根据二 次函数表达式求其顶点坐标、对称轴等,以及根据函数图象判断a,b,c的符号 等.,中考题型突破,典例1 (2017廊坊广阳二模)当ab0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是 ( A ),答案 A ab0,b0时,y=ax2的图象开口向下,且过原点,直线y=ax+b过第一、二、四象 限,对照各选项,没有符合题意的选项. 综上所述,选A.,变式训练1 (2018保定模拟)已知二次函数:y1= x2,y2= x2+ x+ ,y3= x2+ x - . (1)在同一直角坐标系中,画出上述二次函数
5、的图象; (2)对于y1与y2,当两函数值相等时,对应的自变量的值之间是什么关系?由此, 你能得到两个函数图象之间是什么关系? (3)对于y2与y3,同一个自变量的值对应的函数值之间是什么关系?由此,你能得 到两个函数图象之间是什么关系?,答案 (1)把各函数化为顶点式,得y1= x2,y2= (x+2)2,y3= (x+2)2-3,列表:,画出的函数图象如图所示:(2)设当两函数值相等时,两函数中对应的较大的自变量的值分别为m,n, 则m= ,n= -2,n-m=( -2)- =-2,即两函数中自变量的值相差2个单位,把y1= x2的 图象向左平移2个单位,即可得到y1= (x+2)2的图象
6、. (3)设同一个自变量的值对应的两函数值分别为p,q, 则q-p= - (x+2)2= (x+2)2-3- (x+2)2=-3,即两函数值相差3个单 位,把y1= (x+2)2的图象向下平移3个单位,则得到y1= (x+2)2-3的图象.,题型二 考查二次函数的性质 该题型主要考查二次函数的值随自变量变化而变化的情况,包括求二次函数 的最大(小)值等,解决这类问题时,要注意运用数形结合的思想.,典例2 (2017保定涿州模拟)已知二次函数y=-x2+bx+c中,函数y与自变量x之 间的部分对应值如表所示,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该函数的图象上,当0x11,2x2 y2 B.y1
7、y2 C.y1y2 D.y1y2,答案 C 由表可知,抛物线的对称轴为直线x=2.a=-10,函数图象开口 向下.0x11,2x23,点B比点A更靠近直线x=2,y14). (1)求二次函数图象的顶点坐标(用含m的代数式表示); (2)利用函数图象解决下列问题: 若m=5,求当y10且y20时,自变量x的取值范围; 如果满足当y10且y20时自变量x的取值范围内有且只有一个整数,求m的 取值范围.,答案 (1)y2=x2-mx+4= - +4, 二次函数图象的顶点坐标为 . (2)当m=5时,y1= x-1,y2=x2-5x+4. 当y1=0时,得 x-1=0,解得x=2, A(2,0). 当
8、y2=0时,得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4, B(1,0),C(4,0).,y10且y20, 观察图象,得20时,自变量x的取值范围为x2. 如果满足当y10且y20时的自变量x的取值范围内有且只有一个整数, x=3. 当x=3时,y2=32-3m+40,解得m ; 当x=4时,y20,即16-4m+40,解得m5. m的取值范围是 m5.,题型三 考查确定二次函数的表达式 该题型主要考查根据已知条件确定二次函数的表达式,主要形式有:根据抛物 线的平移、旋转、翻折等变换确定二次函数表达式,根据函数的对应值或其 图象上的已知点确定二次函数表达式,这类题目常与平面几何、图形的全 等、相似
9、等知识相结合,题目的难度较大.,典例3 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:,(1)根据表格中的数值,求这条抛物线的函数表达式; (2)指出这条抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标,并分析在-10x-1的范围 内函数值的变化情况; (3)画出这条抛物线.,答案 (1)解法一:设这条抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c, 把(-2,0)、(3,0)、(0,6)代入上式,得解得 这条抛物线的函数表达式为y=-x2+x+6. 解法二:由表格可知,当x=-2时,y=0,当x=3时,y=0, 该抛物线的对称轴为 x= = .,设这条抛物线的函数表达式为y=a +k.
10、把(0,6)、(3,0)代入其中,得解得 这条抛物线的函数表达式为y=- + =-x2+x+6. 解法三:由表格可知,该抛物线与x轴的交点的坐标为(-2,0),(3,0),设这条抛 物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-3).,把(0,6)代入其中,得6=a(0+2)(0-3), 解得a=-1. 这条抛物线的函数表达式为y=-(x+2)(x-3)=-x2+x+6. (2)这条抛物线的函数表达式为y=-x2+x+6=- + , 该抛物线的开口方向向下,对称轴是直线x= ,顶点坐标是 . 在x 时,y随x的增大而增大,且-10x-1在x 的范围内, 在-10x-1的范围内函数值y随x的增大而增大
11、.,(3)画出的抛物线如图所示.,名师点拨 本题的求解过程给我们三点启示:利用待定系数法求二次函数 表达式时,如果方法不唯一,应根据题目特点,设解法比较简单的函数表达式; 一般来说,当已知抛物线的顶点与对称轴时,设顶点式比较简单,因此,要注 意观察、分析题干,看能否从已知条件中挖掘出抛物线的顶点与对称轴;当 已知的函数的对应值在求解时不需要全部利用时,应尽量选取计算比较简单 的对应值.,变式训练3 (2017衡水冀州模拟)如图,直线y=- x+4交x轴于点A,交y轴于 点C,抛物线y=ax2- x+c过点A,交y轴于点B(0,-2). (1)求抛物线的解析式; (2)点M为抛物线在第四象限部分
12、上的一个动点,求四边形BMAC面积的最大 值.,答案 (1)令y=- x+4=0,则x=3,令x=0,则y=4.直线y=- x+4交x轴于点A,交y轴 于点C, 点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,4). 抛物线y=ax2- x+c过点A,交y轴于点B(0,-2), 解得 抛物线的解析式为y= x2- x-2.,(2)设点M . 如图,过点M作x轴的垂线,交直线y=- x+4于点N,点N的坐标为 .,MNBC, MN和BC间的距离为x,MN= - =6- x2,点A到MN的距离 d=3-x. S四边形BMNC= (BC+MN)x=6x- x3,SANM= MN(3-x)= x3-x2-3
13、x+9, S四边形BMAC=S四边形BMNC+SANM=6x- x3+ x3-x2-3x+9=-x2+3x+9=- + . 0x3, 当x= 时,四边形BMAC的面积最大,为 .,易错一 忽略二次函数y=ax2+bx+c中a0的限制条件,易混易错突破,典例1 已知y=(m-2)x|m|+2x-3是y关于x的二次函数,那么m的值为 ( A ) A.-2 B.2 C.2 D.0,易错警示 本题容易出现的错误是忽略二次函数y=ax2+bx+c中a0的限制 条件,因此只看到了x的最高次数是2,而忽略了二次项系数不为0,由此导致m 的值的范围扩大.,解析 由y=(m-2)x|m|+2x-3是y关于x的二
14、次函数,得 解得m=-2.,答案 A,易错二 不理解二次函数的性质,典例2 已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则y1,y2,y3之间的 大小关系为 ( C ) A.y1y3y2 B.y3y2y1 C.y3y1y2 D.y1y2y3,易错警示 本题容易出现的错误是混淆一次函数与二次函数的性质,不理解 对称轴在比较二次函数值的大小中的作用,误认为二次函数的值总随自变量 的增大而增大(或减小),由此出现选B或选D的错误.,解析 因为抛物线y=-2x2-8x+m的对称轴为直线x=-2,且开口向下,所以当x=-2 时,函数y取得最大值,即y2最大,由
15、此可排除B,D;因为(-1,y1)关于对称轴x=-2的 对称点为(-3,y1),且当x-2时,函数值随x的增大而增大,-4-3,所以y3y1. 综上所述,y1,y2,y3之间的大小关系为y3y1y2.,答案 C,典例3 (2017广西贵港中考)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再 向上平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式是 ( C )A.y=(x-1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+1,易错三 不理解抛物线的平移规律,易错警示 本题的易错点是不理解抛物线的平移规律,把抛物线沿x轴方向 的平移规律与点沿x轴方向的平移规律相混淆,因此
16、解题时一定要认真、仔 细.,解析 由题图可设抛物线的解析式为y=ax2+h(a0).因为其顶点坐标为(0,-2) 且过点(1,0),所以其解析式为y=2x2-2.由平移规律,得平移后的抛物线的解析 式为y=2(x-1)2+1.,答案 C,1.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是 ( C ) A.y=(m-1)2x2 B.y=(m+1)2x2 C.y=(m2+1)x2 D.y=(m2-1)x2,随堂巩固检测,2.若抛物线y=x2-mx+m2-1过原点,则m的值为 ( D ) A.0 B.1 C.-1 D.1,3.二次函数y=-3x2+12x-7的图象的顶点坐标为 ( A ) A.(2,5)
17、 B.(2,-19) C.(-2,5) D.(-2,-43),4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c在坐标系中的大 致图象是 ( D ),5.(2017上海徐汇一模)已知二次函数y=-2x2+4x-3,如果y随x的增大而减小,那 么x的取值范围是 ( A ) A.x1 B.x0 C.x-1 D.x-2,6.小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c图象中,观察得出了下面的五条信 息:ay2;对称轴是直线 x=2.你认为其中正确的个数为 ( C )A.2 B.3 C.4 D.5,7.已知二次函数y=-3(x-1)2+2,当x=-1时,y的值是 -10 ;当y=-
18、1时,x的值是 0或2 .,8.(2017云南罗平一模)把函数y=x2的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单 位,所得图象的函数表达式为 y=(x-3)2-2 .,9.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:,若输入的数是x时,输出的数是y,y是x的二次函数,则y与x的关系为 y=x2+1 .,10.如图所示,已知二次函数y=- x2+bx-6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B, 且OA= OB. (1)求这个二次函数的表达式; (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接AB,AC,BC,求ABC的面 积.,答案 (1)二次函数y=- x2+bx-6, 点B(0,-6),即OB=6. OA= OB,OA=2, 点A(2,0). 把点A的坐标代入二次函数y=- x2+bx-6,得 0=- 22+2b-6,解得b=4. 这个二次函数的表达式为y=- x2+4x-6.,(2)由(1)得y=- x2+4x-6=- (x-4)2+2, 点C(4,0), AC=4-2=2. SABC= ACOB= 26=6.,
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