1、课题13 反比例函数的应用,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点 反比例函数的应用 1.利用反比例函数解决实际问题,前提是建立反比例函数模型.一般地,实际问 题中的反比例函数的自变量的取值会受到一定的限制,这时对应的函数图象 是双曲线的一部分.,基础知识梳理,2.在实际问题中,反比例函数的图象上任何一点的坐标都有具体的实际意义, 解题时,要将实际问题中的数据转化为表达式中所需要的数据或点的坐标. 温馨提示 物理学中的规律与公式(运动学、力学、电学等)是建立反比 例函数模型的重要依据.,题型一 利用反比例函数解决实际问题 该题型主要考查利用反比例函数解决实际问题,在这类问
2、题中,根据实际问题 建立反比例函数模型或根据反比例函数的图象求其函数表达式是求解问题 的关键.,中考题型突破,典例1 (2017浙江丽水中考)丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州 市场进行销售,记汽车行驶时间为t小时,平均速度为v千米/时(汽车行驶速度 不超过100千米/时).根据经验,v,t的一组对应值如下表:,(1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(小时)的函 数表达式; (2)汽车上午7:30从丽水出发,能否在上午10:00之前到达杭州市场?请说明理 由; (3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5t4,求平均速度v的取值范围.,答案 (1)根据表格中数据
3、,猜想v是t的反比例函数,设v= (k0). 当v=75时,t=4,代入v= ,得k=754=300, v= . 将点(3.75,800),(3.53,85),(3.33,90),(3.16,95)的坐标代入v= 验证:=3.75, 3.53, 3.33, 3.16, v关于t的函数表达式为v= (t3).,(2)不能.理由:10-7.5=2.5,当t=2.5时,v= =120100, 汽车上午7:30从丽水出发,不能在上午10:00之前到达杭州市场. (3)3.5t4, 75v . 答:平均速度v的取值范围是75v .,名师点拨 (1)根据表格中数据,先判断v是t的反比例函数,设v= ,再利
4、用待定 系数法求出k的值;(2)根据时间t=2.5,代入表达式求出速度,再作出判断;(3)根 据自变量的取值范围,求出函数值的取值范围.由于本题中没有明确说明变量 之间满足的是哪一种函数关系,我们要通过观察、分析表格中的数据,再通过 猜想、验证,对函数所属类型作出正确判断,在确定为反比例函数后,再建立 反函数模型来解决问题.,变式训练1 (2018杭州中考)已知一艘轮船上装有100吨货物,轮船到达目的 地后开始卸货.设平均卸货速度为v(单位:吨/时),卸完这批货物所需的时间为t (单位:小时). (1)求v关于t的函数表达式; (2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,则平均每小时至少要卸货
5、多少 吨?,答案 (1)根据题意,得vt=100(t0), 所以v= (t0). (2)因为v= (00, 所以当t0时,v随着t的增大而减小, 当030,第30分钟时的注意力更集中. (3)在y=2x+20中,令y=36,解方程36=2x+20,解得x=8; 在y= 中,令y=36,解方程36= ,解得x= 27.8. 27.8-8=19.819, 经过适当安排,老师能在学生注意力达到所需状态下讲解完这道题目.,名师点拨 本题求解的关键是根据实际意义列出函数表达式,从实际意义中 找到对应的变量的值,在此基础上,可把(1)转化为比较x=5与x=30对应的函数 值,为此需要利用待定系数法分别求出
6、线段AB和曲线CD的函数表达式;(2)利 用(1)中所求,得出上课后第5分钟和第30分钟的注意力指数,然后比较判断; (3)分别求出注意力指数为36时的两个时间,再将两时间之差与19比较,若大 于19,则能讲完,否则不能,由此问题转化为求当y=36时对应的两个x值的差.,变式训练2 某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物实验,首次用于临 床人体试验,测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时 之间的函数关系如图所示(当4x10时,y与x成反比例关系).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系世;,(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时
7、间为多少小时?,答案 (1)当0x4时,血液中药物浓度上升,所对应的函数图象是一条线段. 设该线段所在直线的函数表达式为y=kx(k0),将(4,8)代入,得8=4k,解得k=2. 一次函数表达式为y=2x,0x4. 当4x10时,血液中药物浓度下降,所对应的函数图象是双曲线的一部分, 设该双曲线的函数表达式为y= (a0),将(4,8)代入,解得a=32. 反比例函数表达式为y= ,4x10. (2)解方程4=2x,得x=2,解方程4= ,得x=8. 8-2=6(小时),血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时.,题型三 综合运用反比例函数与其他学科的知识解决实际问题 这类问题中,
8、需要利用其他学科的知识,尤其是物理学科的知识,如欧姆定 律、杠杆原理、压强等知识,因此,解决这类问题时,需要熟练掌握相关学科 的知识,并且能与反比例函数融会贯通.,典例3 (2018石家庄模拟)家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料,它 的电阻R(k)随温度t()(在一定范围内)变化的大致图象如图所示.通电后, 发热材料的温度在由室温10 上升到30 的过程中,电阻与温度成反比例 关系,且在温度达到30 时,电阻下降到最小值;随后电阻随温度升高而增加, 温度每上升1 ,电阻增加 k. (1)求当10t30时,R和t之间的关系式; (2)求温度在30 时电阻R的值,并求出当t30时,R和t之
9、间的关系式; (3)家用电灭蚊器在使用过程中,温度在什么范围内时,发热材料的电阻不超,过6 k?,答案 (1)温度在由室温10 上升到30 的过程中,电阻与温度成反比例 关系, 可设R和t之间的关系式为R= (k0). 将(10,6)代入上式,得6= ,解得k=60.故当10t30时,R= . (2)将t=30代入R= 中,得R= =2. 温度在30 时,电阻R的值为2. 在温度达到30 时,电阻下降到最小值;随后电阻随温度升高而增加,温度 每上升1 ,电阻增加 k,当t30时,R=2+ (t-30)= t-6.,(3)把R=6代入R= t-6,解得t=45. 答:温度在10 45 时,发热材
10、料的电阻不超过6 k.,名师点拨 本题主要考查了函数的应用.解题的关键是根据电阻的变化规律 理解函数图象,由此可知电阻的变化过程分为两个阶段,前一个阶段R是t的反 比例函数,后一个阶段R是t的一次函数.,变式训练3 如图,李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的试验:在一个自制 类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物,在右边活动托盘B(可左 右移动)中放置一定质量的砝码,使得仪器左右平衡.改变活动托盘B与点O的 距离x(cm),观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况.试验数据记录如下 表:,(1)猜测y与x之间的函数关系,并求出此函数关系式; (2)当砝码的质量为24 g时,活动托盘B与
11、点O的距离是多少? (3)将活动托盘B往左移动时,应往活动托盘B中添加砝码还是减少砝码?,答案 (1)由图象及表格数据猜测y与x之间的函数关系为反比例函数, 设y= (k0),把x=10,y=30代入,得k=300,y= . 将其余各组对应值分别代入验证均符合, y与x的函数关系式为y= . (2)把y=24代入y= ,得24= , 解得x=12.5, 当砝码的质量为24 g时,活动托盘B与点O的距离是12.5 cm. (3)根据反比例函数的性质可知,随着活动托盘B与点O的距离的不断减小,托,盘B中所需砝码的质量将不断增大, 应往活动托盘B中添加砝码.,易错 选择函数图象时没有考虑实际问题的意
12、义 典例 如图,市燃气公司计划在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形燃气储 存室,则储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)的函数图象大致是 ( A ),易混易错突破,易错警示 本题容易出现的错误:只注意到反比例函数的图象是双曲线,而没 有考虑实际问题的意义,因而出现选D的错误.事实上,实际问题中表示的函数 图象一般都是反比例函数图象的一部分.,解析 由圆柱的体积公式知:Sd=104,故储存室的底面积S(m2)与其深度d(m)之 间的函数关系式为S= .又因为d为圆柱的高,所以d0,函数图象是双曲线位 于第一象限的部分,对照各选项,选A.,答案 A,1.为了预防“H1N1”流感,
13、某校对教室进行药熏消毒,药品燃烧时,室内每立 方米的含药量与时间成正比;燃烧后,室内每立方米的含药量与时间成反比, 则消毒过程中室内每立方米的含药量y与时间t的函数关系图象大致为 ( A ),随堂巩固检测,2.(2018保定莲池模拟)某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪,要求两 边长均不小于5 m,则草坪的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而 变化的图象可能是 ( C ),3.某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造,下列描述的是月利润y (万元)关于月份x之间的变化关系,治污改造完成前是反比例函数图象的一部 分,治污改造完成后是一次函数图象的一部分,则下列说法不
14、正确的是 ( C ),A.5月份该厂的月利润最低 B.治污改造完成后,每月利润比前一个月增加30万元 C.治污改造前后,共有6个月的月利润不超过120万元 D.治污改造完成后的第8个月,该厂月利润达到300万元,4.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的 ,高为y,面积为20,则y与x的函数关 系式是 y= .(不考虑x的取值范围),5.在温度不变的条件下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例函数 关系.当V=200时,p=50,则当p=25时,V= 400 .,6.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:)是 反比例函数关系,它的图象如图所示,如果以此蓄电
15、池为电源的用电器,其限 制电流不能超过10 A,那么用电器的可变电阻R应控制的范围是 R3.6 .,7.去学校食堂就餐经常会在一个买菜窗口前等待,经调查发现,同学的舒适度 指数y与等待时间x(分)之间满足下表中的关系:,已知学生等待时间不超过30分钟. (1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)当等待时间为8分钟时,求舒适度的值; (3)当舒适度指数不低于10时,同学们才会感到舒适.请说明,作为食堂的管理 员,应让每个在窗口买菜的同学最多等待多长时间?,答案 (1)观察表格发现:1100=250=520=1010=205=100, xy=100, y= (0x30). (2)当x=8时,舒适度y= =12.5. (3)舒适度指数不低于10即y10,由函数表达式知当y10时,0x10, 作为食堂的管理员,应让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟.,
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