1、2018-2019 学年山东省青岛市九年级（上）期中数学模拟试卷一选择题（共 15 小题，满分 30 分，每小题 2 分）1方程 x22x=0 的解是（ ）A0 B2 C0 或2 D0 或 2【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x 22x=0，x（x2）=0，x=0，x2=0，x1=0，x 2=2，故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键2关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 Ck0 Dk1 且k0【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的
2、意义得到 k0 且=224k（1）0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可【解答】解：根据题意得 k0 且=2 24k（1）0，所以 k1 且 k0故选：D【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根3下列说法正确的是（ ）A邻边相等的平行四边形是矩形B一组邻边相等的矩形是正方形C一组邻边互相垂直的四边形是菱形D一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】A、由邻边相等的平行四边形是菱形，可得出结论 A 不正确；B、由一
3、组邻边相等的矩形是正方形，可得出结论 B 正确；C、由选项 C 的论述结合菱形的判定定理，可得出结论 C 不正确；D、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得出结论 D 不正确此题得解【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，结论 A 不正确；B、一组邻边相等的矩形是正方形，结论 B 正确；C、由一组邻边互相垂直，无法证出该四边形为菱形，结论 C 不正确；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结论 D 不正确故选：B【点评 】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及平行四边形的判定，牢记平行四边形、菱形、矩形及正方形的各判定定理是解题的关键4在一个不透明的布袋中，红色、
4、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同小张通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ）A6 B16 C18 D24【分析】先由频率之和为 1 计算出白球的频率，再由数据总数频率=频数计算白球的个数，即可求出答案【解答】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，摸到白球的频率为 115%45%=40%，故口袋中白色球的个数可能是 4040%=16 个故选：B【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比5 如图，矩形 ABCD 的对角线
5、AC、BD 相交于点 O，CEBD，DEAC，若AC=4，则四边形 OCED 的周长为（ ）A4 B8 C10 D12【分析】由四边形 ABCD 为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到 OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形 DECO 为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形 DECO 为菱形，根据 AC 的长求出OC 的长，即可确定出其周长【解答】解：四边形 ABCD 为矩形，OA=OC，OB=OD，且 AC=BD，OA=OB=OC=OD=2，CEBD，DEAC，四边形 DECO 为平行四边形，OD=OC，四边形 DECO 为菱形，OD=DE=EC=OC=2
6、，则四边形 OCED 的周长为 2+2+2+2=8，故选：B【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键6已知 a 是一元二次方程 x23x5=0 的较小的根，则下面对 a 的估计正确的是（ ）A2a1 B2a3 C3a4 D4a5【分析】利用公式法表示出方程的根，估算即可【解答】解：一元二次方程 x23x5=0，a=1，b=3，c=5，=9+20=29，x= ，则较小的根 a= ，即2a1，故选：A【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键7方程（x+1） （x3）=0 的根是（ ）Ax=1 Bx=3 Cx 1=1
7、，x 2=3 Dx 1=1，x 2=3【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（x+1） （x3）=0，x+1=0，x3=0，x1=1，x 2=3，故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键8在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为（ ）A9 人 B10 人 C11 人 D12 人【分析】设参加酒会的人数为 x 人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯 55 次，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设参加酒会的人数为 x 人，根据题意得： x（x
8、1）=55，整理，得：x 2x110=0，解得：x 1=11，x 2=10（不合题意，舍去） 答：参加酒会的人数为 11 人故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键9如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E，AFCD 于点 F，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则 BE 的长为（ ）A10 B C15 D【分析】先证明AEBAFD，根据相似三角形的性质可得 = = ，设BE=5x，得到 DF=6x，AB=7+6x，在 RtABE 中，根据勾股定理即可求解【解答】解：四边形 ABCD 是平行 四边形，B=D，AEBC，AFCD，A
9、EB=AFD=90，AEBAFD， = = ，设 BE=5x，则 DF=6x，AB=7+6x，在ABE 中， （7+6x） 2=（5x） 2+202，11x2+84x351=0，解得 x1=3，x 2= （舍去） ，BE=5x=15故选：C【点评】考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是得到 BC：CD=6：5，设出未知数列出方程求解即可10用配方法方程 x2+6x5=0 时，变形正确的方程为（ ）A （x+3） 2=14 B （x3） 2=14 C （x+6） 2=4 D （x6） 2=4【分析】方程常数项移到右边，两边加上 9，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断【解答】解：方程移项
10、得：x 2+6x=5，配方得：x 2+6x+9=14，即（x+3） 2=14，故选：A【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键11某种童鞋原价为 100 元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以 64 元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）A19% B20% C21% D22%【分析】此题可设每次降价的百分率为 x，第一次降价后价格变为 100（1x） ，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为 100（x1） （x1） ，即100（x1） 2元，从而列出方程，求出答案【解答】解：设每次降价的百分率为 x，第二次降价后价格变为 1
11、00（x1） 2元，根据题意，得100（x1） 2=64即（x1） 2=0.64解之，得 x1=1.8，x 2=0.2因 x=1.8 不合题意，故舍去，所以 x=0.2即每次降价的百分率为 0.2，即 20%故选：B【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍12如图，点 A（1，1） ，B（3，1） ，C（3，1） ，D（1，1）构成正方形ABCD，以 AB 为边做等边ABE，则ADE 和点 E 的坐标分别为（ ）A15和（2，1+ ）B75和（2， 1）C15和（2，1+ ）或 75和（2， 1）D15和（2，1+ ）或 75和（2，1 ）【分析】分为两种
12、情况：当ABE 在正方形 ABCD 外时，过 E 作 EMAB 于 M，根据等边三角形性质求出 AM、AE，根据勾股定理求出 EM，即可得出 E 的坐标，求出EAD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出ADE；当等边ABE 在正方形 ABCD 内时，同法求出此时 E 的坐标，求出DAE，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质即可求出ADE【解答】解：分为两种情况：ABE 在正方形 ABCD 外时，如图，过 E 作 EMAB 于 M，等边三角形 ABE，AE=AB=31=2，AM=1，由勾股定理得：AE 2=AM2+EM2，2 2=12+EM2，EM= ，A（1，1） ，E 的坐标是（
13、2，1+ ） ，等边ABE 和正方形 ABCD，DAB=90，EAB=60，AD=AE，ADE=AED= （1809060）=15；同理当ABE 在正方形 ABCD 内时，同法求出 E 的坐标是（2， +1） ，DAE=9060=30，AD=AE，ADE=AED= （18030）=75；ADE 和点 E 的坐标分别为 15， （2，1+ ）或 75，D（2， +1） ，故选：D【点评】本题考查了等边三角形性质、勾股定理、等腰三角形性质、正方形性质、坐标与图形性质、三角形的内角和定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，但题型较好，注意要分
14、类讨论啊13一个不透明的袋子中有 1 个红球、2 个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出 1 个球后放回，再随机摸出 1 个球，两次摸出的球都是黄球的概率（ ）A B C D【分析】先画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为 4，所以两次摸出的球都是黄球的概率为 故选：D【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率14如图，在矩形 ABCD 中，对
15、角线 AC，BD 相交于点 O，AEBD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则 AB 的值为（ ）A6 B5 C2 D3【分析】由在矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，BE：ED=1：3，易证得OAB 是等边三角形，继而求得BAE 的度数，由OAB 是等边三角形，求出ADE 的度数，又由 AE=3，即可求得 AB 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，OB=OD，OA=OC，AC=BD，OA=OB，BE：ED=1：3，BE：OB=1：2，AEBD，AB=OA，OA=AB=OB，即OAB 是等边三角形，ABD=60，AEBD，AE=3，AB= =2 ，故选：C【点评】此题考查了矩形的性质、
16、等边三角形的判定与性质以及含 30角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明OAB 是等边三角形是解题关键15如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD，点 E、F 分别是 AB、AD 上任意的点（不与端点重合） ，且 AE=DF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点H给出如下几个结论：ADE=DBF；DAEBDG；若 AF=2DF，则 BG=6GF；CG 与 BD 一定不垂直；BGE=60其中正确的结论个数为（ ）A5 B4 C3 D2【分析】先证明ABD 为等边三角形，根据“S AS”证明AEDDFB，利用全等三角形的性质解答即可；先证明ABD
17、为等边三角形，根据“SAS”证明AEDDFB；过点 F 作 FPAE 于 P 点，根据题意有 FP：AE=DF：D A=1：3，则FP：BE=1：6=FG：BG，即 BG=6GF；因为点 E、F 分别是 AB、AD 上任意的点（不与端点重合） ，且 AE=DF，当点E，F 分别是 AB，AD 中点时，CGBD；BGE=BDG+DBF=BDG+GDF=60【解答】解：ABCD 为菱形，AB=AD，AB=BD，ABD 为等边三角形，A=BDF=60，又AE=DF，AD=BD，AEDDFB，ADE=DBF，故本选项正确；ABCD 为菱形，AB=AD，AB=BD，ABD 为等边三角形，A=BDF=60
18、，又AE=DF，AD=BD，AEDDFB，故本选项错误；过点 F 作 FPAE 交 DE 于 P 点（如图 2） ，AF=2FD，FP：AE=DF：DA=1：3，AE=DF，AB=AD，BE=2AE，FP：BE=FP：2AE=1：6，FPAE，PFBE，FG：BG=FP：BE=1：6，即 BG=6GF，故本选项正确；当点 E，F 分别是 AB，AD 中点时（如图 3） ，由（1）知，ABD，BDC 为等边三角形，点 E，F 分别是 AB，AD 中点，BDE=DBG=30，DG=BG，在GDC 与BGC 中，GDCBGC，DCG=BCG，CHBD，即 CGBD，故本选项错误；BGE=BDG+DB
19、F=BDG+GDF=60，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有，共 3 个，故选：C【点评】此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）16 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，DAB=60，AB=2，则菱形 ABCD 的面积为 2 【分析】由菱形 ABCD，得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为 60的等腰三角形为等边三角形得到三角形 ABD 为等边三角形，求出 BD 的长，再由菱形的对角线垂直求出 AC 的长
20、，即可求出菱形的面积【解答】解：菱形 ABCD，AD=AB，OD=OB，OA=OC，DAB=60，ABD 为等边三角形，BD=AB=2，OD=1，在 RtAOD 中，根据勾股定理得：AO= = ，AC=2 ，则 S 菱形 ABCD= ACBD=2 ，故答案为：2【点评】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键17 （3 分）在一个不透明的盒子中装有 8 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则黄球的个数为 4 【分析】根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案【解答】解：在一个
21、不透明的盒子中装有 8 个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，设黄球有 x 个，根据题意得出： = ，解得：x=4故答案为：4【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键18 （3 分）若 ， 是方程 x22x1=0 的两根，则（+1） （+1）的值为 2 【分析】首先根据根与系数的关系求得 +=2，=1；再进一步利用整式的乘法把（+1） （+1）展开，代入求得数值即可【解答】解：， 是方程 x22x1=0 的两根，+=2，=1，则原式=+1=21+1=2，故答案为：2【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1
22、，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 19 （3 分）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的 3 倍，它的十位数字比个位数字大 2若设个位数字为 x，列出求该两位数的方程式为 10（x+2）+x=3x 2 【分析】设个位数字为 x，则这个数为 3x2，十位数字为 x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程【解答】解：设个位数字为 x，则这个数为 3x2，十位数字为 x+2，由题意得，10（x+2）+x=3x 2故答案为：10（x+2）+x=3x 2【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程20 （3 分）根
23、据如下表格对应值：1 0.5 0来源:Zxxk.Com 0.5 1 1.5 2ax2+bx+c 2 1 2判断关于 x 的方程 ax2+bx+c=1.5（a0）的解 x 的范围是 0x0.5 或1.5x2 【分析】利用表中数 据得到 x=1.5 和 x=2 时，代数式 ax2+bx+c 的值一个小于1.5，一个大于 1.5，从而可判断当 0x0.5 或 1.5x2 时，代数式ax2+bx+c1.5 的值为 0【解答】解：当 x=0.5 和 1.5 时，ax 2+bx+c= ，当 x=0 和 2 时，ax 2+bx+c=2，所以方程的解的范围为 0x0.5 或 1.5x2故答案为：0x0.5 或
24、 1.5x2【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根21 （3 分）一个不透明的布袋中有分别标着数字 1，2，3，4 的四个乒乓球，先从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两个乒乓球上数字之和大于 5 的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：列表得：1 2 3 41 （2，1） （3，1） （4，1）2 （1，2） （3，2） （4，2）3 （1，3） （2，3） （4，3）4 （1，4
25、） （2，4） （3，4） 所有等可能的情况数有 12 种，其中两个乒乓球上数字之和大于 5 的情况有 4 种，则 P= = 故答案为： 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比22 （3 分）如图大矩形的长 10cm，宽 8cm，阴影部分的宽 2cm，则空白部分的面积是 48 cm 2【分析】根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解【解答】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为 102=8cm，宽为 82=6cm，来源:学科网所以，空白部分的面积是：86=48cm 2故答案为：48
26、【点评】本题考查了平移的性质，构想出把四个空白部分平移为一个空白矩形求解更简便23 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 DC 边上的点，连接 BE，将BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90得到DCF，连接 EF若EFD=15，则CDF 的度数为 30 【分析】由旋转前后的对应边和对应角相等可知，一个特殊三角形ECF 为等腰直角三角形，可知EFC=45，进而求出CFD=60，因为三角形 DCF 是直角三角形，所以可以求出CDF 的度数为 30【解答】解：BCE 绕点 C 顺时针方向旋转 90得到DCF，CE=CF，四边形 ABCD 是正方形，DCB=90，DCF=90，CEF=CFE
27、=45，EFD=15，CFD=60，CDF=9060=30故答案为：30【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度三解答题（共 7 小题，满分 66 分）24 （12 分）解下列方程（1）4x 21=0（2）x 24x+3=0（配方法）来源:学,科,网（3）2x 2+x1=0（公式法）【分析】 （1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可【解答】解：（1）方程整理得：x 2= ，开方得：x= ；（2）方 程
28、整理得：x 24x=3，配方得：x 24x+4=1，即（x2） 2=1，开方得：x2 =1 或 x2=1，解得：x 1=3，x 2=1；（3）这里 a=2，b=1，c=1，=1+8=9，x= ，解得：x 1= ，x 2=1【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键25 （8 分）某商场将原来每件进价 80 元的某种商品按每件 100 元出售，一天可出售 100 件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 2 元，其销量可增加 20 件（1）求商场经营该商品原来一天可获利多少元？（2）若商场经营该商品一天要获得利润 2160 元，则每件商品
29、应降价多少元？【分析】 （1）原来 1 天的获利情况=1 件的利润卖出的件数；（2）关系式为：实际 1 件的利润卖出的件数=2160，把相关数值代入计算即可【解答】解：（1）商场经营该商品原来一天可获利（10080）100=2000 元；（2）设每件商品应降价 x 元（20x） （100+10x）=2160，（x2） （x8）=0，解得 x1=2，x 2=8答：每件商品应降价 2 元或 8 元【点评】考查一元二次方程的应用；得到降价后可卖出商品的数量是解决本题的易错点26 （8 分）已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点O，ABAC，AB=1，BC= （1）求平行四边形 ABC
30、D 的面积 SABCD ；（2）求对角线 BD 的长【分析】 （1）先求出 AC，根据平行四边形的面积=底高，进行计算即可（2）在 RtABO 中求出 BO，继而可得 BD 的长【解答】解：（1）在 RtABC 中，AC= =2，则 SABCD =ABAC=2（2）四边形 ABCD 是平行四边形，AO=O C，BO=OD，AO=1，在 RtABO 中，BO= = ，BD=2 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质27 （8 分）已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，BEAC于 E，CFBD 于 F，请你判断 B
31、E 与 CF 的大小关系，并说明你的理由【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得 OB=OC，然后利用“角角边”证明OBE 和OCF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证【解答】解：BE=CF理由如下：在矩形 ABCD 中，OB=OC，BEAC 于 E，CFBD 于 F，BEO=CFO=90，在OBE 和OCF 中， ，OBEOCF（AAS） ，BE=CF【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明两边相等，通常利用证明这两边所在的三角形全等，这是常用的方法也是基本方法28 （8 分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏 PK 环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下
32、游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳 AA1、BB 1、CC 1，只露出它们的头和尾（如图所示） ，由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳 AA1的概率；（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳 A
33、A1的概率是= ；（2）画树状图：来源:学科网共有 9 种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为 3 种情况，则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是 = 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率注意首先分别求得左右两端的情况，再画出树状图是关键用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比29 （10 分）如图，ABC 和CDE 都是等边三角形，且 B，C，D 三点共线，连接 AD，BE 相交于点 P，求证：BE=AD【分析】根据等边三角形的性质得 CA=CB，CD=CE，ACB=60，DCE=60，则ACE=60，利用“SAS”可判断ACDBCE，则 AD=BE【解答】证明：AB
34、C 和CDE 都是等边三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=60，DCE=60，ACE=60，来源:学科网ACD=BCE=120，在ACD 和BCE 中， ，ACDBCE（SAS） ，AD=BE【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键30 （12 分）如图，ABBC，射线 CMBC，且 BC=5，AB=1，点 P 是线段 BC （不与点 B、C 重合）上的动点，过点 P 作 DPAP 交射线 CM 于点 D，连结AD（1）如图 1，若 BP=4，求ABP 的周长（2）如图 2，若 DP 平分ADC，试猜测
35、 PB 和 PC 的数量关系，并说明理由（3）若PDC 是等腰三角形，作点 B 关于 AP 的对称点 B，连结 BD，则BD= 5 （请直接写出答案）【分析】 （1）先在 RtABP 中，利用勾股定理求得 AP 的长，再计算APB 的周长；（2）先延长线段 AP、DC 交于点 E，运用 ASA 判定DPADPE，再运用 AAS判定APBEPC，即可得出结 论；（3）先连接 BP，过点 B作 BFCD 于 F，根据轴对称的性质，得出ABP 为等腰直角三角形，并判定四边形 BPCF 是矩形，求得 BF=4，DF=3，最后在RtBFD 中，根据勾股定理求得 BD 的 长度【解答】解：（1）如图 1，
36、ABBC，ABP=90，AP 2=AB2+BP2，AP= = = ，AP+AB+BP= +1+4= +5APB 的周长为 +5；（2）PB=PC，理由：如图 2，延长线段 AP、DC 交于点 E，DP 平分ADC，ADP=EDPDPAP，DPA=DPE=Rt在DPA 和DPE 中，DPADPE（ASA） ，PA=PEABBP，CMCP，ABP=ECP=Rt在APB 和EPC 中，APBEPC（AAS） ，PB=PC；（3）如图，连接 BP，过点 B作 BFCD 于 F，则BFC=C=90，PDC 是等腰三角形，PCD 为等腰直角三角形，即DPC=45，又DPAP，APB=45，点 B 关于 AP 的对称点为点 B，BPB=90，APB=45，BP=BP，ABP 为等腰直角三角形，四边形 BPCF 是矩形，BP=AB=1=BP，PC=5=1=4=BF，CF=BP=1，BF=4，DF=41=3，RtBFD 中，BD= =5，故答案为：5【点评】本题以动点问题为背景，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，以及灵活运用勾股定理计算线段的长度
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